重庆市第二外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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（全卷共四大题满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 表是离散型随机变量 的概率分布，则 （ ）
1 2 3 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率和为 1 求解即可.
【详解】由题意， ，解得 .
故选：B
2. 小明参与答题竞赛，需要从 a，b 两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级．若小明选择 a，b 试
题的概率分别为 0.8，0.2，答对 a，b 试题的概率分别为 0.8，0.6，则小明晋级的概率为（ ）
A. 0.64 B. 0.68 C. 0.72 D. 0.76
【答案】D
【解析】
【分析】用 分别表示小明选择 试题，用 表示小明晋级，可得 ，
，利用全概率公式可求小明晋级的概率.
详解】用 分别表示小明选择 试题，用 表示小明晋级，
由题意可得 ， ，
所以由全概率公式得 .
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故选：D
3. 如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 在 上是增函数 B. 在 上是减函数
C. 当 时， 取得极小值 D. 当 时， 取得极小值
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项 A，由图知，当 时， 的符号有正有负，
不是单调的函数，所以选项 A 错误，
对于选项 B，由图知，当 时， 是增函数，所以选项 B 错误，
对于选项 C，由图知 ，且在 左侧附近， ，在 右侧附近， ，
所以 是极大值点， 在 处取到极大值，所以选项 C 错误，
对于选项 D，由图知 ，且在 左侧附近， ，在 右侧附近， ，
所以 是极小值点， 在 处取到极小值，所以选项 D 正确，
故选：D.
4. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. B. 4 C. D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】写出 的展开式的通项，求出常数项.
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【详解】二项式 的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
所以常数项为
故选：C
5. 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不
同的摆放方法有种
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有 种排法；
第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有 种排法；
∴
故选：A.
6. 函数 在 时取得极值，则当 时， 的最大值为（ ）
A. -9 B. 2 C. 10 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数 的导数，由极值点求出 ，进而求出最大值.
【详解】函数 ，求导得 ，
由函数 在 时取得极值，得 ，解得 ，
，当 时， ，当 时， ，
则 是 的极值点，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 的最大值为 .
故选：D
7. 已知口袋中有 3 个黑球和 2 个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸
到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析题意，利用全概率公式即可得解.
【详解】设事件 表示“第二次摸到白球”，事件 表示“第三次又摸到白球”，
依题意，在第一次摸到白球的情况下，口袋中有 3 个黑球和 1 个白球（除颜色外完全相同），
所以 ， ， ， ，
则所求概率为 .
故选：B
8. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 a、b、c 的结构，构造函数 ，利用导数判断单调性，即可比较出 a、b、c 的大小，
得到正确答案.
【详解】因为 ， ， 构造函数 ，
则 ， ， ， ，
在 上递增，在 上递减.则有 最大，即 ， .
若 有两个解，则 ，
所以 所以
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即 ,
令 ，则 ，
故 在 上单增,所以 ，
即在 上， .
若 ，则有 ，即 .
故 ，所以 .
当 时，有 ，故
所以 .
综上所述： .
故选：A
【点睛】利用函数单调性比较大小的类型：
（1）比较幂指数、对数值的大小；
（2）比较抽象函数的函数值的大小；
（3）利用单调性解抽象（结构复杂）函数型不等式.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分，每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 可表示为
B. 5 个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手 10 次
C. 若把英文“english”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 5040 种
D. 吴老师将手里 5 张演唱会的门票分给本班数学成绩前 10 名中的 5 人，则分法有 种
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【答案】ABD
【解析】
【分析】利用排列数公式判断 A；利用组合计数问题列式判断 BD；利用全排列列式求解判断 C.
【详解】对于 A， ，A 正确；
对于 B，5 个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手 （次），B 正确；
对于 C，英文“english”的 7 个字母全排列为 ，而正确的顺序只有 1 种，
所以可能出现的错误共有 （种），C 错误；
对于 D，将 5 张演唱会的门票分给 10 名中的 5 人，共有 种不同分法，D 正确.
故选：ABD
10. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定 等式，利用二项式定理，结合赋值法逐项求解判断.
【详解】对于 A，取 ，得 ，A 正确；
对于 B，取 ，得 ，因此 ，B 错误；
对于 C， ，C 正确；
对于 D，取 ，得 ，
因此 ，D 正确.
故选：ACD
11. 已知函数 ，以下命题正确的是（ ）
A. 若函数 不存在极值，则实数 b 的取值范围是
B. 方程 的所有实根的和为 8
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C. 过点 且与曲线 相切的直线有三条
D. 方程 ，则 的极大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】对 A：求导，由判别式小于等于 得出实数 的取值范围；对 B：根据对称性得出所有实数的和；
对 C：利用导数的几何意义得出方程 的根，得出切线的条数；对 D：利用导数得出极
值.
【详解】对 A，因为 ，
所以 ，若函数 不存在极值，
则有 ，解得 ，故 A 错误；
对 B，函数 ，
由 为奇函数，关于原点对称，可得 的图象关于点 对称，
且函数 的图象也关于点 对称，
所以 与 的图象交点关于点 对称，
由图可知 与 的图象有四个交点，
所以方程 有四个不同的根，
所以方程 的所有实数根的和为 ，故 B 正确；
对 C，设过点 的直线与曲线 相切于点 ，
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的导数为 ，则有 ，
又点 在曲线 上，所以 ，
代入上式， ，化简有 .
