江苏省南京市雨花台中学2024-2025苏科版八下数学第5周阶段性训练【含答案】

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A．4B．8C．D．
2．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（ ）
A．逐渐增大B．逐渐减小
C．不变D．先增大，再减小
二．填空题（共11小题）
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥AD，垂足为E，若AB＝6，则OE的长为 ．
4．若，则＝ ．
5．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝30°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转，得到四边形AB′C′D′，连接B′D，若∠BAD′＝84°，则∠ADB′的度数为 ．
6．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点P在AC上运动，以CE为边向外作正方形CFGE，连接PD、PG，若BC＝2，则PD+PG的最小值为 ．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在边BC上，点N在直线CD上，且M是BC的中点，连接AM、MN，若AM＝MN＝2，则DN的长为 ．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若CD＝1，则EF的长为 ．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），点P为y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝AP，取y轴上一点B，以AB，AD为边作▱ABCD，连接OC，则OC长度的取值范围为 ．
11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是 ．
12．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点，若，则正方形ABCD的边长为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D为AB上的动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为 ．
三．解答题（共3小题）
14．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝3．在AD上取一点E，AE＝1，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S．
（1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，x的值为 ，S的值为 ；
（2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，
①求证：∠DNE＝∠MFB；
②求S与x的函数关系式；
（3）当x 时，△BFM的面积S最大；当x＝ 时，△BFM的面积S最小；
（4）在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．
15．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，顺次连接各点得到四边形EGFH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若AB＝CD，求证：▱EGFH是菱形．
16．如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若EH＝6cm，AD＝10cm，求边AB的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．【解答】解：将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，拉动木条，四边形的形状会改变．当∠A＝90°时，四边形的面积为16，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，
过A作AE⊥CB，交CB的延长线于E，
∵∠A＝30°，AD∥BC，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝2，
∴四边形的面积＝AE•BC＝2×4＝8，
故选：B．
2．【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，
方法二：连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
∴DG＝BE＝CD＝AE，
∴四边形AEGD为平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴▱AEGD为矩形，
同理四边形EBCG为矩形，
∴S平行四边形EFGH＝S△EHG+S△EFG＝EG•DG+EG•GC＝EG•DG＝EG•CD＝S矩形ABCD．
故选：C．
二．填空题（共11小题）
3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，点O是BD的中点，
∵OE⊥AD，
∴AB∥OE，
∴OE是Rt△ABD的中位线，
∴OE＝AB＝3．
故答案为3．
4．【解答】解：∵，
∴2a＝3b，
∴a＝b，
则＝＝＝．
故答案为：．
5．【解答】解：∵∠BAD＝∠B′AD′＝30°，∠BAD′＝84°，
∴∠DAB′＝∠BAD′﹣∠BAD﹣∠B′AD′＝84°﹣30°﹣30°＝24°，
∵AD＝AB′，
∴∠ADB′＝（180°﹣24°）＝78°．
故答案为：78°．
6．【解答】解：如图：连接BG，交AC于点P．
∵B与D关于直线AC对称，
∴PD+PG的最小值是BG的长，
∵正方形ABCD的边长为2，E为DC的中点，
∴CE＝GE＝1，BF＝3，
在Rt△BFG中，DE＝＝＝，
则PB+PE的最小值是；
故答案为：．
7．【解答】解：当点N为AM与DC的延长线的交点时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝3，
∴∠MCN＝∠B，
∵M是BC的中点，BC＝5，
∴CM＝BM＝BC＝×5＝，
在△NCM和△ABM中，
，
∴△NCM≌△ABM（ASA），
∴NM＝AM＝2，NC＝AB＝3，
∴AM＝MN＝2，DN＝CD+NC＝3+3＝6；
当点N′在CN上，且AM＝MN′＝2时，则MN′＝MN，
作ME⊥CN于点E，则∠MEN＝∠MEC＝90°，EN＝EN′，
∵MN2﹣EN2＝CM2﹣CE2＝ME2，且CE＝3﹣EN，
∴22﹣EN2＝（）2﹣（3﹣EN）2，
∴EN＝，
∴NN′＝2EN＝2×＝，
∴DN′＝6﹣＝，
故答案为：6或．
8．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，D是AB的中点，CD＝1，
