2024-2025学年四川省资阳天立学校高二下学期开学考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省资阳天立学校高二下学期开学考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量a，b的夹角为π3，且a=2，b=1，则a+2b与b的夹角是( )
A. π6B. 5π6C. π4D. 3π4
2.若直线2x+6y−1=0与直线mx−2y+7=0垂直，则m=( )
A. −6B. 6C. −23D. −2
3.圆x2+y2−2x+4y+3=0的圆心到直线x−y=1的距离为( )
A. 2B. 22C. 3D. 2
4.已知复数z满足z+2+z−2=6，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为( )
A. 线段B. 圆C. 椭圆D. 双曲线
5.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=BC,E,F分别为CD,PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为( )
A. 39B. 2 39C. 33D. 4 39
6.若圆x2+y2−2x−6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为( )
A. 12B. 34C. 43D. 2
7.已知圆C1:x2+y2=b2b>0与双曲线C2:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线，切点为A、B，且∠APB=π3，则双曲线C2的离心率的取值范围是( )
A. 1, 52B. 52,+∞C. 1, 3D. 3,+∞
8.设抛物线T:y2=4x的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，|AF|=4，若将直线AF绕点F逆时针旋转45∘得到直线l，且直线l与抛物线交于C,D两点，则|CD|=( )
A. 32−16 3B. 32−16 2C. 16−8 3D. 16−8 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=2，BB1= 2，D，E分别为棱BC，BB1的中点，则( )
A. A1B//平面ADC1
B. AD⊥C1D
C. 异面直线AC与DE所成角的余弦值为 105
D. 平面ADC1与平面ABC的夹角的正切值为 2
10.设点Px,y为圆C:x2+y2=1上一点，已知点A4,0,B5,0，则下列结论正确的有( )
A. x+y的最大值为 2B. x2+y2−4x−4y的最小值为8
C. 存在点P使PB= 2PAD. 过A点作圆C的切线，则切线长为 15
11.设F为双曲线C:x22−y22=1的焦点，O为坐标原点，若圆心为0,m，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则( )．
A. C的离心率为 2B. OA2+OB2=6
C. OA+OB≤4D. FA+FB≥2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i,j,k是不共面向量，a=2i−j+3k，b=−i+4j+2k，c=7i+5j+λk，若a，b、c三个向量共面，则实数λ= ．
13.若直线l:ax−y+2−a=0(a∈R)与圆C:(x−3)2+(y−1)2=9相交于A，B两点，当|AB|取得最小值时，直线l的斜率为 ．
14.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上且不与顶点重合的任意一点，I为△PF1F2的内心，O为坐标原点，记直线OP，OI的斜率分别为k1，k2，若k1=32k2，则E的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知a，b，c是空间中不共面的向量，若AB=2a−b+c，AC=a+2b−c，AD=−a+mb+nc．
(1)若B，C，D三点共线，求m，n的值；
(2)若A，B，C，D四点共面，求mn的最大值．
16.(本小题12分)
在▵ABC中，顶点A在直线y=x上，顶点B的坐标为(−4,0),AB边的中线CD所在的直线方程为5x+7y−2=0,BC边的垂直平分线的斜率为52．
(1)求直线AC的方程；
(2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．
17.(本小题12分)
已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切，过点B(−2,0)的动直线l与圆A相交于M，N
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2 19时，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60 ∘，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，点E,F为PC,PA的中点．

(1)求证：平面BDE⊥平面ABCD；
(2)二面角E−BD−F的大小；
(3)设点M在PB(端点除外)上，试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．
19.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线的斜率为 33，右焦点F到其中一条渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线l(斜率存在且不为0)与双曲线C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M′，若M′，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.C
5.A
6.C
7.B
8.A
9.ABD
10.AD
11.ACD
12.19
13.2
14.12
15.解：(1)因为B，C，D三点共线，则BD=λBC， 又BC=AC−AB=−a+3b−2c， BD=AD−AB=−3a+(m+1)b+(n−1)c， 有−3=−λ,m+1=3λ,n−1=−2λ.解得m=8,n=−5.
(2)因为A，B，C，D四点共面，则AD=xAB+yAC， 则−a+mb+nc=x(2a−b+c)
+y(a+2b−c)， 有−1=2x+y,m=−x+2y,n=x−y. 解得3m+5n=−1， 所以mn=m⋅−1−3m5=15(−3m2
−m)， 当m=−16时，取到最大值160．

