新高考数学二轮复习专题突破训练专题09 统计与概率（2份，原卷版+解析版）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+2（解答题）
时间：90分钟
一、单选题
1．（2020·四川成都·高三月考（理））某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（ ）
A．90B．216C．144D．240
【答案】B
【分析】
先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，再将他们分配到四个医院即可.
【详解】
完成这件事情，可以分两步完成，
第一步，先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，共有种方案；
第二步，再将这四组医生分配到四所医院，共有种不同方案，
所以根据分步乘法计数原理得共有种不同安排方案.
故选：B.
【点睛】
本题考查分组分配问题和分步乘法计数原理,考查逻辑推理能力,是中档题.本题解题的关键在于根据分组分配的方法先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，再将四组医生分别分配到医院.
2．（2020·湖南郴州·高三月考）《易经》是中国传统文化中的精髓.下图是易经先天八卦图（记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰盂、坎中满、离中虚、艮覆碗、兑上缺），每一卦由三根线组成（“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，已知每卦都含有阳线和阴线，则这两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先从八卦中任取两卦，求得两卦的方法数，再求得两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线，取法的方法数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，八卦分成了四类，A类是：3个卦含1阴2阳，B类是：3个卦含2阴1阳，C类是：1个卦含3阳，D类是：1个卦含3阴，
从八卦中任取两卦，共有种不同的取法，
其中这两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线，
则可从A类中选2卦，方法数为种，或从D类和B类中各选1卦：方法数为，
所以所求概率为.
故选：C.
3．（2020·云南高三期末（文））我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”.某校数学兴趣小组为了解本校学生对《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》阅读的情况，随机调查了100名学生，阅读情况统计如下表，
则该100名学生中阅读过《九章算术》的人数为（ ）
A．60B．70C．80D．90
【答案】C
【分析】
根据统计表分析可得结果.
【详解】
根据统计表可知，只阅读过《周髀算经》没阅读过《九章算术》的人数为人，
所以只阅读过《九章算术》没阅读过《周髀算经》的人数为人，
所以阅读过《九章算术》的人数为人.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：理解并运用统计表给出的信息是解题关键.
4．（2020·内蒙古高三其他模拟（理））陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰好是相生关系包含的基本事件个数，由此能求出取出的两种物质恰好是相生关系的概率.
【详解】
由金、木、水、火、土之间相生相克的关系可以看出，
现从五种不同属性的物质中任取两种，
基本事件总数，
取出的两种物质恰好是相生关系包含的基本事件个数，
则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为.
故选：.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
5．（2020·广东深圳·高三月考（理））算盘是中国传统的计算工具，是中国古代一项伟大的发明，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云；珠算控带四时，经纬三才，大意是：把木板刻为3部分，上､下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，s分别是个位､十位､百位､……，上面一粒珠(简称上珠)代表5，下面一粒珠(简称下珠)是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小，现从个位､十位和百位这三组中随机拨动2粒珠(上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨)，则算盘表示的整数能够被3整除的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
从个位，十位，百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，利用列举法列出整数共有32个，其中能够被3整除的整数有16个，进而根据古典概型的概率公式计算即可.
【详解】
从个位，十位，百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，利用列举法列出整数有：
11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，3001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，2，20，200，2000，6，60，600，6000共32个，其中算盘表示的整数能够被3整除有15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000共16个，则算盘表示的整数能够被3整除的概率是.
故选：B.
6．（2020·江苏南通·高三期中）埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：，…，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y，，将所有可能的三位数x按从小到大依次排序，则第12个三位数x为（ ）
A．214B．215C．248D．284
【答案】C
【分析】
观察，将数字分成三组，每组取一个数字可构成符合条件的，由此分析求解即可.
【详解】
∵1,4,7,2,8,5,这六个数中，1+8=9，2+7=9，4+5=9，共3组
要使六个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，且，
所以从小到大排列为：，
故第12个三位数x为248.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于将这6个数分为1+8=9，2+7=9，4+5=9，共3组，进而利用列举法求解.
7．（2019·陕西高三三模（理））“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央.露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设水深为尺，根据勾股定理可得，解得，可得水深尺，芦苇长尺，根据几何概型概率公式可得，从该芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率为，故选B.
8．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】
根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】
，
故选：B
【点睛】
判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
二、多选题
9．（2021·湖南湘潭·高三月考（理））下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据下图中的信息，下面说法错误的是（ ）
A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数
B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数
C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同
D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差
【答案】B
【分析】
通过雷达图分别求出甲、乙轮胎宽度的平均数、众数中位数和极差，对照选项选出错误的答案.
【详解】
由题意可知甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差是3；
乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差是5；
则A，C，D正确，B错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查用雷达图计算平均数、众数中位数和极差，需注意甲、乙数据不要搞混，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.
10．（2020·辽宁高二期末）疫苗的研制需要经过临床试验阶段，抗体产生的初次应答和再次应答两个阶段都需经过一定的潜伏期，潜伏期长短与抗原的性质有关.疫苗经5~7天，类毒素在2~3周后，血液中才出现抗体，初次应答所产生的抗体量一般不多，持续时间也较短，从抗体出现的种类来看，（免疫球蛋白）出现最早，但消失也快，在血液中只维持数周至数月.（免疫球蛋白）出现稍迟于，当接近消失时，达高峰，它在血液中维持时间可达数年之久.当第二次接受相同抗原时，机体可出现再次反应，开始时抗体有所下降，这是因为原有抗体被再次进入的抗原结合所致.下图是某种疫苗试验得到的有关测试数据绘制出的图形，则下列关于该图形说法正确的是（ ）
A．初次抗原刺激阶段，在10天内试验个体对抗原刺激不够灵敏，产生的浓度比较低
B．初次抗原刺激阶段，峰值出现早于峰值
C．再次抗原刺激阶段，总抗体量大概8天左右达到峰值，且潜伏期比初次抗原刺激阶段要短
D．在试验的两个阶段的峰值出现比出现最早，但消失也快
【答案】AC
【分析】
根据图形所给的信息依次判断选项即可.