∴CD是斜边的中线，
∴AB＝2CD＝2，
∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝×2＝1．
故答案为：1．
9．【解答】解：如图，连接BD，交FG于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD，
Rt△ABD中，BD＝，
由折叠可得DO＝BD＝4，∠BFO＝∠DFO，
由AB∥CD可得，∠DFO＝∠BGO，
∴∠DFO＝∠BGO，
∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，
∴BD平分FG，
∴OF＝OG，
由折叠知，BF＝DF，
设BF＝DF＝x，则AF＝16﹣x，
在Rt△ABF中，（16﹣x）2+82＝x2，
解得x＝10，即DF＝10，
∴Rt△DOF中，OF＝＝2，
∴FG＝2FO＝4．
故答案为：4．
10．【解答】解：∵A（2，0），
∴OA＝2，
如图，过点D作x轴的平行线交y轴于点F，过点C作y轴的平行线交FD于点E，
∴∠OAP＝∠FDP，
∵∠APO＝∠DPF，AP＝DP，
∴△AOP≌△DFP （ASA），
∴OA＝DF＝2，
在▱ABCD中，AB＝CD，
∵EF∥OA，
∴∠EDA+∠OAD＝180°，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠EDA+∠OAD﹣∠CDA﹣∠BAD＝0，
∴∠EDA﹣∠CDA＝∠BAD﹣∠OAD，
∴∠EDC＝∠OAB，
∵∠CED＝∠BOA＝90°，CD＝BA，
∴△ECD≌△OBA（AAS），
∴DE＝OA＝2，
∴EF＝DE+DF＝4，
∵CE⊥EF，EF∥y轴，
∴C点始终在平行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4，
则O到这条直线的距离为4，
∴OC长度的取值范围为OC≥4．
故答案为：OC≥4．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴ED＝AD﹣AE＝AD﹣AB＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
12．【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH＝45°，
∴AH＝MH，
∵CM平分∠ACB，
∴BM＝MH＝，
在Rt△AMH中，AM＝＝2，
∴AB＝AM+BM＝2+，
故答案为：2+．
13．【解答】解：以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，连接CF，作BE2⊥E1F于点E2．
∵Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°
∴∠ACD＝∠E1CE
∵，
∴△ACD∽△E1CE，
∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∵D为AB上的动点，
∴E在直线E1E上运动，
当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
在△AGC与△E1GF中，
∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，
∴∠GFE1＝∠ACG＝45°
∴∠BFE2＝45°，
∵∠CAD＝∠CE1F＝30°，
∴点A、C、F、E1四点共圆，
∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，
则∠BCF＝30°，
∴BF＝BC＝＝2，
∴BE2＝BF＝×2＝
故答案为．
三．解答题（共3小题）
14．【解答】（1）解：如图1中，
∵四边形EFMN是正方形，
∴EF＝EN，∠FEN＝∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEN＝90°，
∴∠AFE＝∠DEN，
∴△AEF≌△DNE（AAS），
∴AF＝DE，
∵AD＝3．AE＝1，
∴DE＝2，
∴x＝AF＝2．
过点M作MH⊥FB于点H．同法可证△MHF≌△FAE，
可得MH＝AF＝2，
∴S＝•FB•MH＝×5×2＝5．
故答案为：2，5；
（2）①证明：如图2中，
如图，连接FN，作MQ⊥FB于Q，则∠MQF＝90°，∠MQF＝∠A
∵四边形FEMN是菱形，
∴EN＝FM，EN∥FM，
∴∠ENF＝∠NFM，
∵矩形ABCD中，DC∥AB，
∴∠DNF＝∠NFQ，
∴∠DNF﹣∠ENF＝∠NFQ﹣∠NFM，即∠DNE＝∠MFQ，
②解：∵∠D＝∠FQM＝90°，∠QNE＝∠MFQ，NE＝FM，
∴△DNE≌△QFM（AAS），
∴MQ＝DE＝2，
∵AB＝7，AF＝x，
∴S△FBM＝×FB×MQ＝×（7﹣x）×2＝7﹣x．
∴S与x的函数关系式S＝7﹣x；
（3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，△FBM的面积最大，
在Rt△AEF中，x＝＝，
∴S的最大值＝7﹣．
②如图4中，当点M在BC上时，x的值最大，△FBM的面积最小，
此时易证CN＝AF＝x，
∵EN＝EF，
∴1+x2＝22+（7﹣x）2，
∴x＝，
∴S的最小值为．
故答案为：，．
（4）如图3中，在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行AB的线段，点M运动的路线长＝BF的长＝7﹣，
故答案为：7﹣．
15．【解答】证明：（1）∵点E与点H分别为AD，AC的中点，
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH∥CD，EH＝CD，
同理：GF∥CD，GF＝CD，
∴GF∥EH，GF＝EH，
∴．四边形EGFH是平行四边形；
（2）∵点F与点H分别为BC，AC的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴FH＝AB，
∵FG＝CD，AB＝CD，
∴FH＝FG，
由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
∴▱EGFH是菱形．
16．【解答】（1）证明：由折叠可知，∠HEJ＝∠AEJ，∠FEJ＝∠BEJ，
∵∠AEG+∠BEJ＝180°，
∴∠HEJ+∠FEJ＝90°，
∴∠HEF＝90°，
同理，∠EHG＝∠HGF＝∠GFE＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：∵∠EHG＝∠D＝∠HGF＝∠A＝90°，
∴∠AEH+∠AHE＝90°，
∴，∠AEH＝∠FGC，
由折叠的性质，
∵AB＝CD，
∴AE＝CG，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（AAS），
∴AH＝CF＝KF，
∴AD＝AH+HD＝KF+HK＝HF＝10cm．
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG＝EF，
在Rt△EHF中，EH＝6cm，
∴FE＝＝8cm，
∴（cm），
∴（cm）．