人教A版高中数学选择性必修三-期末综合检测试卷【含答案】

这是一份人教A版高中数学选择性必修三-期末综合检测试卷【含答案】，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )
A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4
2．有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度(分别用X甲，X乙表示)指标如下：
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好，应考察哪项指标( )
A．均值与方差 B．正态分布
C．卡方χ2 D．概率
3．某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
由表中数据，求得经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.8x＋eq \(a,\s\up6(^))，若某儿童记忆能力为12，则预测他的识图能力约为( )
A．9.5 B．9.8 C．9.2 D．10
4．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有( )
A．72种 B．84种 C．96种 D．124种
5．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.1，则P(2≤ξ≤4)为( )
A．0.7 B．0.5 C．0.4 D．0.35
6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )
A．Ceq \\al(10,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2 B．Ceq \\al(9,11)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2
C．Ceq \\al(9,11)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))2 D．Ceq \\al(9,11)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2
7．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为eq \f(2,3)，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(4,5)
8．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y＝(其中e为自然底数)拟合，设z＝ln y，其变换后得到一组数据：
由上表可得经验回归方程eq \(z,\s\up6(^))＝0.2x＋eq \(a,\s\up6(^))，则当x＝40时，蝗虫的产卵量y的估计值为( )
A．e3 B．e6 C．3 D．6
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．给出以下四个说法，其中正确的说法有( )
A．绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距
B．在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好
C．设随机变量X服从正态分布N(4,22)，则P(X＞4)＝eq \f(1,2)
D．对分类变量X与Y，若计算出的χ2越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小
10．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，χ2＝eq \f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.
附表：
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别无关”
11．下列结论正确的是( )
A．若Ceq \\al(m,10)＝Ceq \\al(3m－2,10)，则m＝3
B．若Aeq \\al(2,n＋1)－Aeq \\al(2,n)＝12，则n＝6
C．在(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)11的展开式中，含x2的项的系数是220
D．在(x－1)8的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大
12．下列四个命题中为真命题的是( )
A．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)＝0.3
B．已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤2)＝0.4，则P(ξ＞2)＝0.3
C．二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－x2))10的展开式中的常数项是45
D．已知X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p＝0.4
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．任意选择四个日期，设X表示取到的四个日期中星期天的个数，则E(X)＝______，D(X)＝______.
14．为调查某企业年利润y(单位：万元)和它的年研究费用x(单位：万元)的相关性，收集了5组成对数据(x，y)，如表所示：
由上表中数据求得y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝12x＋eq \(a,\s\up6(^))，据此计算出样本点(4,80)处的残差(残差＝观测值－预测值)为 ________.
15．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________.
16．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%, 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断药物处理跟发生青花病是否有关系．
18．(12分)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(2,x)))n的展开式中第7项和第6项的系数之比为7∶3.
(1)求展开式的第5项；
(2)求展开式的奇数项的系数之和．
19.(12分)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出的零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
20．(12分)近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加，某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势，如图是根据该市环保部门提供的2018年至2022年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图．(为便于计算，把2018年编号为1,2019年编号为2，…，2022年编号为5)
(1)以PM2.5年均浓度值y为响应变量，年份的编号x为解释变量，利用散点图提供的数据，用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))；
(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期－1的标准，空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米，该市若不采取措施，试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限制．
参考公式：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
21．(12分)在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀．
经计算样本的平均值μ≈81，标准差σ≈6.2.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为X，并根据以下不等式进行评判．
①P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≥0.682 7；
②P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≥0.954 5；
③P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≥0.997 3.
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷．
(1)试判断该份试卷被评为哪种等级；
(2)按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量ξ表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量ξ的分布列和均值．
22．(12分)为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/千米计费；②行驶时间不超过40 min时，按0.12元/分计费；超过40 min时，超出部分按0.20元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(min)是一个随机变量，现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频率分布情况如下表所示：
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为[20,60]．
(1)写出王先生一次租车费用y(元)与用车时间t(min)的函数关系式；
(2)若王先生一次开车时间不超过40 min为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和均值．
参考答案与详细解析
1．A [由题意可知，含x4的项为Ceq \\al(2,6)x4i2＝－15x4.]
