四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二下学期入学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二下学期入学考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．数列满足，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
3．已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ）
A． B．C．D．
5．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．2，8B．2，4C．4，10D．8，2
6．已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知m，，且m,n不全为0，若直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．过，两点的直线方程为
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．数列中最小项为
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ）
A．B．
C．的离心率为D．直线的斜率为
三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线与直线垂直，则实数的值为 .
13．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，若，则双曲线的渐近线方程为 .
14．已知数列满足：，若，且数列为递增数列，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
16．（本小题满分15分）
已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程．
17．（本小题满分15分）
已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（本小题满分17分）
如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面.
（1）若O是CD的中点，证明:；
（2）求二面角的余弦；
（3）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由
19．（本小题满分17分）
已知抛物线的焦点为，为上一点，且.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.
①求点的坐标；
②求与的面积之和的最小值.
高2023级高二下入学考试数学试题
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解】由得，故倾斜角满足为，故.故选：D
2．数列满足，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解】因为数列满足，所以.
故选：C.
3．已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解】∵椭圆方程E：的焦点坐标为，，上、下顶点为，.
∴设双曲线方程C：，则，
，∴设双曲线方程C：.故选：C.
4．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ）
A． B． B． D．
【答案】B
【解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点，
得，于是，
由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以.故选：B
5．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．2，8B．2，4C．4，10D．8，2
【答案】A
【解】设等比数列共有项，公比为，则该数列为：，
依题意，，于是得，，解得，所以这个数列的公比为2，项数为8.故选：A
6．已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，
则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等，
故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为，设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
则，则,
由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，，
故，故直线的方程为，即，故选：D
7．已知m，，且m,n不全为0，若直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解】直线即直线，过定点，直线即直线，过定点，又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆，即轨迹方程为，圆心，
因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切，所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围.设设圆的半径为，因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值，，
又因为，即，即，
所以，即，故选：C.
8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解】的面积为因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，所以
解得因为所以两边平方得：又因为
整理得：因为不等式两边同时除以，得：；
解得：故选：C
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．过，两点的直线方程为
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【解】对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；
对于B：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标， 满足直线方程, 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y=x+1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；
对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C 正确；
对于D：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y−2=0 或 y=x ，所以 D 不正确；故选：BC.
10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数
C． D．数列中最小项为
【答案】ABD
【解】根据题意：，即，
两式相加，解得，当时，最大，故A正确；
由，可得，所以，
故，所以，故C错误；
由以上可得：，，而，当时，；当时，；
所以使得成立的最小自然数，故B正确.
当或时；当时；由，
所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ）
A．B．
C．的离心率为D．直线的斜率为
【答案】ACD
【解】如图，由，可设，.因为，所以.
设，，则，，，解得，
则，，所以，故A选项正确；，故B选项错误；
在中，由，得，则，
从而的离心率为，故C选项正确.又，所以直线的斜率为，故D选项正确.故选：ACD.
三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线与直线垂直，则实数的值为 .
【答案】2
【解】当时，，此时不成立；故，若，则，解得.
综上，.故答案为：2
13．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，若，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解】根据题意，由切线性质，，，
所以，则，且，
由余弦定理得，解得，又，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：
14．已知数列满足：，若，且数列为递增数列，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解】因为，两边取倒数可得：，
变形可得，所以数列是等比数列，且首项为，公比为，所以，则，又，数列为递增数列，
所以，即.
当时，，即，解得.
所以实数的取值范围为.故答案为:.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的标准方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线的方程.
【解】（1）设，则，
故，化简整理得，
故曲线的标准方程为；
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求，
当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到的距离，
解得，故切线方程为，即，
综上，过点且与曲线相切的直线方程为或.
16．已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程．
【解】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、，
依题意，整理得（*），
因点Px0,y0在椭圆上，则，即，
代入（*），化简得： ，又，所以，则椭圆的离心率；
（2）如图，设Ax1,y1、Bx2,y2，由（1）已得，
则由，消去并整理得，
此时，解得，由韦达定理得，，
所以，
又原点到直线的距离，所以的面积，解得，
故椭圆的方程为．
17．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【解】（1）已知，
当时，；
当时，，
则，
显然时，，满足上式，综上，；
（2）由（1）知，故
当
当
综上：
18．如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面.
(1)若O是CD的中点，证明:；
(2)求二面角的余弦；
(3)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由
【解】（1）连接，因为三角形PCD是正三角形，且O是CD的中点，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为四边形ABCD是矩形，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，
可得，则，所以.
（2）由（1）可得：，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设二面角为，
则，所以二面角的余弦值为14.
（3）由（1）可得，
设，可得，
由（2）可知：平面的法向量，
则由，
整理可得，解得或（舍去），
即，可知存在点Q，点Q为PC的中点.
19．已知抛物线的焦点为，为上一点，且.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.
（i）求点的坐标；
（ii）求与的面积之和的最小值.
【解】（1）由题意可得，解得，所以的方程为：；
（2）（i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点，
故可设的直线的方程为，代入抛物线的方程，可得，
方程的判别式，
设，，不妨设，则,
所以直线AD的方程为：，即
即，令，可得，
所以，所以所以；
（ii）如图所示，可得，
，所以与的面积之和
当且仅当时，即时，等号成立，所以与的面积之和的最小值为.