2024-2025学年上海市延安中学高二下学期3月调研数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市延安中学高二下学期3月调研数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列命题中正确的是( )
A. 若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα
B. 若直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
C. 平行于x轴的直线的倾斜角为180∘
D. 若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90∘
2.已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面α,β，下列命题中正确的是( )
A. 若b⊂α,a//b，则a//αB. 若a⊥α,b⊥α，则a//b
C. 若a⊥α,α∩β=b，则a//bD. 若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b，则l⊥α
3.已知圆C1:x2+y2−2 3x−4y+6=0，C2:x2+y2−6y=0，则两圆的位置关系( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
4.三棱锥O−ABC中，OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=OC，下列命题中错误的是( )
A. (OA+OB+OC)2=3OA2
B. BC⋅(CA−CO)=0
C. 三棱锥O−ABC的体积为16AB⋅AC⋅BC
D. (OA+OB)和CA的夹角为60 ∘
三、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.圆x2+4x+y2=0的半径为
6.直线 3x+y−1=0的倾斜角为 ．
7.已知点Am,1,B3,2m，若直线AB的一个方向向量坐标为1,1，则实数m的值为
8.直线x+2y−3=0与直线x−y−5=0的夹角的大小为 ．
9.已知圆锥底面半径为 2，侧面展开图是圆角的2π3的扇形，则此圆锥的母线长为
10.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 3，则侧面积为 ．
11.已知空间向量a=4,−1,λ，b=2,1,1，c=1,2,1，若，，c⇀共面，则实数λ= ．
12.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90∘，C为球面上的动点.若三棱锥O−ABC体积的最大值为36，求球O的表面积 ．
13.已知直线l过P(−2,−1)，且与以A(−4,2)，B(1,3)为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为 ．
14.已知实数x,y满足x2+y2−4x+1=0，则yx的取值范围为
15.已知向量，满足a=1,1, 2，|b⇀|=2，且a+b= 3a−b.则a+b在上的投影向量的坐标为 ．
16.已知点P为直线l：x+y−2=0上的动点，过点P作圆C：x2+2x+y2=0的切线PA，PB，切点为A，B，当|PC|·|AB|最小时，直线AB的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别是A1B1和B1C1的中点：
(1)求点A到平面BEF的距离；
(2)求平面ACC1A1与平面BEF所成的二面角的大小．
18.(本小题12分)
如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=2，且∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60 ∘；

(1)用AB,AD,AA1表示AC,BD1，并求BD1；
(2)求异面直线AC与BD1所成角的大小；
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知▵ABC的顶点A−4,2；
(1)若AC边上的高BE所在的直线方程为x−3y+10=0，求边AC所在的直线方程；
(2)若AB边上的中线CF所在直线方程为x+2y−5=0,∠B的平分线BD所在的直线方程为y=2x，求边BC所在的直线方程；
20.(本小题12分)
如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知tan∠MON=−3，OA=6 km，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，6 105 km.现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．

(1)求水上旅游线AB的长；
(2)若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t ℎ时的半径为r=3 at(a为大于零的常数).强水波开始生成时，一游轮以18 2 km/ℎ的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．
21.(本小题12分)
已知圆C过A(1,− 7)，B(6,2 3)，且圆心C在x轴上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l过点D2,10，且被圆C截得的弦长为4 3，求直线l的方程；
(3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线OM，ON分别与直线x=8相交于P，Q，记▵OMN，▵OPQ面积为S1,S2，求S1S2的最大值．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.ABD
5.2
6.2π3
7.43
8.arctan3
9.3 2
10.48
11.1
12.144π
13.(−∞,−32]∪[43,+∞)
14.− 3, 3
15.32,32,3 22
16.3x+3y+1=0
17.解：(1)
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A0,0,0，C4,4,0，A10,0,4，B4,0,0，E2,0,4，F4,2,4，
∴BE=−2,0,4,BF=0,2,4,AB=4,0,0，
设平面BEF的法向量为n=x,y,z，则BE⋅n=−2x+4z=0BF⋅n=2y+4z=0,
令x=2，则y=−2,z=1，故n=2,−2,1，
∴点A到平面BEF的距离为AB⋅nn=8 22+−22+12=83．
(2)由(1)得，AA1=0,0,4,AC=4,4,0．
设平面ACC1A1的法向量为m=x′,y′,z′，则AA1⋅m=4z′=0AC⋅m=4x′+4y′=0,
令x′=1，则y′=−1,z′=0，故m=1,−1,0，
∴csm,n=m⋅nmn=2×1+−2×−1 22+−22+12× 12+−12+02=2 23，
∴平面ACC1A1与平面BEF所成的二面角为arccs2 23．

18.解：(1)由题意可得：AB2=AD2=AA12=4，
AB⋅AD=2×2×cs60 ∘=2,AB⋅AA1=2×2×cs60 ∘=2,AA1⋅AD=2×2×cs60 ∘=2，
AC=AB+AD，
BD1=BD+DD1=AD−AB+AA1，
BD12=AD−AB+AA12=AB2+AD2+AA12−2AB⋅AD−2AB⋅AA1+2AA1⋅AD=8，
BD1=2 2，
(2)由(1)可得：AC2=AB+AD2=AB2+AD2+2AB⋅AD=12，
所以AC=2 3，
AC⋅BD1=AB+AD⋅AD−AB+AA1=AB⋅AD−AB2+AB⋅AA1+AD2−AB⋅AD+AA1⋅AD=4，
设异面直线AC与BD1所成角为θ，
则csθ=csAC,BD1=AC⋅BD1AC⋅BD1=42 3×2 2= 66，
所以θ=arccs 66

19.解：(1)因BE⊥AC，且kBE=13，则kAC=−3，
因A−4,2，
则直线AC的方程为y−2=−3x+4，即y=−3x−10．
(2)设点Ba,b，则线段AB的中点为a−42,b+22，
将其代入CF所在直线方程x+2y−5=0中，得a+2b=10，
将点B代入BD所在的直线方程y=2x中，得b=2a，
解得a=2,b=4，即B2,4，
设点A关于直线y=2x对称得点A′m,n，
则n−2m+4=−12n+22=2m−42，得m=4n=−2，即A′4,−2，
因B、C、A′三点共线，则kBC=−2−44−2=−3，
直线BC所在的直线方程为y−4=−3x−2，即y=−3x+10．

20.解：(1)以点O为坐标原点，直线OM为x轴，建立直角坐标系如图所示．
则由题设得：A6,0，直线ON的方程为y=−3x,Qx0,3x0>0．
由3x0+3 10=6 105，及x0>0得x0=3，∴Q3,3．
∴直线AQ的方程为y=−x−6，即x+y−6=0，
由y=−3x,x+y−6=0得x=−3,y=9,即B−3,9，
∴AB= −3−62+92=9 2，即水上旅游线AB的长为9 2km．
(2)设试验产生的强水波圆P，由题意可得P(3,9)，生成t小时时，游轮在线段AB上的点C处，
则AC=18 2t,0 ≤ t ≤ 12，
∴C6−18t,18t．
强水波不会波及游轮的航行，即PC2>r2 对t∈[0,12]恒成立，PC2=(18t−3)2+(18t−9)2>r2=9at，
当t=0时，上式恒成立,
当t≠0时,即t∈0,12时,a