16.解：(1)由BC边的垂直平分线的斜率为52，得直线BC方程为y=−25(x+4)，即2x+5y+8=0，
而AB边中线CD所在的直线方程为5x+7y−2=0，
由2x+5y+8=05x+7y−2=0，解得x=6y=−4，则C(6,−4)，设点A(a,a)，则点D(a2−2,a2)，
于是5(a2−2)+7⋅a2−2=0，解得a=2，即点A(2,2)，直线AC的斜率k=−4−26−2=−32，
所以直线AC的方程为y−2=−32(x−2)，即3x+2y−10=0．
(2)由(1)知，A(2,2)，C(6,−4)，
由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线l过边AC的中点(4,−1)，或l//AC，
当直线l过(4,−1)时，直线l的斜率为−1−04−(−4)=−18，方程为y=−18(x+4)，即x+8y+4=0，
当直线l//AC时，直线l的斜率为−32，方程为y=−32(x+4)，即3x+2y+12=0，
所以直线l的方程为x+8y+4=0或3x+2y+12=0．

17.解：(1)设圆A的半径为R，因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，
所以R=|−1+4+7| 5=2 5，
所以圆A的方程为(x+1)2+(y−2)2=20；
(2)由于弦长MN=2 19，则圆心到直线的距离为d= 2 52− 192=1，
当直线l与x轴垂直时，x=−2，满足题意；
当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y=k(x+2)，即kx−y+2k=0，
于是 | −k−2+2k| k2+1=1，
解得k=34，
此时直线l的方程为3x−4y+6=0，
综上，直线l的方程为x=−2或3x−4y+6=0．
18.解：(1)证明：连接AC与BD交于点O，连接EO，
∵底面ABCD为菱形，
∴点O为AC的中点，
∵点E为PC的中点
∴EO//PA，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，
又∵EO⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD；
(2)∴EO⊥平面ABCD，且底面ABCD为菱形，
∴OB,OC,OE两两垂直，
以O为原点，以OB,OC,OE向量方向为x,y,z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
∵底面ABCD为菱形，且∠ABC=60 ∘，PA=AB=2，
∴AC=2，BO= 3，
∵O,E分别为AC,PC的中点，
∴OE=12PA=1，OC=OA=1，
则O0,0,0，B 3,0,0，C0,1,0，D− 3,0,0，F0,−1,1，
则FB= 3,1,−1，DB=2 3,0,0，OC=0,1,0，
设平面BFD的一个法向量为m=x,y,z，
则有m⋅DB=2 3x=0m⋅FB= 3x+y−z=0，即x=0y=z,
令y=1，则m=0,1,1，
∵底面ABCD为菱形，
∴OC⊥BD，
∵平面BDE⊥平面ABCD，且平面BDE∩平面ABCD=BD，OC⊂平面ABCD，
∴OC⊥平面BDE，
∴OC=0,1,0为平面BDE的一个法向量，
设二面角E−BD−F大小为θ，
则csθ=csm,OC=m⋅OCm⋅OC=0+1+0 0+1+1 0+1+0= 22．
所以二面角E−BD−F的大小为π4；
(3)因为点M在线段PB(端点除外)上，设PM=λPB00，
∴双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0，设右焦点F的坐标为c,0，
则bc a2+b2=bcc=1ba= 33，解得a= 3，b=1，
∴双曲线C的方程为x23−y2=1．
(2)由(1)知，双曲线C的右焦点F2,0，
设直线l与x轴交于点t,0，直线l的方程为y=kx−tk≠0，Mx1,y1，Nx2,y2，则M′x1,−y1，
联立y=kx−tx23−y2=1，消去y得1−3k2x2+6tk2x−3k2t2+3=0，
显然有1−3k2≠0且Δ=6tk22+41−3k23k2t2+3>0，
化简得k2≠13且t2−3k2+1>0，
则x1+x2=−6tk21−3k2，x1x2=−3k2t2+31−3k2，
故FM′=x1−2,−y1，FN=x2−2,y2，
∵M′，F，N三点共线，
∴FM′//FN，则−y1x2−2=y2x1−2，
∴−kx1−tx2−2=kx2−tx1−2，
又k≠0，∴x1−tx2−2+x2−tx1−2=0，
∴2x1x2−t+2x1+x2+4t=0，
∴2−3k2t2+31−3k2−t+2−6tk21−3k2+4t=0，化简得t=32，经检验符合题意，
∴直线l的方程为：y=kx−32，
∴直线l经过x轴上的一个定点32,0，