重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高三下学期第二次校考数学试卷（Word版附解析）

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（满分 150 分，120 分钟完成）
一、单项选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先求解集合 ，最后根据集合的交集运算即可求解.
【详解】由 ，
所以 ，
故选：B.
2. 已知扇形的周长为 15cm，圆心角为 3rad，则此扇形的弧长为（ ）
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
【答案】C
【解析】
【分析】利用扇形弧长公式进行求解.
【详解】设扇形弧长为 l cm，半径为 r cm，则 ，即 且 ，解得： （cm），故此扇
形的弧长为 9cm.
故选：C
3. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
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【分析】对 的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性解不等式 ，利用集合的包含关系判断可
得出结论.
【详解】若 ，由 可得 ，此时 ；
若 ，则 ，不合乎题意；
若 ，由 可得 ，此时 .
因此，满足 的 的取值范围是 或 ，
因为 或 ，
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知抛物线 ： 的焦点坐标为 ，则 的准线方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】由焦点坐标得 ，从而得准线方程．
【详解】抛物线焦点坐标为 ，则 ，所以准线方程是 ．
故选：D．
5. 已知 ，且 ，则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简方程，解方程可得 ，进而可得 ，然后利用诱导公式即可
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判断.
【详解】∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ 或 （舍去），
∴ ， ， ， ，
故选：A.
6. 已知焦点在 轴上的双曲线 ．该双曲线的上焦点 到下顶点的距离为 到
渐近线的距离为 12，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 ，再结合 求出 ，从而可求出离心率.
【详解】由题意得 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
因为双曲线的上焦点 到下顶点的距离为 ，所以 ，
因为 到渐近线的距离为 12，所以 ，
所以 ，得 ，
由 ，得 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：B
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7. 第十三届冬残奥会于 2022 年 3 月 4 日至 3 月 13 日在北京举行.现从 4 名男生，2 名女生中选 3 人分别担
任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有 1 名女生被选中，则不同的选择方案共有（ ）.
A. 72 种 B. 84 种 C. 96 种 D. 124 种
【答案】C
【解析】
【分析】先分有一名女生和没有女生两种情况选出志愿者，然后再排列.
【详解】第一步，选出的志愿者中没有女生共 种，只有一名女生共 种；
第二步，将三名志愿者分配到三项比赛中共有 .
所以，不同的选择方案共有 种.
故选：C
8. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为 1 和 4，高为 ．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最
大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，作出圆台轴截面，分析可知，当球与 相切时，其表面积最大，再结合条
件求得球的半径，得到结果即可.
【详解】如图，作出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与 相切，
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设圆 的半径为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
作 ， ，因为 ，所以 ，
而 ，由勾股定理得 ，
则 ，且 ，
而 ，
即得到 ，解得 ，
则该球的表面积的最大值为 ，故 B 正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解题关键是判断出表面积最大时的情况，然后利用勾股定理建立方程，得到球的半
径，进而得到所要求的表面积即可．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式共 6 项 B. 常数项为 64
C. 所有项的系数之和为 729 D. 所有项的二项式系数之和为 64
【答案】CD
【解析】
【分析】利用二项展开式的特点判断 A；求出指定项判断 B；利用赋值法求出展开式系数和判断 C；利用二
项式系数的性质判断 D 作答.
【详解】 展开式的总项数是 7，A 不正确；
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展开式的常数项为 ，B 不正确；
取 得 展开式的所有项的系数之和为 ，C 正确；
由二项式系数的性质得 展开式的所有项的二项式系数之和为 ，D 正确.
故选：CD
10. 已知向量 ，将 绕原点 旋转 到 的位置，则（ ）
A. B.
C. D. 点 坐标为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据两向量的夹角为直角易判断 A 项；由全等三角形可排除 B 项；利用向量的数量积的定义判断
C 项；由计算向量的模长可排除 D 项.
【详解】对于 A，将 绕原点 旋转 到 ，
则 与 的夹角为 ，故 ，故 A 正确；
对于 B，因 ， ，可得 ，
则 ，故 B 错误；
对于 C，因 ， ，
故由向量数量积的定义，可得 ，故 C 正确；
对于 D，若点 坐标为 ，
则 ，故 D 错误.
