人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直习题课件ppt

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直习题课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了定义法求二面角，垂面法求二面角，课时对点练，垂线法求二面角，射影面积法，随堂演练，对一对，基础巩固，综合运用，拓广探究等内容，欢迎下载使用。
1.掌握二面角的定义及其平面角的作法.(重点)2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的大小.(难点)
定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
利用二面角的定义，在二面角的棱上找一点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.
　　　　　如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且AC=2BC.(1)求证：BC⊥PA；
∵点P在圆O所在平面上的射影恰好是圆O上的点C，∴PC⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥PC，又AB是圆O的直径，有BC⊥AC，且PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴BC⊥PA.
(2)求二面角B-PC-O的平面角的余弦值.
垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
　　　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小.
∵SB=BC且E是SC的中点，∴BE是等腰△SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，又BD⊂平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA=S，SC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE=DE，平面SAC∩平面BDC=DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，
二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面交于两条射线，那么这两条射线所成的角即为该二面角的平面角.
　　　　　如图，设P是二面角α-l-β内一点，P到平面α，β的距离PA，PB分别为8和5，且AB=7，求二面角α-l-β的大小.
如图，作AC⊥l于C，连接BC，PC，∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l，又AC⊥l，AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，∴l⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴l⊥PC，∵PB⊥β，l⊂β，∴PB⊥l，又PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，∴l⊥平面PBC，∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC，∴∠ACB就是二面角α-l-β的平面角，
垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的点A向另一个半平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小.
二面角中过一个半平面内的一点作另一个半平面的垂线与二面角的棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角或其补角.
∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD，连接A1C交BD于点O，连接AO，如图所示.则AO⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD，取CD的中点M，连接OM，AM，则OM∥BC，∴OM⊥CD，根据三垂线定理知AM⊥CD，∴∠AMO即为二面角A-CD-B的平面角.不妨设正方形A1BCD的边长为2，
　如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求二面角B1-BC-A的余弦值.
1.知识清单：利用二面角的定义及其平面角的作法求二面角.2.方法归纳：定义法、垂面法、垂线法、射影面积法.3.常见误区：寻找二面角的平面角出错，求二面角的三角函数值时出错.
由已知可得AD⊥DC，又由其余各棱长都为1，得△BCD为正三角形，如图，取CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD，在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A-CD-B的平面角.
设PA=AB=2，过点A在平面ABCD内作AE⊥BC，连接PE，如图所示，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，∵AE⊥BC，PA∩AE=A，PA，AE⊂平面PAE，
(1)因为PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，而AB⊂平面PAB，
所以AD⊥AB.因为BC2+AB2=AC2，所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.
(2)如图所示，过点D作DE⊥AC于点E，再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF，因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD，又平面PAC∩平面ABCD=AC，
DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，因为CP⊂平面PAC，所以DE⊥CP，又EF⊥CP，EF∩DE=E，EF，DE⊂平面DEF，所以CP⊥平面DEF，所以DF⊥CP，
1.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B'AC=60°.则二面角B'-AD-C的大小是A.30° B.60°C.90° D.120°
2.已知二面角α-l-β的大小为130°，两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成角的大小为A.40°B.50°C.130° D.140°
如图，在直线l上任取一点O，作OA∥b，OB∥a，由a⊂α，b⊂β且a⊥l，b⊥l得∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则有∠AOB=130°，又OA∥b，OB∥a，所以a，b所成角的大小为180°-130°=50°.
5.已知二面角A-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射影是△BCD的A.内心B.外心C.垂心D.重心
因为二面角A-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，所以点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，所以点A在平面BCD上的射影是△BCD的内心.
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，则二面角C-BB1-D的正切值是　　　. 
8.在60°的二面角的一个半平面上有一点C，它到棱的距离等于4，则点C到另一个平面的距离为　　　　. 
10.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的余弦值.
11.已知二面角α-MN-β的平面角为θ1，AB⊂α，B∈MN，∠ABM=θ2(θ2为锐角)，AB与β的夹角为θ3，则下列关系式成立的是A.cs θ3=cs θ1·cs θ2B.cs θ3=sin θ1·cs θ2C.sin θ3=sin θ1·sin θ2D.sin θ3=cs θ1·sin θ2
连接BD，如图所示，对于A，由正方体性质可知，BB1⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BB1∩BD=B，且BB1，BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D，因为B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D，所以A正确；
对于B，连接A1D，平面B1CD即为平面B1A1DC，又A1C1∩平面B1A1DC=A1，即A1C1与平面B1CD相交，所以B错误；对于C，平面B1CD∩平面ABCD=CD，易知B1C⊥CD，BC⊥CD，所以∠B1CB即为二面角B1-CD-B的平面角，显然∠B1CB=45°，即二面角B1-CD-B的大小为45°，所以C正确；
根据题意，设点P在锐二面角α-l-β内，过点P作PA⊥平面α，垂足为A，过点P作PB⊥平面β，垂足为B，因为PA⊥α，l⊂α，则PA⊥l，同理PB⊥l，而PA∩PB=P，PA，PB⊂平面PAB，则l⊥平面PAB，设平面PAB与直线l的交点为C，连接PC，AC，BC，PC，AC，BC⊂平面PAB，则有PC⊥l，AC⊥l，BC⊥l，
因为PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB.
因为BC2+AB2=AC2，所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.
如图所示，过点D作DE⊥AC于点E，再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF，因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD，又平面PAC∩平面ABCD=AC，DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，