2．A [检验钢材的抗拉强度，若平均抗拉强度相同，再比较波动情况．]
3．A [∵eq \x\t(x)＝eq \f(1,4)×(4＋6＋8＋10)＝7，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,4)×(3＋5＋6＋8)＝5.5，
∴经验回归直线必过点(7,5.5)，
代入经验回归方程得5.5＝0.8×7＋eq \(a,\s\up6(^))，
∴eq \(a,\s\up6(^))＝－0.1，∴eq \(y,\s\up6(^))＝0.8x－0.1，
当x＝12时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.8×12－0.1＝9.5.]
4．C [第一步，选出的自愿者中没有女生共Ceq \\al(3,4)＝4(种)，只有一名女生共Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)＝12(种)；第二步，将三名志愿者分配到三项比赛中共有Aeq \\al(3,3)＝6(种)．所以，不同的选择方案共有(12＋4)×6＝96(种)．]
5．C [因为P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.1，所以μ＝eq \f(2＋6,2)＝4，所以P(2≤ξ≤4)＝eq \f(1,2)－0.1＝0.4.]
6．B [根据题意可知ξ＝12表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，从而P(ξ＝12)＝Ceq \\al(9,11)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2×eq \f(3,8)＝Ceq \\al(9,11)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2，故选B.]
7．B [由题意得，甲获得冠军的概率为eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(20,27)，甲获得冠军且比赛进行了三局的概率为eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27)，所以所求概率为eq \f(8,27)÷eq \f(20,27)＝eq \f(2,5).]
8．B [由表格数据知，eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×(20＋23＋25＋27＋30)＝25，
eq \x\t(z)＝eq \f(1,5)×(2＋2.4＋3＋3＋4.6)＝3，
代入eq \(z,\s\up6(^))＝0.2x＋eq \(a,\s\up6(^))，得eq \(a,\s\up6(^))＝3－0.2×25＝－2，
∴eq \(z,\s\up6(^))＝0.2x－2，即ln y＝0.2x－2，
∴y＝e0.2x－2，
∴当x＝40时，y＝e6.]
9．BC [A中各小长方形的面积等于相应各组的频率；B正确，R2越大，拟合效果越好，R2越小，拟合效果越差；C中随机变量X服从正态分布N(4,22)，正态曲线对称轴为直线x＝4，所以P(X＞4)＝eq \f(1,2)；D中对分类变量X与Y，χ2越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越大．]
10．AC [由χ2≈7.8>6.635＝x0.01，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别有关”，该判断犯错误的概率不超过0.01.]
11．BC [若Ceq \\al(m,10)＝Ceq \\al(3m－2,10)，则 m＝3m－2 或m＋3m－2＝10，解得m＝1 或m＝3，故A错误；若Aeq \\al(2,n＋1)－Aeq \\al(2,n)＝12，则(n＋1)n－n(n－1)＝12，求得n＝6，故B正确；在(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)11的展开式中，含x2的项的系数是Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)＋…＋Ceq \\al(2,11)＝220，故C正确；在(x－1)8的展开式中，第4项的二项式系数为 Ceq \\al(3,8)，第5项的二项式系数为Ceq \\al(4,8)，故只有第5项的二项式系数最大，故D错误．]
12．BCD [已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，
若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，
可得曲线的对称轴为x＝4，
则P(2≤ξ＜4)＝0.5－0.15＝0.35，A不正确；
若ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤2)＝0.4，
则P(ξ＞2)＝eq \f(1－P－2≤ξ≤2,2)＝eq \f(1－0.4,2)＝0.3，
B正确；
二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－x2))10的展开式中的通项公式为
Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))10－k(－x2)k＝，
由eq \f(5k－10,2)＝0，解得k＝2，
可得常数项是Ceq \\al(2,10)＝45，C正确；
因为E(X)＝16，所以40p＝16，即p＝0.4，D正确．]
13.eq \f(4,7) eq \f(24,49)
解析 由题意得，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,7)))，
所以E(X)＝4×eq \f(1,7)＝eq \f(4,7)，
D(X)＝4×eq \f(1,7)×eq \f(6,7)＝eq \f(24,49).
14．－4
解析 由表格中的数据可知，eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \x\t(y)＝eq \f(50＋60＋70＋80＋100,5)＝72，所以12×3＋eq \(a,\s\up6(^))＝72，解得eq \(a,\s\up6(^))＝36，所以eq \(y,\s\up6(^))＝12x＋36，当x＝4时，eq \(y,\s\up6(^))＝4×12＋36＝84，所以残差＝观测值－预测值＝80－84＝－4.
15．180
解析 ∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，
∴其展开式的通项Tk＋1＝(－1)k210－kCeq \\al(k,10)(1－x)k，令k＝8得a8＝4Ceq \\al(8,10)＝180.
