安徽省临泉田家炳实验中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份安徽省临泉田家炳实验中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．在等差数列 an 中，已知 a3=8 ， a7=16 ，则 a9= （ ）
A． 18 B． 20 C． 22 D． 24
2．记 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和，若 S4=4a1+a3 ，则公比 q= （ ）
A．2B． 12 C．3D． 13
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其意思是：现有一位善于步行的人，第一天行走了100里，以后每一天比前一天多走相同的里程数，九天他共行走了1260里，问每天增加的里程数是多少?关于该问题，有下述四个结论:
①从第二天起，每一天比前一天增加的里程数为10；
②此人第五天行走了150里；
③此人前六天共行走了750里；
④此人前八天共行走的里程是第九天行走里程的8倍.
所有正确结论的序号为（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①③
4．已知数列 an 满足 a1=2,an+1=1-2an+1 ，则 an 的前60项的和为（ ）
A． -352 B． 352 C． -70 D．70
5．已知数列 an 满足 1=12 ，且对任意 p,q∈N* ，都有 ap+q=apaq ，记数列 1an 的前 n 项和为 Sn ，若 Sm⩾2023 ，则 m 的最小取值为（ ）
A． 9 B． 10 C． 11 D． 12
6．函数 fx=ex-ex 的最小值为（ ）
A． -e B． -1 C． 0 D． 1
7．函数 fx=x4-x3 的单调递减区间为（ ）
A． -∞,0 B． -∞,34
C． 0,+∞ D． 34,+∞
8．已知函数 fx 的导函数为 f′x ，且 fx=x2f′2-lnx ，则 f1= （ ）
A．1B． 12 C． 13 D． 16
9．如图，这是下列四个函数中的某个函数在区间 -π,π 上的大致图象，则该函数是（ ）
A． y=2xcs2x2x+2-x
B． y=cs2x2x-2-x
C． y=x3sinx2x+2-x
D． y=x3-x2x+2-x
10．若函数 fx=lnx-mx3+1 有2个零点，则m的取值范围是（ ）
A． 0,e3 B． 0,e23 C． e3，e23 D． 0,e
二、多选题（本大题共2小题）
11．设函数 fx=x3-x2-x+1 ，则（ ）
A．函数 fx 有两个极值点
B．函数 y=fx 有两个零点
C．直线 y=-2x 是曲线 y=fx 的切线
D．点 13,1627 是曲线 y=fx 的对称中心
12．（多选题）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1=1 ， an+1=anan2+1 ，则（ ）
A．数列 an 是递减数列B．数列 an 可以是等比数列
C． 0＜an⩽1 D． 1an+1=Sn+1
三、填空题（本大题共3小题）
13．已知数列 an 的通项公式为 an=2n+6 ，若 am 是 a1 与 a2m 的等比中项，则 m= ____.
14．函数 fx=x3-lnx+2 的图象在点 1,f1 处的切线方程为____.
15．已知在数列 an 中， a1=2 ， an+1=n+1n+2an ，设数列 anan+1 的前 n 项和为 Sn ，若不等式 n+8k＞Sn 对 ∀n∈N∗ 恒成立，则 k 的最小值为____.
四、解答题（本大题共5小题）
16．已知数列 an 满足 a1=2 ， an+1=3an-2n+1 ．
(1)求证：数列 an-n 是等比数列．
(2)求出数列 an 的前 n 项和 Sn ．
17．已知在等差数列 an 中， a1=1 ，等比数列 bn 的公比 q=2 ，且 a2=b2 ， a1-b1=a3-b3 .
(1)求 an ， bn 的通项公式；
(2)求数列 anbn 的前 n 项和 Sn .
18．已知函数 fx=13x3-12ax2+4xa∈R.
(1)当 a=5 时，求函数的极值;
(2)若函数 fx 在区间 -1,1 上单调递增，求 a 的取值范围.
19．已知函数 fx=exsinx-ax ，且曲线 y=fx 在点 0,0 处与 x 轴相切.
(1)求函数 fx 的解析式;
(2)求函数 fx 在区间 -π2,π2 上的最大值和最小值.（参考数据: ln4≈1,3863 ）
20．记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，已知 a2=2,2Sn=nan+1.
(1)求 an 的通项公式;
(2)设 bn=-1nnan ，求数列 bn 的前 n 项和 n.
参考答案
1．【答案】B
【详解】设等差数列 an 的公差为 d ，
由题意得， a1+2d=8a1+6d=16 ，解得 a1=4d=2 ，
∴ a9=4+8×2=20 .
