高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直课后作业题

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1、立体几何中的平行关系
（1）利用几何体的性质
长方体相对的面(长方形)互相平行，这两个相对的长方形中对应线段平行且相等。
（2）利用三角形的中位线
三角形的中位线平行于底边且等于底边长的一半。
（3）构造平行四边形
（4）利用三角形中成比例的线段相互平行
在三角形ABC中，若则DE//BC
（5）利用线面平行的性质
（6）利用平面与平面平行的性质
2、立体几何中的垂直关系
（1）线与面、面与面的垂直可转化为线与线的垂直.线与线的垂直关系模型常见的有：
①等腰(等边)三角形中"三线合一"性质的应用模型；
②菱形(正方形)对角线互相垂直性质的应用模型；
③线面垂直的定义模型；
④满足勾股定理的三角形模型；
⑤直径所对的圆周角是90°；
⑥墙角模型(三条直线两两垂直)；
⑦拐弯模型；
⑧两平行直线中的一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于这条直线.
（2）只要熟练运用好上面的几种垂直模型，立体几何中的垂直关系便可迎刃而解.
3、二法求异面直线所成的角
（1）平移法
求解异面直线所成角，可以通过平移其中的一条或者两条直线，形成相交直线，实现空间图形的平面化，把问题转化为解三角形问题，使平面几何与立体几何之间建立有效的联系.利用“平移法”求解，一般有以下两种思路：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点构造平行线(如三角形的中位线、构造平行四边形等).
（2）补形法
通过“补形平移”,有助于利用特殊空间几何体的图形特征，达到合理转化为构造异面直线所成角的目的.
4、四法求“线面角”
（1）平移法
平移法是指利用图形平移变换的性质，构造满足求解的条件，进而得出结论的方法.在运用平移法求解线面角问题时，我们可以利用图象平移的性质：图形移动位置后其大小、形状、面积等都不改变，将分散的条件关联起来，以便将立体几何问题转化为平面几何问题来求解.
（2）射影法
射影法是指将直线与平面所成的角转化为直线与它在平面内的射影所成的角来进行求解的方法.在求线面角时，首先要找到直线在平面内的射影，然后在直角三角形中计算垂线段、斜线段、射影的长或者三角函数，进而求得线面角的大小.
等体积法
如图,已知平面α与斜线AP,PO⊥α,则P0线面角为∠PAO,，要求线面角，关键是求垂线段PO的长度，而垂线段PO的长度可看作点P到平面α的距离，在平面α内找一个三角形(点A是其中一个顶点)与点P构成三棱锥，在三棱锥中借助等体积法就可以求PO的长度，从而达到简便求解线面角的目的.
（4）平面垂线法
直线与平面所成的角是高考重点内容之一，处理线面角常用几何综合法.使用几何综合法，根据线面角定义，需要作出直线在平面上投影，当投影位置没有在一个"好"的位置上，对角的计算带来不方便.故可考虑将直线与平面所成角问题，转化为直线与平面的垂线所成角，且两角是互余关系，这样可以提高解题成效.
①在线线垂直中找面的垂线
若几何体具有对称特征(如正三角形、矩形等),从中得到一些线线垂直有用的解题信息，为寻找线面垂直提供了良好的环境，解题时要充分发挥这些“垂直”条件的作用.
②在线面垂直中找面的垂线
找面的垂线转化为线线垂直，线线垂直又转化为线面垂直，根据题目实际情况，解题中往往需要将线面垂直与线线垂直之间不断相互转化.
③在面面垂直中找面的垂线
题目有面面垂直背景，根据平面与平面面垂直性质定理，先确定两个互相垂直平面的交线，然后选择一个平面，并在这个平面上选择适当的位置引平面交线的垂线，则得到平面的垂线.此题巧妙利用了线面角的最小角原理，使问题获得快捷解决.
5、四法求“二面角”
"求二面角"问题是高中数学的热点问题.根据所求两面是否有公共棱可将二面角问题分为两类：有棱二面角问题及无棱二面角问题.对于前者，通常采用找点、连线或平移等方法来定位出二面角的平面角；而对于后者，则一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使棱出现，从而进一步定位二面角的平面角.
（1）定义法
利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.
（2）三垂线法
如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线.连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.
（3）垂面法
二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角.