设 ，三次方程最多 3 个根，
且 ， ， ， ，
则 分别在 上各有一零点，即 有 3 个不相等的实数根，
所以过点 且与曲线 相切的直线有三条，故 C 正确；
④化简得
，当 ， 单调递增，当 ， 单调递
减.故 极大值为 ，故 D 错误.
故答案为：BC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，则 ________.
【答案】2
【解析】
【分析】求出函数 的导数，进而求出导数值.
【详解】由 ，求导得 ，
所以 .
故答案为：2
13. 已知离散型随机变量 所有可能取值为 ，0，1 其中 ， ，
，则 的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用分布列的性质及基本不等式求解.
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【详解】依题意， ，解得 ，而 ，
于是 ，即 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 .
故答案为：
14. 设 为大于 2 的自然数，将二项式 两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等
式 ，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到 ______.
【答案】
【解析】
【分析】对 ，两边同乘以 整理后再对 求导，然后令
代入整理即可.
【详解】对 ，两边同乘以 得：
，
两边同时求导得 ，
令 得 ，
即 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，满分 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间．
【答案】（1）
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（2）单调递减区间为 ；单调递增区间为
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率为 ，结合 可得切线方程；
（2）求导后，根据导函数正负即可求得 单调区间.
【小问 1 详解】
由题意得： ， ，又 ，
在点 处 切线方程为 .
【小问 2 详解】
由题意知： 定义域为 ；
由（1）知：当 时， ；当 时， ；
的单调递减区间为 ；单调递增区间为 .
16. 已知 的展开式中，第 3 项与第 4 项的二项式系数之比为 1:1.
（1）求 m 的值；
（2）求展开式中含 的项.
【答案】（1）5； （2） .
【解析】
【分析】（1）利用二项式系数及组合数的性质求出 .
（2）由（1）求出展开式的通项公式，进而求出指定项.
【小问 1 详解】
由 的展开式中，第 3 项与第 4 项的二项式系数之比为 1:1，得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）， 的展开式的通项公式为 ，
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由 ，解得 ，
所以展开式中含 的项为 .
17. 已知函数 ， ， ， .
（1）当 时，求 在区间 上的值域；
（2）若对任意 ，都有 成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）把 代入，利用导数求出函数 的最值即可.
（2）按 探讨函数 的导函数值，确定函数 的单调性，求出最小值即可得解.
【小问 1 详解】
当 时，函数 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，因此 ，
所以 在区间 上的值域为 .
【小问 2 详解】
函数 ，求导得 ，对任意 ， ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
则对任意 ， ，符合题意，因此 ；
当 时，函数 在 上单调递增，当 时， ，
函数 在 上单调递减，当 时， ，不符合题意，
所以 的取值范围是 .
18. 某学校有 C、D 两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选
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择 C 图书馆的概率是 ，若在前一天选择 C 图书馆的条件下，后一天继续选择 C 图书馆的概率为 ，而在
前一天选择 D 图书馆的条件下，后一天继续选择 D 图书馆的概率为 ，如此往复.
（1）求该学生第一天和第二天都选择 C 图书馆的概率；
（2）求该学生第二天选择 C 图书馆的概率；
（3）记该学生第 n 天选择 C 图书馆的概率为 ，求数列 的通项公式.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据第一天选择 C 图书馆的概率是 ，后一天继续选择 C 图书馆的概率为 求解即可；
（2）分第一天选 C、D 两个图书馆两种情况求解即可；
（3）根据题意得出递推公式 ，再构造 求解通项公式即可.
【小问 1 详解】
由题意，第一天和第二天都选择 C 图书馆的概率为
【小问 2 详解】
第一天选 C 图书馆，第二天选 C 图书馆的概率为 ，
第一天选 D 图书馆，第二天选 C 图书馆的概率为 ，
故第二天选 C 图书馆的概率为 .
【小问 3 详解】
由题意，当 时， ，则 ，
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即 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列，
故 ，解得
19. 在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线 ，我们
定义曲线段 的平均曲率为 ，曲线在点 C 处的曲率为 （若极限存在），
其中 ， 分别表示 在点 C 处的一阶、二阶导数值.已知函数 .
（1）求函数 在点 处的曲率；
（2）求函数 的曲率 K 的最大值；
（3）设函数 ， ，若存在 使得 的曲率为 0，求证：
.
【答案】（1） ；
（2）2； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用曲率的定义，求出函数在点 处的曲率.
（2）利用曲率的定义求出曲率函数，换元并利用单调性求出最大值.
（3）由曲率为 0 得 ，构造函数 ，利用导数探讨 有两个解 ，再按
和 分类证明不等式.
【小问 1 详解】
函数 ，求导得 ， ，则 ， ，
所以函数 在点 处的曲率 .
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【小问 2 详解】
由（1）知， ，令 ，则 ，
函数 上单调递增，因此函数 在 上单调递减，
当 ，即 时，函数 的曲率 K 取得最大值 2.
【小问 3 详解】
函数 ，求导得 ， ，
由 曲率为 0，得 ，则 ，即 ，令 ，
求导得 ，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 处取得最大值 ，
又当 时， 恒成立，而 ，因此 有两个解 ，
当 时， ，则 ，设 ， ，
于是 ， ， ，则 ， ，
不等式 ，
令 ，求导得 ，
因此函数 在 上单调递增， ，则 ；
当 时， ，
不等式 ，
，同理 ，函数 在 上单调递增，
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因此 ，则 ，
所以 .
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