故选B.
2．【答案】C
【详解】由 S4=4a1+a3 ，
当 q=1 时，显然不满足，
当 q≠1 时， a11-q41-q=4a11+q2 ，
解得： q=3 ，
故选C.
3．【答案】D
【详解】设此人第 nn∈N∗ 天走 an 里，则数列 an 是公差为 d 的等差数列，
记数列 an 的前 n 项和为 Sn ，
对于①，由题意可得 a1=100S9=9a1+36d=1260 ，解得 d=10 ，①结论正确；
对于②， a5=a1+4d=100+4×10=140 ，故②错误；
对于③， S6=6a1+5×62d=600+5×62×10=750 ，故③正确；
对于④， S8=8a1+7×82d=800+7×82×10=1080 ， a9=a1+8d=100+8×10=180 ，
而 180×8=1440≠1080 ，故④错误；
故选D.
4．【答案】A
【详解】由 a1=2,an+1=1-2an+1 可得： a2=1-2a1+1=1-23=13 ，
a3=1-2a2+1=1-243=-12 ， a4=1-2a3+1=1-212=-3 ，
a5=1-2a4+1=1-2-2=2 ，……
所以数列 an 的周期为 4 ，所以 an 的前60项的和为：
15a1+a2+a3+a4=15×2+13-12-3=-352 .
故选A.
5．【答案】B
【详解】令 p=n,q=1 ，则 an+1=ana1 ，故 an+1an=a1=12 ，
∴数列 an 是以 12 为首项， 12 为公比的等比数列，
∴ an=12×12n-1=12n ，故 1an=2n=2×2n-1 ，
∴数列 1an 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，
∴ Sn=21-2n1-2=2n+1-2 .
由 Sm⩾2023 得， 2m+1-2⩾2023 ，即 2m+1⩾2025 ，
∵ 210=1024,211=2048 ，∴ m+1⩾11 ，即 m⩾10 ，
∴ m 的最小取值为 10 .
故选B.
6．【答案】C
【详解】 f′x=ex-e ，
令 f′x＞0 ，则 x＞1 ，令 f′x＜0 ，则 x＜1 ，
所以函数 fx 的单调增区间为 1,+∞ ，单调减区间为 -∞,1 ，
所以 fxmin=f1=0 .
故选C.
7．【答案】B
【详解】由 f′x=4x3-3x2＜0 ，
解得： x＜34 ，
所以函数 fx=x4-x3 的单调递减区间为 -∞,34 ；
故选B.
8．【答案】D
【详解】∵ fx=x2f′2-lnx ，
∴ f′x=2xf′2-1x ，
∴ f′2=4f′2-12 ，解得 f′2=16 ，
∴ fx=x26-lnx ，故 f1=16 .
故选D.
9．【答案】A
【详解】B.对于函数 y=cs2x2x-2-x ，当 x=0 时， 2x-2-x=0 ，不合题意，B错误.
C.当 x=π 时， y=π3sinπ2π+2-π=0 ，与图象不符，C错误.
D.当 0＜x＜1 时， x3＜x ， x3-x＜0 ， 2x+2-x＞0， 故 y=x3-x2x+2-x＜0 ，与图象不符，D错误.
A.令 fx=2xcs2x2x+2-x ，定义域为 R ，
∵ f-x=-2xcs-2x2-x+2x=-2xcs2x2x+2-x=-fx ，∴ fx 为奇函数，
fπ=2πcs2π2π+2-π=2π2π+2-π＞0 ，与图象相符.
当 0＜x＜π4 时， 0＜2x＜π2 ， csx＞0,2x+2-x＞0 ，故 fx＞0 ，与图象相符，A正确.
故选A.
10．【答案】B
【详解】函数 fx 定义域为： 0,+∞ ，
∵ f′x=1x-3mx2 ，令 f′x=0 ，即 1x-3mx2=0 ，则 x3=13m ，
∴当 m⩽0 时， f′x＞0 ，此时函数 fx 单调递增，则函数 fx 至多存在1个零点，舍去；
当 m＞0 时，则函数 f′x=1x-3mx2 在 0,+∞ 上单调递减，
∴当 x∈0,13m3 ， f′x＞0 ，即函数 fx 递增；当 x∈13m3,+∞ ， f′x＜0 ，即函数 fx 递减；
∴ fx⩽f13m3 ，
又∵ x→0 时， fx→-∞ ； x→+∞ 时， fx→-∞ ，
∴由题意可得： f13m3＞0 ，即 ln3m-13-m×13m+1=-13ln3m+23＞0 ，
即 ln3m＜2 ，∴ m＜e23 .