（4）射影面积法
若多边形的面积为S,它在一个平面内的射影图形的面积为S',且多边形与该平面所成的二面角为,则.
6、立体几何的最值问题
（1）函数法
立体几何的最值问题往往可以转化为常见的函数最值问题，将几何问题代数化，充分体现了数形结合的思想.通过建立目标函数，将题目条件转化为函数满足的条件，从而运用函数进行求解，即为函数法.
（2）基本不等式法
伴随图形的运动与变化，往往会存在单个或者是多个变量影响目标量的值，所以我们在审题和解题时可以充分运用变量之间存在的数量关系，同时借用不等式，以求解最值问题.
考点一 求空间几何体的表面积和体积
考点二 线面平行
考点三 面面平行
考点四 线线垂直
考点五 线面垂直
考点六 面面垂直
考点七 异面直线所成的角
考点八 直线与平面所成的角
考点九 二面角
考点十 点到面的距离
考点十一 翻折问题
考点十二 立体几何的最值问题
考点一 求空间几何体的表面积和体积
1．（2023春·浙江·高一台州中学校联考期末）如图，在正四棱锥中，是上的点且是的中点．求：
(1)四棱锥的表面积；
(2)三棱锥的体积．
2．（2023春·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考期末）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，
(1)求圆锥SO的侧面积；
(2)若点是的中点，求三棱锥的体积
3．（2023春·山西太原·高一统考期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，.
(1)画出平面四边形的平面图，并计算其面积；
(2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.
4．（2023春·福建·高一校联考期末）如图，在三棱台中，，，， 为线段中点，为线段上的点，平面．
(1)求证：点为线段的中点；
(2)求三棱台的表面积．
5．（2023春·黑龙江·高一黑龙江实验中学校考期末）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．
(1)求石凳的体积；
(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
6．（2023春·安徽·高一安徽省舒城中学校联考期末）油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为，顶点到下边沿上任一点的长度为.
(1)若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？
(2)若伞面的内外表面需要各刷1次桐油，每平方米需要刷桐油，则刷一个这样的油纸伞需要多少千克桐油？（参考数据：）
考点二 线面平行
7．（2023春·广东·高一校联考期末）如图，四棱台的上底面和下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱上的一点E满足．
(1)证明：平面；
(2)若，且在平面ABCD的正投影落在线段CD上，求四棱台的体积．
8．（2023春·天津·高一统考期末）如图，三棱锥的底面的侧面都是边长为2的等边三角形，，分别是，的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
9．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期末）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：
(1)正四棱锥的表面积；
(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
10．（2023春·福建厦门·高一厦门市湖滨中学校考期末）如图，某组合体是由正方体与正四棱锥组成，且．
(1)若该组合体的表面积为，求其体积；
(2)证明：平面
11．（2023春·江西·高一校联考期末）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
12．（2023春·陕西·高一校联考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，平面ABCD，，，，，E为PC的中点，且．
(1)证明：平面PBC．
(2)求四棱锥的体积．
13．（2023春·浙江·高一台州市书生中学校联考期末）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.
(1)求证：平面；
(2)已知点在上满足平面，求的值.
14．（2023春·广东深圳·高一红岭中学校考期末）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面分别为，上的点，且．已知．
(1)设平面平面，证明：平面；
(2)求五面体的体积．
考点三 面面平行
15．（2023春·浙江宁波·高一宁波中学校联考期末）如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段AC，DF的中点.
(1)求证：；
(2)在线段CD上是否存在一点，使得平面平面BCF，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由.
16．（2023春·天津·高一天津市蓟州区第一中学校联考期末）如图：在正方体中，为的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)若为的中点，求证：平面平面.
17．（2023春·河南洛阳·高一统考期末）如图所示，在三棱柱中， 分别是，，的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面．
18．（2023春·河南洛阳·高一校考期末）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
考点四 线线垂直
19．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期末）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点.求证：
(1)平面；
(2).
20．（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
21．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面.
（1）求证：；
（2）若________，求点到平面的距离.在①；②二面角的大小为60°；③，这三个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解答.
