四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高三下学期二诊模拟考试数学试题

这是一份四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高三下学期二诊模拟考试数学试题，共9页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设虚数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A．B．C．3D．－3
4．已知函数 ，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若的图象与的图象关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．若圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
7．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A．事件M与事件N相互独立B．事件X与事件Y相互独立
C．事件M与事件Y相互独立D．事件N与事件Y相互独立
8．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ）
A． B．0 C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3B．的最大值为1
C．的最小值为2D．的最小值为2
10．已知椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点（为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为，则直线AB的方程为
C．若直线AB的方程为，则点M的坐标为
D．若直线AB的方程为，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点，使四点共面
B．存在点，使平面
C．三棱锥的体积为
D．经过四点的球的表面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某上市互联网科技公司为节省开支采用了裁员的手段，统计得到近7个月内每月的裁员人数如下：1，2，2，3，4，5，6，则该组样本数据的上四分位数是 ．
13．等差数列的前项和为，则 ．
14．下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第个数从上到下形成以为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第行所有数据的和 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题13分）已知函数，
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)对任意的时，成立，求的取值范围.
16．（本题15分）已知正项等差数列满足：且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
17．（本题15分）为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.
(1)求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.
18．（本题17分）如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，．
(1)证明：点在平面中；
(2)点为线段的中点，求锐二面角的余弦值．
19．（本题17分）已知A､B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k1､k2､k3､k4.
（1）求证：点P､Q､O三点共线；
（2）当a=2，b=时，若点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；
（3）若F1､F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.
参考答案
12．5
13．13
14．
15．（1）当时，，则，
所以，又知，所以在点处的切线方程为.
（2）对任意的成立，则，
则.
令，显然在单调递增，
则，
令，则，
显然在单调递增，且，
可知当时，；当时，；
所以在递减，在递增，即，
综上所述，.
16．（1）设正项等差数列的公差为，由成等比数列，
得，则，
又，即，解得或，
当时，
当时，
所以数列的通项公式为或.
（2）由题意得，当时，，则，
所以数列的前项和；
当时，，则，且，
故是以2为首项，4为公比的等比数列，
则，
.
故数列的前项和或.
17．（1）由图可知，，
解得，
该村村民成绩的平均数约为
；
（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，
其中成绩在的村民有人，
成绩在的村民有4人，
从中任选3人，的取值可能为1,2,3，
，，，
则的分布列为
故
18．（1）取中点，中点，连接，，，则，，
由正四棱柱得，，则，
又点为中点，所以，即四边形为平行四边形，
同理可得，四边形为平行四边形，所以且，则，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
所以四点共面，即点在平面中．
（2）以为坐标原点，，，为，，轴建系如图，
易得，，，，
则，
设平面与平面法向量分别为，，
由，即，令，则，
由，即，令，则，
设二面角平面角为则，
所以锐二面角的余弦值为．
19．解：（1）证明：因为A，B为椭圆与双曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，
又因为，
所以，即
所以点P，Q，O三点共线.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线PQ的方程为
联立，解得x=±，y=±，
所以P(，)，
同理，解得x=±，y=±，
解得Q(，)，
则|PQ|=3﹣，
又因为a=2，b=，
联立，解得B(±2，0)，
所以点B到直线PQ的距离d=，
则.
（3）因为，设，，
所以，
因为，所以
又，⇒，
因为QF1PF2，
所以|OF1|=λ|OF2|，
所以λ2=，
所以=•=，
所以

同理(k3+k4)2=4，
而k1k2=，
又x12=a2+y12，
所以k1k2=，
同理k3k4=﹣，
所以k12+k22+k32+k42=8.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
B
B
B
C
A
ABD
BD
题号
11









答案
ABC









1
2
3