故选B.
11．【答案】ABD
【详解】 f′x=3x2-2x-1
令 f′x＜0 解得 -13＜x＜1 ，令 f′x＞0 解得 x＜-13 或 x＞1 ，
所以 fx 在 -∞,-13 单调递增， -13,1 单调递减， 1,+∞ 单调递增，
因为 f-1=-2＜0 ，极大值 f-13=3227＞0 ，且极小值 f1=0 ，
所以函数有两个极值点，有两个零点，故AB正确，
令 f′x=3x2-2x-1=-2 即 3x2-2x+1=0 ， △=-8＜0 ，无解；
故C错误；
f23-x=23-x3-23-x2-23-x+1=-x3+x2+x+527 ，
所以 fx+f23-x=3227 ，即点 13,1627 是曲线 y=fx 的对称中心，正确；
故选ABD.
12．【答案】ACD
【详解】因为 an+1=anan2+1 ，整理有 an+1an=1an2+1＞0 ，又 a1=1＞0 ，由此可得 an＞0 ，
对于A选项，因为 an+1an=1an2+1＜1 ，所以数列 an 为递减数列，所以A正确；
对于B选项，若 an 是等比数列，则由 an+1an=1an2+1 可知 1an2+1 为定值，
又因为 a1=1 ，所以 an2=1 ，所以 1an2+1=11+1=12 ，即 an+1an=12 ，
与 an2=1 矛盾，所以数列 an 不可以是等比数列，所以B错误；
对于C，因为 an＞0 ，且 an 为递减数列，又 a1=1 ，所以 0＜an⩽1 ，
所以C正确；
对于D，由 an+1=anan2+1 ， an＞0 ，两边取倒数有 1an+1=an2+1an=an+1an ，
整理有： 1an+1-1an=an ，
即 1a2-1a1=a1 ， 1a3-1a2=a2 ， 1a4-1a3=a3 ， ⋯ ， 1an+1-1an=an
累加得： 1a2-1a1+1a3-1a2+1a4-1a3+⋯+1an+1-1an
=a1+a2+a3+⋯+an ，
即 1an+1-1an=Sn ，又 a1=1 ，所以 1an+1-1=Sn ，
整理得： 1an+1=Sn+1 ，所以D正确.
故选ABD.
13．【答案】 3
【详解】由 an=2n+6 得， am=2m+6 ， a1=8 ， a2m=4m+6 ，
∵ am 是 a1 与 a2m 的等比中项，
∴ am2=a1⋅a2m ，即 2m+62=84m+6 ，解得 m=3 或 -1 （舍）.
14．【答案】 2x-y+1=0
【详解】因 f′x=3x2-1x ，
则 k切=f′1=2 ， f1=3 ，
则函数在点 1,f1 处的切线方程为 y-3=2x-1 ，
即： 2x-y+1=0.
15．【答案】 49
【详解】由题意知 n+2an+1=n+1an ，则数列 n+1an 是首项为 1+1×2=4 的常数列，
an=4n+1 ，∴ anan+1=4n+1×4n+2=16n+1n+2=16×1n+1-1n+2
Sn=16×12-13+13-14+14-15+⋯+1n+1-1n+2=8nn+2 ，
k⩾Snn+8=8nn+2n+8=8n+16n+10 ，
∵ n＞0 ，∴ n+16n⩾8 ，当且仅当 n=16n ，即 n=4 时取等号，
∴ k⩾49 ，
则k的最小值为 49.
16．【答案】(1)证明见解析
(2) 3n-1+nn+12
【详解】（1） ∵an+1=3an-2n+1 ，
∴an+1-n-1=3an-3n ，即 an+1-n+1=3an-n ，
∵a1-1=1 ，
∴ 数列 an-n 是首项为1，公比为3的等比数列．
（2）由（1）得： an-n=3n-1 ，则 an=3n-1+n ，
∴Sn=a1+a2+⋯+an=30+31+⋯+3n-2+3n-1+1+2+3+⋯+n
=1×1-3n1-3+nn+12=3n-1+nn+12 ．
17．【答案】(1) an=3n-2 ， bn=2n
(2) Sn=3n-5⋅2n+1+10
【详解】（1）依题意，设数列 an 的公差为 d ，而数列 bn 的公比为 q=2 ， a1=1 ， a2=b2 ，
所以 b2=a1+d=1+d ，则 b1=b2q=1+d2 ， a3=1+2d ， b3=b2q=21+d ，
因为 a1-b1=a3-b3 ，所以 1-1+d2=1+2d-21+d ，解得 d=3 ，
所以 an=a1+n-1d=1+3n-1=3n-2 ，
则 b2=a2=4 ，故 bn=b2qn-2=4×2n-2=2n .
