安徽省阜阳市临泉县田家炳实验中学2025届高三（下）4月月考数学试卷（含解析）

这是一份安徽省阜阳市临泉县田家炳实验中学2025届高三（下）4月月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z为纯虚数，且|2+z+3i|=2 5，则z=( )
A. −2± 11B. 1或−7C. −i或7iD. i或−7i
2.已知向量a=(1,1+t)，b=(1−t,−2)，若a⊥b，则t=( )
A. −13B. 13C. 3D. − 3
3.直线y=kx+3与圆x2+(y−1)2=1相交的充分不必要条件可以是( )
A. k2>3B. k22D. 00)，过点P(2c,0)(2c为C的焦距)作直线l与C的一条渐近线平行，直线l与C交于A点，若点A到y轴的距离为3 55a，则C的离心率为( )
A. 3B. 5C. 52D. 153
8.如图，这是一张圆形纸片，其半径R=2 3，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点Pi(i=1,2,…,6)重合于点P，得到正六棱锥P−ABCDEF，则该六棱锥体积的最大值是( )
A. 384 5125
B. 192 5125
C. 192 525
D. 96 525
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知sinα+csα=a，sinα−csα=b(b≠0)，则( )
A. a2+b2=2B. cs2α=abC. tan(α+π4)=abD. sinα=a3+b34−2ab
10.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2,BC=1,AA1= 3,∠ABC=120°，则( )
A. 平面AB1C1⊥平面A1B1BA
B. AC1的长为 10
C. 异面直线AC1与A1B1所成角的余弦值为 104
D. 直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为37π3
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3x+2)是偶函数，且f(x+3)+f(−x−1)=0.当x∈[1,2]时，f(x)=ax−a2x−14(a>0且a≠1)，则( )
A. f(31)=12B. f(x)在区间[6,7]上是减函数
C. f(x)在区间[8,10]上是减函数D. i=115|f(i)|=72
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.已知集合A={x|x+1>0}，B={x|2xb>0)的左、右焦点分别为F1(− 5,0),F2( 5,0)，直线l与x轴的交点为M(3 5,0)，过点F1作F1N⊥l于点N，|F1N|=4，且F1N的中点P在椭圆C上，则椭圆C的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条．
(1)试估计m的值；
(2)对于(1)中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望．
16.(本小题12分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在AC上，AD=23AC，E是CC1上的一点，∠BAC=30°，AB=BC=2 3，AA1=4．
(1)若E是CC1的中点，求证：B1E//平面A1BD．
(2)在下面给出的三个条件中任选一个，证明另两个正确：
①三棱锥E−A1B1C1的体积是3 3；
②截面ABE将三棱柱ABC−A1B1C1分成的两部分的体积的比为1：11；
③平面A1BE与平面ACC1A1所成角的余弦值为 104．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
17.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a4=2a1，Snn−an2=32．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=an+1(n+1)an，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn=n2(n+2)+i=1n1i+1．
18.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F作圆M：(x+2)2+y2=1的切线，一条切线长为2 2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P是圆M上的动点，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，若直线AB的斜率为6 55，求直线AB在x轴上的截距．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(x+1)−x22−x−12，g(x)=(1−k)x+1．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若存在x0>0，当x∈(0,x0)时，f(x)+g(x)>12，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设z=ai，a∈R，
|2+ai+3i|=|2+(a+3)i|=2 5，
则 22+(a+3)2=2 5，整理得a2+6a−7=0，
解得a=−7或a=1，
所以z=−7i或z=i．
故选：D．
根据给定条件，设出复数z的代数形式，再利用复数模的意义列式求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由a⊥b得a⋅b=0，
又向量a=(1,1+t)，b=(1−t,−2)，
则1×(1−t)+(1+t)×(−2)=0，解得t=−13．
故选：A．
根据平面数量积中向量垂直的坐标表示，列出等式计算即可．
本题主要考查平面数量积中向量垂直的坐标表示，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：圆x2+(y−1)2=1的圆心坐标为C(0,1)，半径r=1，
由直线与圆相交，即点C到直线kx−y+3=0的距离d3，
结合选项可知直线y=kx+3与圆x2+(y−1)2=1相交的充分不必要条件可以是k>2．
故选：C．
由圆心到直线的距离小于半径，求得k的范围即可求解．
本题考查直线与圆相交的充分不必要的性质的应用，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①当甲、乙两名同学为正前后相邻时，
其中必有1人站在老师的左侧或右侧，另1人站在正后面，
此时站法的种数为2A22A33=24；
②当甲、乙两名同学为左右相邻时，
两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素，
从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列，
此时的站法种数为A22A32A22=24，
故不同站法种数为24+24=48．
故选：D．
分两种情况，正前后相邻或左右相邻，再利用排列和计数原理知识解决．
本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由函数f(x)=(1+x2)sinx1−x2，定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，
有f(−x)=[1+(−x)2]sin(−x)1−(−x)2=−(1+x2)sinx1−x2=−f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项；
又由f(2)=−5sin230)，过点P(2c,0)(2c为C的焦距)作直线l与C的一条渐近线平行，
不妨设直线l与y=bax平行，其方程为y=ba(x−2c)，代入双曲线C的方程得x=a2+4c24c，
∵点A到y轴的距离为3 55a，
∴a2+4c24c=3 55a，化简得4 5(ca)2−12(ca)+ 5=0，解得ca= 52( 510舍)．
故选：C．
设直线方程，求点A坐标，建立方程关系，综合求解离心率即可．
本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，离心率的求法，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：已知六棱锥P−ABCDEF为正六棱锥，
连接OE，OP4，OP4与DE交于点M．
设OE=a，
则DE=a，OM= 32a，P4M=2 3− 32a．
设正六棱锥P−ABCDEF的高为ℎ，
则ℎ= P4M2−OM2= (2 3− 32a)2−( 32a)2= 12−6a(01不符合题意．
综上，实数k的取值范围是(−∞,1)．
(1)先求函数f(x)的定义域，再求导数f′(x)，解不等式f′(x)>0及f′(x)0的前提下，针对k与1的大小关系分三种情况讨论，借助导数得到当k