江苏省南京市雨花台中学2024-2025苏科版八下数学第1周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏省南京市雨花台中学2024-2025苏科版八下数学第1周阶段性训练模拟练习【含答案】，共25页。试卷主要包含了下列二次根式中等内容，欢迎下载使用。
1．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是CD边的中点，E是BC边上的一动点，M、N分别是AE、PE的中点，随着点E的运动，线段MN长（ ）
A．随着点E的位置变化而变化
B．保持不变，长为
C．保持不变，长为
D．保持不变，长为
2．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D为AB边的中点，∠EDF＝90°，将∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB所在直线于点E、F，有以下4个结论：
①CE＝BF；
②∠DEC+∠DFC＝180°；
③EF2＝2DE2；
④当点E、F落在AC、CB的延长线上时，；
在旋转的过程中上述结论一定成立的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③④
3．下列二次根式中：、、、、，最简二次根式的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线的交点，AB＝7，过点O的直线分别交AB和CD于点F、E，折叠平行四边形后，点A落在点A′处，点D落在点D′处，若AF＝3，则DE的长为（ ）
A．5B．4.5C．4D．3.5
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上任意一点，将正方形绕点B逆时针旋转90°后，点E的对应点为E'，则点B到线段EE′距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，使点C落在AB边的C′上，C′B的长度是（ ）
A．1B．C．2D．
7．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．18
8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是（ ）
A．3B．4C．D．
二．填空题（共7小题）
9．矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为 ．
10．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA＝∠ABF＝90°，且点E、A、B三点在同一直线上，AB＝4，则△ABC的面积是 ．
11．如图，已知在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为BC边上一个动点，连接AP，DE⊥AP，分别交AB、AC于点D、E，垂足为M，点N为DE的中点，若四边形ADPE的面积为18，则AN的最大值为 ．
12．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：S矩形AEOM＝S矩形CFON）“这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补“原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点 E、F，连接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，则图中阴影部分的面积和为 ．
13．如图，平行四边形的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BC，AB＝13，BC＝5，则AO＝ ．
14．如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为1、3，则正方形的边长为 ．
15．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△AB'C'，连接BB′，AB＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共6小题）
16．如图1，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O作OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分别为H，M，若OH≥OM，我们称是平行四边形ABCD的心距比．
（1）如图2，四边形ABCD是菱形，求菱形ABCD的心距比λ的值；
（2）如图3，四边形ABCD是矩形，已知，求矩形ABCD中∠AOB的度数．
17．如图，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（0，4），点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t＝ 秒时，四边形OPQC为矩形；
（2）在整个运动过程中，t为何值时，PQ垂直平分线段AC？判断此时四边形AQCP的形状，并说明理由；
（3）在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？
18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，