（2）由（1）知 anbn=3n-2⋅2n ，
则 Sn=1×2+4×22+7×23+⋯+3n-5×2n-1+3n-2×2n ，
2Sn=1×22+4×23+7×24+⋯+3n-5×2n+3n-2×2n+1 ，
两式相减，得 -Sn=2+3×22+23+⋯+2n-3n-2×2n+1
=2+3×221-2n-11-2-3n-2×2n+1 =2+3×2n+1-12-3n-2×2n+1
=5-3n⋅2n+1-10 .
所以 Sn=3n-5⋅2n+1+10 .
18．【答案】(1)极大值 f1=116 ，极小值 f4=-83.
(2) -5,5.
【详解】（1） fx=13x3-52x2+4x ， f′x=x2-5x+4=x-1x-4 ，
令 f′x＞0 可得： x＞4 或 x＜1 ，
令 f′x＜0 可得： 1＜x＜4 ，
函数 fx 在 -∞,1,4,+∞ 上单调递增，在 1,4 上单调递减，
当 x=1 时，函数 fx 有极大值 f1=116 ，
当 x=4 时，函数 fx 有极小值 f4=-83.
（2）由题意知 f′x=x2-ax+4⩾0 在 -1,1 上恒成立，当 x=0 时，显然成立;
当 0＜x⩽1 时， a⩽ ，函数 y=x+4x 在 0,1 上单调递减，
当 x=1 时， ymin=5 ，所以 a⩽5 .
当 -1⩽x＜0 时， a⩾ ，函数 y=x+4x 在 -1,0 上单调递减，
当 x=-1 时， ymax=-5 ，所以 a⩾-5 .
综上可知:求 a 的取值范围为 -5,5.
19．【答案】(1) fx=exsinx-x.
(2)最大值为 eπ2-π2 ，最小值为0.
【详解】（1）因为 f′x=exsinx+csx-a ， f′0=1-a ，
由题意知 f′0=0 ，解得 a=1 ， fx=exsinx-x.
（2）由（1）知 f′x=exsinx+csx-1 ，设 gx=f′x ，
则 g′x=2excsx ，当 x∈-π2,π2 时， g′x＞0 ，
函数 gx 在 -π2,π2 上单调递增， g0=0 ，
则当 -π2＜x＜0 时， f′x＜0 ，当 0＜x＜π2 时， f′x＞0 ，
函数 fx 在 -π2,0 上单调递减，在 0,π2 上单调递增，
fπ2=eπ2-π2 ， f-π2=π2-e-π2 ， eπ2＞4 ，则 fπ2-f-π2=eπ2+e-π2-π＞0 ，
所以函数 fx 在区间 -π2,π2 上的最大值为 fπ2=eπ2-π2 ，最小值为 f0=0.
20．【答案】(1) an=n .
(2) Tn=-nn+12,n为奇数nn+12,n为偶数.
【详解】（1）由题意，当 n=2 时， 2S2=2a2+1=6 ，即 S2=3 ，所以 a1=1.
当 n⩾3 时， 2Sn-1=n-1an-1-1 ，
所以 2an=2Sn-2Sn-1=nan+n-n-1an-1-n-1=nan-n-1an-1+1 ，
即 n-2an-n-1an-1=-1 ， ann-1-an-1n-2=1n-1-1n-2 ，
累加可得 ann-1=ann-1-an-1n-2+an-1n-2-an-2n-3+⋯a32-a21+a2
=1n-1-1n-2+1n-2-1n-3+⋯12-1+2=1n-1+1=nn-1
则 an=n ，
又 a2=2,a1=1 满足该式，故 an=n .
（2）由题意， bn=-1nnan=-1nn2 ，
当 n 为偶数时，即有 n⩾2 ， bn+bn-1=n2-n-12=2n-1 ，
则 Tn=b1+b2+b3+b4+⋯bn-1+bn=3+7+⋯2n-1=n23+2n-12=nn+12 ；
当 n 为奇数时，则 n+1 为偶数， Tn=Tn+1-bn+1=n+1n+22-n+12=-nn+12 .
综上， Tn=-nn+12,n为奇数nn+12,n为偶数 .