16．0.052 5 eq \f(3,7)
解析 记Ai为事件“零件为第i(i＝1,2,3)台车床加工”，B为事件“任取一个零件为次品”，则P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，
即P(B)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.052 5；
所以P(A3|B)＝eq \f(PA3·PB|A3,PB)＝eq \f(0.45×0.05,0.052 5)＝eq \f(3,7).
17．解 由已知条件得2×2列联表如下：
零假设为H0：经过药物处理跟发生青花病无关系．
根据列联表中的数据，可以求得
χ2＝eq \f(470×25×200－185×602,210×260×85×385)≈9.788＞7.879＝x0.005，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的．
18．解 (1)展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)(x2)n－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))k＝2kCeq \\al(k,n)x2n－3k，k＝0,1,2，…，
由题意知eq \f(26·C\\al(6,n),25·C\\al(5,n))＝eq \f(7,3)，解得n＝12，
所以T5＝24·Ceq \\al(4,12)x24－12＝7 920x12，
所以展开式的第5项为7 920x12.
(2)设展开式中第i项的系数为ai，i＝1,2,3，…，12,13，
则奇数项的系数之和为a1＋a3＋a5＋…＋a13，
令f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(2,x)))12＝a1x24＋a2x21＋…＋a12x－9＋a13x－12，
则f(1)＝312＝a1＋a2＋…＋a12＋a13＝(a1＋a3＋…＋a13)＋(a2＋a4＋…＋a12)，①
f(－1)＝(－1)12＝a1－a2＋…－a12＋a13＝(a1＋a3＋…＋a13)－(a2＋a4＋…＋a12)，②
所以①＋②得，312＋1＝2(a1＋a3＋…＋a13)，
所以a1＋a3＋…＋a13＝eq \f(312＋1,2)，即展开式的奇数项的系数之和为eq \f(312＋1,2).
19．解 设事件Ai表示“零件是第i台车床加工的”，i＝1,2；事件B表示“取出的零件是废品”；事件C表示“取出的零件是合格品”．由题意，得P(A1)＝eq \f(2,3)，P(B|A1)＝0.03，P(A2)＝eq \f(1,3)，P(B|A2)＝0.02，则P(C|A1)＝0.97，P(C|A2)＝0.98.
(1)P(C)＝P(A1C∪A2C)＝P(A1C)＋P(A2C)
＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)＝eq \f(2,3)×0.97＋eq \f(1,3)×0.98≈0.973.
(2)P(A2|B)＝eq \f(PA2B,PB)＝eq \f(PA2PB|A2,PA1PB|A1＋PA2PB|A2)＝eq \f(\f(1,3)×0.02,\f(2,3)×0.03＋\f(1,3)×0.02)＝0.25.
20．解 (1)由散点图可得，样本点分布在一条直线附近，平均浓度与年份编号具有线性相关关系，变量xi，yi组成的几组数据为(1,13)，(2,15)，(3,20)，(4,22)，(5,25)，
则eq \x\t(x)＝3，eq \x\t(y)＝19，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(－2×－6＋－1×－4＋0×1＋1×3＋2×6,－22＋－12＋02＋12＋22)＝3.1，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝19－3.1×3＝9.7.
所以所求经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝3.1x＋9.7.
(2)由3.1x＋9.7＞35，得x＞8.16，
因为x∈N，所以x＝9.
故可预测到2026年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．
21．解 (1)P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝P(74.8＜X＜87.2)
＝eq \f(34,50)＝0.68＜0.682 7，
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(68.6＜X＜93.4)
＝eq \f(49,50)＝0.98＞0.954 5，
P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝P(62.4＜X＜99.6)
＝1＞0.997 3，
因为考生成绩满足两个不等式，
所以该份试卷应被评为合格试卷．
(2)75分以下的人数为10；大于等于75分小于85分的人数为25；85分及以上的人数为15.
按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，分别抽取人数为2,5,3.再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量ξ表示4人中成绩优秀的人数，则ξ的取值可能为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(4,7),C\\al(4,10))＝eq \f(1,6)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(3,7)C\\al(1,3),C\\al(4,10))＝eq \f(1,2)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,7)C\\al(2,3),C\\al(4,10))＝eq \f(3,10)，
P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(1,7)C\\al(3,3),C\\al(4,10))＝eq \f(1,30).
∴ξ的分布列为
E(ξ)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5).
22．解 (1)当20