（1）如图1，若E在线段BC上，F在线段CD上，
①利用无刻度的直尺和圆规按要求完成作图：作点E，使得AE＝AD；再作点F，连接EF，使得∠EFC＝∠BEA（不写作法，保留作图痕迹）；
②在①作出的图形中，求DF的长；
（2）如图2，若点F为射线DC上一点，将△ADF沿AF所在直线翻折至△AEF的位置，点D落在点E处，连接CE．
①若点F在DC上，当CE∥AF时，EF与CD有何数量关系？请说明理由；
②若点F在DC的延长线上，当△CEF为直角三角形时，请直接写出DF的长为 ．
19．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式例如：当x＝+1时，求x3﹣x2﹣x+2的值．
为解答这题，若直接把x＝+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法一：将条件变形，因x＝+1，得x﹣1＝．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式，可得原式＝（x3﹣2x2﹣2x）+2＝[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2＝[x（x﹣1）2﹣3x]+2＝（3x﹣3x）+2＝2．
方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由x﹣1＝，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．
原式＝x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2．
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）当x2+x﹣1＝0时，求x4﹣3x2+1的值；
（2）当x＝﹣1时，求x3+2x2﹣x+1的值．
20．【定义】我们把有一组对角是直角的四边形叫做“美妙矩形”：连接它的两个非直角顶点的线段，叫做“美妙对角线”．
如图（1），在四边形ABCD中，若∠B＝∠D＝90°，则四边形ABCD是“美妙矩形”，AC为“美妙对角线”．
【理解】
（1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“美妙矩形”的是 ．
（2）如图（2），在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在网格格点中找到一点D，使得四边形ABCD为“美妙矩形”；
【应用】
（3）若四边形ABCD为“美妙矩形”，AB＝3，BC＝2，AD＝1，则CD＝ ；
（4）已知“美妙矩形”ABCD中，AC为“美妙对角线”，点O为AC的中点，AC＝4．
①如图（3），当四边形ABOD为菱形时，求“美妙矩形”ABCD的面积；
②在①的条件下，将△ABO沿着射线AC方向平移到△A′B′O′，当四边形AB′O′D为矩形时，A′A＝ ．
21．如图1所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，其中点B（，0）、D（0，6）．
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，E是AD上一点，且AE＝，P是AC上一动点，求PD+PE的最小值；
（3）如图3，动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度，沿折线B→C→D在菱形的两边上匀速运动，设运动时间为t秒．若点Q到BD的距离是，则t＝ ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：连接AP，
∵矩形ABCD中，AB＝DC＝2，P是CD边上的中点，
∴DP＝1，
∴AP＝＝，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN＝AP＝．
故选：B．
2．【解答】解：如图，连接DC，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，
∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE＝BF，∠BDF＝∠CDE，∠BFD＝∠CED，DE＝DF，故①正确；
∴∠BFD+∠DFC＝180°＝∠CED+∠DFC，
如图，当点E、F落在AC、CB的延长线上时，连接CD，
同理可证△DEC≌△DBF，
∴∠DEC＝∠DFC，故②错误，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝∠CDE+∠CDF＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2，故③正确；
如图，连接CD，
同理可证：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，
∴S△DEF＝S五边形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC，
∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．故④正确，
故选：D．
3．【解答】解：＝、＝2、＝、＝3，
所以最简二次根式只有，
故选：A．
4．【解答】解：∵平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，根据题意，
则点E和点F关于O中心对称