【详解】
根据试验图形，对于选项A，初次抗原刺激阶段，潜伏期大概10天，
且在该时期内和的浓度比较低，因而选项A正确；
对于选项B，峰值出现晩于的峰值，且消失较早，因而选项B错误；
对于选项C，结合图形，总抗体量出现在大概8天左右，
且潜伏期比初次抗原刺激阶段大大缩短，因而选项C正确；
对于选项D，在试验的两个阶段的峰值出现比出现晚，但消失也快，
因而选项D错误.
故选：AC
【点睛】
本题主要考查学生的识图能力，能够从图中提取所需的信息，属于简单题.
11．（2020·广东揭阳·高二期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“，，”猜想
【答案】ABC
【分析】
根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.
【详解】
由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；
，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查杨辉三角的性质和二项式定理，属于基础题.
12．（2020·广东珠海·）已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为
其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】
先求出和，并判断，则排除选项A，判断选项C正确；
再求出的分布列和的解析式，最后求出，则排除选项B；判断选项D正确.
【详解】
解：因为，
则，
，
令时，，
故选项A错误，选项C正确；
连续抛掷两次骰子，向下点数之和为，则的分布列为：
故选项B错误；选项D正确.
故选：CD.
【点睛】
本题考查导数的运算、由生成的函数求数学期望、求随机变量生成的函数与函数值，是基础题.
三、填空题
13．（2020·全国高二单元测试）台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是________．
【答案】0.902
【分析】
根据题意，设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为，则至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，分别求出这四个事件的概率，求和即可得解.
【详解】
设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，
P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)＋P(A∩B∩C)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
故答案为：0.902.
14．（2020·安徽高二月考（理））明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.
【答案】
【分析】
设大圆面积为，小圆面积，求得，，进而求得黑色区域的面积，结合面积比，即可求解.
【详解】
设大圆面积为，小圆面积，则，，
可得黑色区域的面积为，
所以落在黑色区域的概率为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
15．（2020·辽宁高二期末）江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交不会迟到；②若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是__________．
参考数据：若，则，，.
【答案】③④
【分析】
利用正态分布对每一个说法求解其发生的概率，逐项分析，选出正确的选项.
【详解】
解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，
因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交车所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故①错误；
②若8：02出门，江先生乘坐公交，
因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘公交不会迟到；
若8：02出门，江先生乘坐地铁，
因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘地铁不会迟到；
此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故②错误；
③若8：06出门，江先生乘坐公交上班；
因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘地铁不会迟到；
若8：06出门，江先生乘坐地铁，
因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘地铁不会迟到，
此时两种上班方式，显然江先生公交上班不迟到的可能性更大，故③正确；
④若8：12出门，江先生乘坐地铁上班，
因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘地铁不会迟到，
此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故④正确；
综上：③④正确.
【点睛】
本题考查了正态分布的实际应用，解题的关键是熟知正态曲线是关于对称，在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1等正态密度曲线图象的特征.
16．（2020·甘肃省会宁县第二中学高二期中（理））四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.
【答案】12600
【解析】
问题等价于编号为的10个小球排列，其中号，号，号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是.
四、解答题
17．（2020·安徽安庆市·高三二模（理））某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.
（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.
①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在（单位：）的概率是多少？
②若抽取的5户中购买量在（单位：）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在（单位：）的户数为，求的分布列和期望；
（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.
【答案】（1）①；②详见解析；（2）.
【分析】
（1）事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取1户，购买量在，”发生的概率为．
①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在，”为，利用独立重复实验的概率求解即可．
②随机变量所有可能的取值为0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．
（2）每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，判断，通过若户的可能性最大，列出不等式组，求解即可．
【详解】
（1）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在”发生的概率为.
①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在”为A，则.
②随机变量所有可能的取值为0，1，2.则
，，，
所以
（2）每天对甲类生活物资的需求平均值为
（）
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，
若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，，
若k户的可能性最大，则，
，得，
解得，由于，故.
【点睛】
本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查学生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力.
18．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三月考）随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．
（附：刻画回归效果的相关指数，）
（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：，）
（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求（精确到0.01）．
（附：若随机变量，则，）
【答案】（1）见解析（2）技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．（3）2.27元
【分析】
（1）由表格中的数据，，所以，
转化，利用相关指数的定义即得解；
（2）当时，由已知可得，可得，可得y与x满足的线性回归方程，代入计算即得结论；
（3）由，，所以，即得解.
【详解】
解：（1）由表格中的数据，，所以，
所以．
可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．
所以回归模型②的拟合效果更好．
所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为
（亿元）．
（2）当时，由已知可得．
．
所以．
所以当时，y与x满足的线性回归方程为．
当时，科技升级直接收益的预测值为亿元．
当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，
所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．
（3）因为，，所以
；
．
所以（元）．
【点睛】
本题考查了线性回归方程、回归系数，正态分布等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
书籍
《周髀算经》
《九章算术》
《周髀算经》且《九章算术》
《周髀算经》或《九章算术》
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25
y
13
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31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2