四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二下学期入学考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1. 直线 的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2 数列 满足 ， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3. 已知双曲线 C 以椭圆方程 E： 的焦点为顶点，以 E 的顶点为焦点，则双曲线 C 的标准方程为
（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在正方体 中，点 M 是 上靠近点 C 的三等分点，点 N 满足 ，
若 N 为 AM 与平面 的交点，则 t＝（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一个等比数列首项为 1，项数是偶数，其奇数项之和为 85，偶数项之和为 170，则这个数列 公比
和项数分别为（ ）
A. 8，2 B. 2，4 C. 4，10 D. 2，8
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6. 已知动点 P 到定点 的距离比它到直线 的距离大 1，直线 与动点 的轨迹交于 A， B 两
点，且线段 AB 的中点为 ，则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知 m， ， ，记直线 与直线 的交点为 P，点 Q 是圆 C：
上的一点，若 PQ 与 C 相切，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 、 ，若椭圆 C 上存在一点 P，
使得△PF1F2 的内切圆的半径为 ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 过 ， 两点的直线方程为
B. 点 关于直线 的对称点为
C. 直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2
D. 经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
10. 已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 最大
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B. 使得 成立的最小自然数
C.
D. 数列 中最小项为
11. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支相
交于 ， 两点，若 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. 的离心率为 D. 直线 的斜率为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知直线 与直线 垂直，则实数 值为_________ .
13. 已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过 的直线 与圆 相
切于点 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为___________.
14. 已知数列 满足： ，若
，且数列 为递增数列，则实数 的取值范围为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 ，动点 满足 ，设动点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的标准方程；
（2）求过点 且与曲线 相切 直线的方程.
16. 已知点 在椭圆 上， 与椭圆的上，下顶点 的连线的斜率之
积为 ．
（1）求椭圆 的离心率；
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（2）若直线 与椭圆 相交于 、 两点，且 的面积为 （ 为坐标原点），求椭圆 的标
准方程．
17. 已知数列 满足， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18. 如图，已知四边形 是矩形， ，三角形 是正三角形，且平面 平面
.
（1）若 是 的中点，证明: ；
（2）求二面角 的余弦；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 若存在，确定点 的
位置，若不存在，请说明理由
19. 已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一点，且 .
（1）求 的方程；
（2）过点 且斜率存在的直线 与 交于不同的两点 ，且点 关于 轴的对称点为 ，直线
与 轴交于点 .
（i）求点 的坐标；
（ii）求 与 的面积之和的最小值.
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