∴AF＝EC＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝7，
DE＝DC﹣EC＝7﹣3＝4，
故选：C．
5．【解答】解：如图，连接BE，BE′，EE′，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，AC＝4，
由旋转可知：AE′＝CE，BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∠D′AA′＝∠DCA＝45°，
∴△BEE′是等腰直角三角形，∠A′AC＝90°，
过点B作BM⊥EE′于点M，
∴BM＝EE′，
∴要求BM的最小值，只需求EE′的最小值，
设AE＝x，则AE′＝CE＝4﹣x，
在Rt△AEE′中，根据勾股定理得：
EE′2＝AE2+AE′2，
∴EE′2＝x2+（4﹣x）2＝2（x﹣2）2+16，
当x＝2时，EE′2有最小值，最小值为16，
此时，EE′＝4，
∴BM＝EE′＝2，
则点B到线段EE′距离的最小值为2．
故选：D．
6．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，
∴AC＝AC'＝4，
∴BC'＝1，
故选：A．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为18，
∴AB+AD＝9，
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝9，
故选：B．
8．【解答】解：连接AC，CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF，∠ACD＝∠GCF＝45°．
∴∠ACF＝45°×2＝90°．
∵H是AF的中点，CH＝3，
∴AF＝2CH＝6．
在Rt△ABC中，AC＝BC＝．
在Rt△ACF中，
CF＝＝．
在Rt△ECF中，
∵CE2+EF2＝CF2，CE＝EF，
∴CE＝CF＝＝．
故选：D．
二．填空题（共7小题）
9．【解答】解：在矩形ABCD中A（﹣3，2），C（0，3），B（0，2）．
∴点D的横坐标为﹣3，纵坐标为3．
∴点D的坐标为（﹣3，3）．
故答案为：（﹣3，3）．
10．【解答】解：∵四边形ACDF是正方形，
∴AC＝AF，∠CAF＝90°，
∴∠EAC+∠FAB＝90°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠AFB+∠FAB＝90°，
∴∠EAC＝∠AFB，
在△CAE和△AFB中，
，
∴△CAE≌△AFB，
∴EC＝AB＝4，
∴阴影部分的面积＝×AB×CE＝8，
故答案为：8．
11．【解答】解：∵△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵N为DE的中点，
∴AN＝DE，
∵四边形ADPE的面积为18，DE⊥AP，
∴DE•AP＝18，
即AN•AP＝18，
当AP取最小值时，AN有最大值，
故当AP⊥BC时，AP值最小，最小值为＝，
此时AN＝18÷＝．
故答案为：．
12．【解答】解：作过点M，作PQ⊥AD于P，交BC于Q．如图：
则四边形AEMP，四边形DFMP，四边形CFMQ，四边形BEMQ都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEM，S△MBE＝S△BQM，S△MFD＝S△PDM，S△MFC＝S△MQC，
∴S△DFM＝S△MBE＝×4×3＝6，
∴S阴＝6+6＝12，
故答案为：12．
13．【解答】解：∵AC⊥BC，AB＝13，BC＝5，
∴AC＝＝＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝6．
故答案为：6．
14．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，
∵DF⊥AF，BE⊥AE，
∴∠AFD＝∠AEB＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，
∵∠DAF+∠BAE＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE，
在Rt△AFD和Rt△BEA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BEA（AAS），
∴DF＝AE＝3，AF＝BE＝1，
在Rt△BEA中，由勾股定理得：
AB＝．
故答案为：．
15．【解答】解：作B′D⊥AB于D，
∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△AB'C'，AB＝2，
∴△AB′C′的面积＝△ABC的面积，∠BAB′＝45°，AB＝AB′＝2，
∴B′D＝AB′＝，
∴S△ABB′＝＝＝，
∵图中阴影部分的面积＝△AB′C′的面积+△AB′B的面积﹣△ABC的面积＝△AB′B的面积，
∴S阴影＝，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OH⊥AB，OM⊥BC，
∴OH＝OM，
∴菱形ABCD的心距比λ＝；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OB，
∵OH⊥AB，OM⊥BC，
∴∠AOB＝2∠BOH，∠OHB＝∠OMB＝∠ABC＝90°，
∴四边形BMOH是矩形，
∴OM＝BH，
∵，
∴tan∠OBH＝，