故选：AC.
11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线 就是其中之一，其形状酷似数学符号
“ ”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ）
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A. 曲线 与直线 有 3 个公共点；
B. 的最大值为 4
C. 曲线 所围成的图形的面积为
D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，联立 ，根据解的个数即可判断；对于 B，作出曲线 的图形，
令 ，则 ，确定该直线与 相切时直线与 轴的截距最大，利用直线与圆的位
置关系计算即可判断；对于 C，求出一个弓形 的面，则可求出曲线 所围成的图形的面积，即可判断；
对于 D，确定 可表示为曲线 上的点 与定点 的距离的平方，利用两点距公式计算
即可判断.
【详解】对于 A，由 ，得 ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，所以 或 或 ，
即曲线 与直线 有 3 个公共点，故 A 正确；
对于 B， ，
如图所示：
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由图可知， 所在圆的圆心为 ，半径为 2， .
令 ，则 ，即 ，
如图，当该直线与 相切时，直线与 轴的截距最大，
由 ，得 ，解得 ，即 的最大值为 4，故 B 正确；
对于 C，由选项 B 知，曲线 所围成的图形的面积为四个全等弓形 的面积之和，
设弓形 的面积为 ，
在 中， ，
所以 ，
所以扇形 的面积 ，
，所以 ，
所以曲线 所围成的图形的面积为 ，故 C 错误；
对于 D， 可表示为曲线 上的点 与定点 的距离的平方，
由图可知，最大距离为定点 到圆心 的距离与半径之和，
即 ，
所以 的最大值为 ，故 D 正确.
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故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题的难点是对 C 选项的判断，求出一个弓形 的面积.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知直线 ，直线 ，则 与 之间的距离为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用平行线间距离公式，即可计算结果.
【详解】直线 ，直线 ，
两条直线平行，所以 与 之间的距离 .
故答案为：
13. 2022 年北京冬奥会开幕式始于 24 节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的
画面和谐统一起来.我国古人将一年分为 24 个节气，如图所示，
相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为 13.5
尺，芒种日晷长为 2.5 尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为______尺.
【答案】84
【解析】
【分析】根据给定条件可得以冬至日晷长为首项，芒种日晷长为第 12 项的等差数列，求出公差即可列式计
算作答.
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【详解】依题意，冬至日晷长为 13.5 尺，记为 ，芒种日晷长为 2.5 尺，记为 ，
因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到芒种日晷长的各数据依次排成一列得等差数列
，
数列 的公差 ，
因夏至与芒种相邻，且夏至日晷长最短，则夏至的日晷长为 ，
又大雪与冬至相邻，且冬至日晷长最长，则大雪的日晷长为 ，
显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为 1.5 尺，末项为 12.5 尺，共 12 项，
所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为 (尺).
故答案为：84
14. 已知函数 的部分图象如图所示，其中 B，C 两点的纵坐标相等，
若函数 在 上恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的部分图象及周期公式求出函数 的解析式，进而得到 解析式，由已知条件得
出 ，再结合 有三个零点列出不等式组即可求解.
【详解】由图可知， ，则图象的一条对称轴为 ，
设函数的最小正周期为 ，则 ，即得 ，故 ，
又由 可得 ，又因图象在点 附近为减函数，
则 ，即 ，因 ，故得 ，
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则 ，于是 ，
当 时， ，
依题意需使 ，即 ，解得 ，
于是， ， ，
因函数 在 上的零点为 ，
又函数 上恰有 3 个零点，
故有 或 ，
解得 或 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：在确定 后，必须就 所在区间的左右端点的范围列举出函数的零点，
根据题意列出对应的不等式组，求解才可.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 、 、 分别为 三个内角 、 、 的对边， .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 、 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）在 中，由 及正弦定理得到 ，得出角 A；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得 ．
【小问 1 详解】
根据正弦定理，
变为 ，即 ，
也即 ，
所以 ．
整理，得 ，即 ，所以 ，
所以 ，则 ．
【小问 2 详解】
由 ， ，得 ．
由余弦定理，得 ，
则 ，所以 ．则 ．
16. 各项均为正数的等比数列 首项 ， 为其前 n 项和，若 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2） ， ，记数列 前 n 项和 ．若 ，求整数 n 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的通项公式和等差中项的定义求解即可；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【小问 1 详解】
， ， 成等差数列，故 ，
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即 ，
则 ，解得 或者 ，
因为等比数列 各项均为正数，故 ，且
所以
【小问 2 详解】
，故 ，
故 ，
故 即 ，解得 ，
故整数 n 的最大值为 .
