2024-2025学年黑龙江省绥化市哈尔滨师大青冈实验中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省绥化市哈尔滨师大青冈实验中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果直线l的一个方向向量是( 33,13)，则其倾斜角等于( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.在等差数列{an}中，a4+a5+a6=15，则a2+a8=( )
A. 5B. 10C. 12D. 15
3.数列{an}满足a1=2,an+1=1+an1−an，则a2023=( )
A. −3B. 13C. −12D. 2
4.已知双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为P，且∠PF2F1=π6，则双曲线的渐近线方程为( )
A. y=± 3xB. y=± 33xC. y=± 2xD. y=± 22x
5.为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t).甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示.给出下列四个结论：
①在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
②在t2时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③在[t2,t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④在[t1,t2]，[t2,t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ①③④C. ②③D. ①③
6.若圆O：x2+y2=1上存在点P，直线l：y=k(x+2)上存在点Q，使得OP=QO，则实数k的取值范围为( )
A. [− 3, 3]B. [− 33, 33]C. {− 3, 3}D. {− 33, 33}
7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为( )
A. [ 2, 3]B. [ 24, 52]C. [ 55,1)D. [ 55, 2)
8.设F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1|=|PQ|.若△PF1F2的面积为 33b2，则|PQ||F1F2|=( )
A. 32B. 2 33C. 3D. 4 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：kx−y+k=0，圆C：x2+y2−6x+5=0，P(x0,y0)为圆C上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. x02+y02的最大值为5B. y0x0的最大值为2 55
C. 直线l与圆C相切时，k=± 33D. 圆心C到直线l的距离最大为4
10.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，E，F分别为棱AA1，CC1，BC的中点，O1为侧面AA1B1B的中心，则( )
A. 直线AB//平面PEFB. 直线A1C//平面O1EF
C. 三棱锥O1−PEF的体积为13D. 三棱锥P−BCE的外接球表面积9π
11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2=4a1，a2是a1+1与12a3的等差中项，数列{bn}满足bn=anSn⋅Sn+1，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列命题正确的是( )
A. 数列{an}的通项公式an=2×3n−1
B. Sn=3n−1
C. 数列{bn}的通项公式为bn=2×3n(3n−1)(3n+1−1)
D. Tn的取值范围是[18,16)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知顶点在原点的抛物线C的焦点与椭圆x216+y27=1的右焦点重合，则抛物线C的方程为______．
13.已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x−a)2+(y−1)2=16(a>0)有3条公切线，则实数a的取值是______．
14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn是数列{an}的前n项和，则(a3−S1)+(a4−S2)+(a5−S3)+…+(a200−S198)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−ax2+b(a,b∈R)的图象过点(2,4)，且f′(1)=1．
(1)求a，b的值；
(2)求曲线y=f(x)过点(0,−1)的切线方程．
16.(本小题12分)
等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a15=17，S10=55.数列{bn}满足an=lg2bn．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若数列{an+bn}的前n项和Tn满足Tn=S32+18，求n的值．
17.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A(1,0)，B(0,−2)，点C满足OC=(mOA+nOB)，其中m，n∈R且m−2n=1．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)设点C的轨迹与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0且a≠b)交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：1a2−1b2为定值；
(3)在(2)的条件下，若双曲线的离心率不大于 3，求双曲线实轴长的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM//平面PAD；
(2)若PC= 5，PD=1，
(i)求二面角P−DM−B的余弦值；
(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
设{an}是首项为1的等比数列，且满足a1，3a2，9a3成等差数列：数列{bn}各项均为正数，Sn为其前n项和，且满足2Sn=bn(bn+1)，则：
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Tn为数列{anbn}的前n项的和，证明：Tn+2n−12⋅3n−1≤4118；
(3)任意n∈N+,cn=(2bn−5)(bn−4)an,n为奇数an,n为偶数，求数列{cn}的前2n项的和．
答案解析
1.A
【解析】解：直线l的一个方向向量是( 33, 13)，
则直线l的斜率为13 33= 33，
直线倾斜角α的范围为0°≤α0(8分)
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x1+x2=−2a2b2−a2,x1x2=−a2+a2b2b2−a2
∵以MN为直径的圆过原点，∴OM⋅ON=0.即x1x2+y1y2=0．
∴x1x2+(1−x1)(1−x2)=1−(x1+x2)+2x1x2
=1+2a2b2−a2−2(a2+a2b2)b2−a2=0.即b2−a2−2a2b2=0．
∴1a2−1b2=2为定值．(14分)
(3)∵1a2−1b2=2
∴b2=a21−2a2
∵e≤ 3∴e2=a2+b2a2≤3．
∴1+11−2a2≤3
解得：0