∴∠OBH＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
17．【解答】解：（1）如图1，由题意得：OP＝3t，BQ＝t，CQ＝6﹣t，
∵B（6，4），C（0，4），
∴BC∥x轴，即BC∥OP，
∵∠COP＝90°，
∴当CQ＝OP时，四边形OPQC为矩形，
则6﹣t＝3t，
∴t＝，
故答案为：；
（2）如图2，t＝1时，PQ垂直平分线段AC，此时四边形AQCP为菱形．
∵t＝1，
∴OP＝3，PA＝5，CQ＝5，
∴CQ＝PA，
∵CQ∥PA，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∵CO＝4，
∴＝＝5，
∴CP＝PA，
∴四边形AQCP为菱形，
∴PQ垂直平分线段AC；
（3）①如图3，
∵BQ∥AP，
∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为平行四边形，
即t＝8﹣3t，
∴t＝2；
②如图4，当BQ＝AP时，四边形APBQ为平行四边形，
即t＝3t﹣8，
∴t＝4；
综上所述：当t＝2s或4s时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
18．【解答】解：（1）①图形如图1所示；
②如图1中．连接AF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，
∵AD＝AE＝10，AB＝6，
∴BE＝＝＝8，
∴EC＝BC﹣BE＝2，
在Rt△AFE和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AFD（HL），
∴FD＝FE，
设FD＝FE＝x，
在Rt△ECF中，EF2＝CF2+CE2，
∴x2＝（6﹣x）2+22，
∴x＝，
∴DF＝；
（2）①如图2中，结论：EF＝CD．
由翻折的性质可知AD＝AE，DF＝EF，
∴AF垂直平分线段DE，
∵AF∥EC，
∴DE⊥CE，
∴∠DEC＝90°，
∵FD＝FE，
∴∠FDE＝∠FED，
∵∠FED+∠FEC＝90°，∠CDE+∠ECD＝90°，
∴∠FCE＝∠FEC，
∴FC＝FE，
∴EF＝CD．
②如图3﹣1中，当∠FEC＝90°，A，E，C三点共线，设DF＝EF＝x．
∵∠ADC＝90°，AD＝10，CD＝6，
∴AC＝＝＝2，
∵S△ADC＝S△ADF+S△AFC，
∴×10×6＝×2×x+×10×x，
∴x＝（﹣5），
∴DF＝（﹣5）；
如图3﹣2中，当∠ECF＝90°时，由1②可知DF＝；
如图3﹣3中，当∠EFC＝90°时，四边形AEFD是正方形，DF＝AD＝10．
如图3﹣4中，当∠ECF＝90°时，设DF＝EF＝m．
∵∠ABE＝90°，AE＝AD＝10，AB＝6，
∴BE＝＝8，
∴EC＝18，
在Rt△ECF中，EF2＝CE2+CF2，
∴m2＝182+（m﹣6）2，
∴m＝30，
∴DF＝30，
综上所述，满足条件的DF的值为（﹣5）或或10或30．
19．【解答】解：（1）∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
∴x4﹣3x2+1
＝x4+x3﹣x3﹣3x2+1
＝x2（x2+x）﹣x3﹣3x2+1
＝x2﹣x3﹣3x2+1
＝﹣x3﹣2x2+1
＝﹣x3﹣x2﹣x2+1
＝﹣x（x2+x）﹣x2+1
＝﹣x﹣x2+1
＝﹣（x2+x）+1
＝﹣1+1
＝0，
（2）∵x＝﹣1，
∴x+1＝，
∴（x+1）2＝2，
∴x2+2x＝1，
∴x3+2x2﹣x+1＝x（x2+2x）﹣x+1＝x﹣x+1＝1．
20．【解答】解：（1）由“美妙矩形”的定义可得：
在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“美妙矩形”的是矩形，
故答案为：矩形；
（2）D点如图所示：
（3）若∠A，∠C为直角，
则BD＝＝，
则CD＝；
若∠B，∠D为直角，
则AC＝＝，
则CD＝，
故答案为：或2；
（4）①∵点O为Rt△ADC斜边BC边上的高，
∴AO＝DO，
∵四边形ABOD为菱形，
∴AD＝DO，
∴AD＝AO＝DO，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠DAO＝60°，
∴∠DCA＝30°，
∴AD＝2，DC＝＝2，
∴S，
同理S△ABC＝2，
∴“美妙矩形”ABCD的面积为4；
②如图，
四边形AB'O'D为矩形时，
则A'与O重合，O'与C重合，
∴AA'＝，
故答案为：2．
21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
设AO＝x，则AB＝+x＝AD，
在Rt△AOD中，AO2+OD2＝AD2，
即x2+62＝（+x）2，解得x＝，
∴DC＝AB＝＝BC，
∴点C的坐标为（，6）；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴点E关于AC的对称点E′在AB上，且AE′＝AE＝，
∴OE′＝﹣＝1，
连接DE′，则DE′＝＝＝；
（3）如图2，设AC交BD于点R，则AC⊥BD，
过点Q作QH⊥BD交于点H，过点Q′作Q′H′⊥BD交于点H′，
设点Q（Q′）运动到图示位置时，Q到BD的距离为，
由点A、C的坐标得，AC＝＝10＝2CR，
则CR＝5，
∵Q到BD的距离是，即QH（Q′H′）＝＝BR，QQ′＝BD，
即QQ′是△BCD的中位线，
故点Q（Q′）是BC（CD）的中点，
当点Q在BC上时，则t＝BC÷＝×÷＝，
当点Q′在CD上时，则t＝×3＝，
故答案为：或．书面同意，不得复制发