考点五 线面垂直
22．（2023春·山东青岛·高一青岛二中校考期末）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．
(1)证明：面；
(2)若满足面，求的值．
23．（2023春·浙江·高一湖州中学校联考期末）如图，直三棱柱中，，分别为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）线段上是否存在点Q，使平面？说明理由．
24．（2023·高一单元测试）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．
(1)求证：平面；
(2)若，，，求圆柱的侧面积．
考点六 面面垂直
25．（2023·高一单元测试）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)点在棱上，满足且三棱锥的体积为，求的值.
26．（2023·高一单元测试）如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，是的中点，侧面底面.
（1）求证：；
（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于点，若，求证：截面侧面；
（3）若截面平面，成立吗？请说明理由.
27．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)若平面平面，求的大小.
考点七 异面直线所成的角
28．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.
29．（2023春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期末）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．
(1)当点M在何位置时，平面?
(2)若平面，求与所成的角的余弦值．
30．（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期末）在棱长为2的正方体中，分别为棱和的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成的余弦值；
考点八 直线与平面所成的角
31．（2023春·天津·高一统考期末）如图，在长方形中，，．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
32．（2023春·浙江杭州·高一校考期末）如图，四棱锥中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．
(1)求证：平面PCD；
(2)求直线AC与平面APD所成的角的正弦值；
33．（2023春·江苏盐城·高一盐城中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，E为的中点，过点A作，垂足为点F.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
34．（2023春·浙江·高一期末）如图，在三棱柱中，，平面平面，且，点为棱的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
35．（2023·高一单元测试）如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.
(1)证明：平面
(2)求证：平面平面
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
考点九 二面角
36．（2023春·福建三明·高一三明一中校考期末）如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，，为的中点，为的中点，平面过、、三点且与面交于直线，交于点.
(1)求证：面面；
(2)求证：；
(3)求平面与平面所成夹角的正切值.
37．（2023春·浙江杭州·高一校考期末）已知直四棱柱的所有棱长均为2，且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
38．（2023春·浙江·高一校联考期末）在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E和F分别为和的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
39．（2023·高一单元测试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
(3)求四面体的体积．
40．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，平面ABC，为正三角形，侧面是边长为2的正方形，D为BC的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角大小的余弦值.
41．（2023·高一单元测试）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，．
(1)证明：平面；
(2)当的长为何值时，二面角的大小为？
考点十 点到面的距离
42．（2023春·浙江台州·高一台州一中校考期末）如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为.
(1)求证：平面；
(2)若的面积是，求点到平面的距离.
43．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期末）如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，点D是AB的中点.
(1)求点B到平面B1CD的距离；
(2)求异面直线AC1和B1C所成角的余弦值.
44．（2023春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，点M、N分别为直线上的点，且满足．
（1）求证：平面；
（2）若，，求点到平面的距离．
45．（2023·高一单元测试）如图所示，在四棱锥中，，为棱的中点，，，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
46．（2023·内蒙古包头·一模）如图，已知矩形是圆柱的轴截面，是的中点，直线与下底面所成角的正切值为，矩形的面积为12，为圆柱的一条母线（不与重合）．
(1)证明：；
(2)当三棱锥的体积最大时，求M到平面的距离．
考点十一 翻折问题
47．（2023·全国·高一专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
48．（2023春·山东青岛·高一青岛二中校考期末）如图甲，在四边形中，，．现将沿折起得图乙，点是的中点，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在图乙中，过直线作一平面，与平面平行，且分别交、于点、，注明、的位置，并证明．
49．（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末）如图①所示，已知正三角形与正方形，将沿翻折至所在的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥.已知，，为上一点，且满足.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面.若存在，指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
50．（2023·全国·高一期末）如图①：在△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图②），且∠PEB＝60°.
(1)请作出平面PBC与平面PDE的交线l（不需要说明理由）
(2)证明；平面PBC⊥平面PBE；
(3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.
51．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线DF与平面所成角的最大值．
考点十二 立体几何的最值问题
52．（2023春·河南平顶山·高一叶县高级中学校考期末）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
53．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，，平面ABCD，H为DC的中点．
(1)求证：平面平面POC；
(2)求三棱锥体积的最大值．
54．（2023春·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，E为棱AB上任意一点（不包括端点），F为棱PD上任意一点（不包括端点），且．
(1)证明：异面直线CE与AP所成角为定值．
(2)已知，，当三棱锥的体积取得最大值时，平面CEF与PA交于点N，求EN的长．
55．（2023春·全国·高一专题练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.