17. 已知椭圆方程 ，椭圆上有三个点 ， ， ．
（1）求椭圆的标准方程，并求椭圆的离心率：
（2）设 是椭圆上的动点，且直线 关于直线 对称，求直线 的斜率.
【答案】（1）方程为 ,离心率为 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）将 两点代入椭圆方程解方程即可求得椭圆方程和离心率；
（2）设直线 的方程并与椭圆联立，解得 两点的坐标表示，即可求得 的斜率.
小问 1 详解】
根据题意将 代入椭圆方程可得 ，解得 ；
再代入 点坐标，可得 ，可得 ；
所以 ，
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因此椭圆的标准方程为 ，离心率为 .
【小问 2 详解】
如下图所示：
因为 两点关于 轴对称，且直线 关于直线 对称，所以直线 的斜率均存在，
且互为相反数，
即 ；
设 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
显然 是该方程的根，所以 ，可得 ；
即
因为 ，
同理可得 ，
可知
因此直线 的斜率为 .
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18. 某保险公司随机选取了 200 名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索赔情况，结果如下：
单位：人
驾龄
一年内是否索赔 合计
不满 10 年 10 年以上
是 10 5 15
否 90 95 185
合计 100 100 200
（1）依据小概率值 的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与
司机的驾龄有关？
（2）保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为 ，投保的老司机索赔的概率均为
．假设投保司机中新司机的占比为 .随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第
年索赔”为 ，事件“这名司机是新司机”为 .已知
.
（i）证明： ；
（ii）证明： ，并给出该不等式的直观解释.
附： ，
【答案】（1）司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析， 说明投保司机第一年索赔的概率小于他第一年
索赔后第二年又索赔的概率.
【解析】
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【分析】（1）根据卡方独立性检验的检验规则即可求解；
（2）（i）根据条件概率公式即可证明；
（ii）根据题意可知 ，由（i）中的结论及已知易得
，进而转化为 ，将该式化
简变形即可证明.
【小问 1 详解】
零假设为 ：司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关.
根据表中数据，计算得 .
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此可以认为 成立，即认为司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关.
【小问 2 详解】
（i）根据条件概率的定义，
.
（ii）由题意 .
由（i）中的结论及已知得 ，
，
由概率的性质知 .
由全概率公式， .
根据条件概率的定义， .
因为 ，所以要证 ，即证 ，
即证 .因为 ，所以 成立.
所以 .
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式子 说明投保司机第一年索赔的概率小于他第一年索赔后第二年又索赔的概率.
19. 已知函数 ， .
（1）讨论 的单调区间；
（2）当 时，令 .
①证明：当 时， ；
②若数列 满足 ， ，证明： .
【答案】（1）答案见解析；
（2）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】(1)求出函数 的导函数 ，再讨论 的符号即可计算作答.
(2)①等价变形所证不等式，构造函数 ，利用导数探讨单调性即可；
②由已知证明 ，由①分析探讨，等价转化，再构造函数 ，利用递推变换即
可作答.
【小问 1 详解】
函数 定义域为 R，求导得 ，
当 时， 恒成立，即 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 2 详解】
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当 时， ，
①当 时， ，
令 ， ， 恒成立，则 在 上单调递减，
，因此， 成立，
所以当 时， .
②由①可知，当 时， ，由 得 ，即 ，由 ，可
得 ，
而 ，又 ，即 ，则 ，
由于 ，只需证 ，
又当 时，
，
令 ， ， 恒成立，则 在 上单调递增，
，
则当 时，恒有 ，而 ，即 成立，不等式
成立，
因此 成立，即 成立，
所以原不等式得证.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、
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极(最)值问题处理.
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