高考数学第二轮复习专题练习专题7.2 条件概率与全概率公式（重难点题型检测）（教师版）

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1．（3分）（2022春·河南郑州·高二期末）已知随机事件A，B的概率分别为P(A),P(B)，且P(A)P(B)≠0，则下列说法中正确的是（ ）
A．P(A|B)P(AB)，故A不正确；
P(B|A)=PABPA,P(A|B)=PABPB，PA与PB不一定相等，所以P(B|A)=P(A|B)不一定成立，故B不正确；
P(B|A)=PABPA,P(A|B)=PABPB，所以P(B|A)=PABPA=P(A|B)P(B)P(A)，故C正确；
P(B|B)=PBPB≠0，故D不正确.
故选：C.
2．（3分）（2022秋·湖南长沙·高三开学考试）已知A，B分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是（ ）
A．PBA+PBA=P(A)
B．若PA+PB=1，则 A，B对立
C．若A，B独立，则PAB=P(A)
D．若A，B互斥，则PAB+PBA=1
【解题思路】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可得到答案；
【解答过程】对A，PBA+PBA=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故A错误；
对B，若A，B对立，则PA+PB=1，反之不成立，故B错误；
对C，根据独立事件定义，故C正确；
对D，若A，B互斥，则PAB+PBA=0，故D错误；
故选：C.
3．（3分）（2022·高二课时练习）已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ）
A．0.665B．0.56C．0.24D．0.285
【解题思路】记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则由P(AB)＝P(A)·P(B|A)可求.
【解答过程】记A为“甲厂产品”，B为“合格产品”，则P(A)=0.7，P(BA)=0.95，
所以P(AB)=P(A)P(BA)=0.7×0.95=0.665．
故选：A．
4．（3分）（2022秋·广东广州·高三阶段练习）已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ）
A．0.2B．0.8C．0.3D．0.7
【解题思路】分别记B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车，即求PA1B，由贝叶斯公式，即得解
【解答过程】设B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车，
则PA1=23，PA2=13，PBA1=0.02，PBA2=0.01，
由贝叶斯公式，可知中途停车修理的是货车的概率为
PA1B=PA1PBA1PA1PBA1+PA2PBA2=23×0.0223×0.02+13×0.01=0.8.
故选：B.
5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为120， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为0．08， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ）
A．15B．110C．115D．120
【解题思路】首先设A1,A2分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为p，得到则PA1=35，PA2=25，PB∣A1=p，PB∣A2=120，再利用全概率公式求解即可.
【解答过程】设A1,A2分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为p，
则PA1=1220=35，PA2=25，PB∣A1=p，PB∣A2=120，
则由全概率公式得：PB=PA1PB∣A1+PA2PB∣A2=35×p+25×120=0.08，解得p=110，
故选：B．
6．（3分）（2023·河南信阳·高三期末）某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工(i=1,2)”为事件Ai，“任取一个零件是次品”为事件B，则（ ）
①P(B)=0.054 ②PA2B=0.03 ③PBA1=0.06 ④PA2B=59
A．①②④B．②③④C．②③D．①②③④
【解题思路】根据全概率概率公式及条件概率概率公式计算可得；
【解答过程】依题意PA1=0.4，PA2=0.6，PB|A1=0.06，PB|A2=0.05，故③正确；
所以PB=PB|A1⋅PA1+PB|A2⋅PA2=0.4×0.06+0.6×0.05=0.054，
所以P(B)=1-PB=1-0.054=0.946，故①错误；
因为PB|A2=PBA2PA2，所以PBA2=PB|A2PA2=0.6×0.05=0.03，故②正确；
所以PA2B=PBA2PB=，故④正确；
故选：B.
7．（3分）（2023春·广东广州·高三阶段练习）从装有a个红球和b个蓝球的袋中(a，b均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为A1，“第一次摸球时摸到蓝球”为A2；“第二次摸球时摸到红球”为B1，“第二次摸球时摸到蓝球”为B2，则下列说法错误的是（ ）
A．PB1=aa+b B．PB1∣A1+PB2∣A1=1
C．PB1+PB2=1 D．PB2∣A1+PB1∣A2=1
【解题思路】结合已知条件分别求出P(A1)，P(A2)，P(B1)，P(B2)可判断A和C是否错误；然后利用条件概率分别计算PB1∣A1，PB2∣A1，PB1∣A2可判断B和D是否错误.
【解答过程】由题意可知，P(A1)=aa+b，P(A2)=ba+b，P(B1)=P(A1B1)+P(A2B1)=aa+b⋅a-1a+b-1+ba+b⋅aa+b-1=aa+b，
P(B2)=P(A1B2)+P(A2B2)=aa+b⋅ba+b-1+ba+b⋅b-1a+b-1=ba+b，
从而P(B1)+P(B2)=1，故AC正确；
又因为PB1∣A1=P(A1B1)P(A1)=aa+b⋅a-1a+b-1aa+b=a-1a+b-1，PB2∣A1=P(A1B2)P(A1)=aa+b⋅ba+b-1aa+b=ba+b-1，
故PB1∣A1+PB2∣A1=1，故B正确；
PB1∣A2=P(A2B1)P(A2)=ba+b⋅aa+b-1ba+b=aa+b-1，
故PB2∣A1+PB1∣A2=ba+b-1+aa+b-1=a+ba+b-1≠1，故D错误.
故选：D.
8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%.随机取一个零件，记A=“零件为次品”，Bi=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3)，则下列结论：
① P(A)=0.033，
②i=13PBi=1，
③P(B1|A)=P(B2|A)，
④P(B1|A)+P(B2|A)=P(B3|A).
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】由全概率公式和条件概率依次判断4个结论即可.
【解答过程】因为P(A)=0.05×0.15+0.03×0.25+0.03×0.60=0.033，故①正确；
因为i=13PBi =0.15+0.25+0.60=1，故②正确；
因为PB1A=PB1⋅PAB1PA=0.05×，PB2A=PB2⋅PAB2PA=0.03×，所以P(B1|A)=P(B2|A)，故③正确；
由上可得P(B1|A)+P(B2|A)= 511，又因为PB3A=PB3⋅PAB3PA=0.03×，故④错误．正确的有3个.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春·全国·高二期末）下列说法中不正确的是（ ）．
A．在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作PAB
B．对事件A，B，有PBA=PAB
C．若PBA=PB，则事件A，B相互独立
D．PBA相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率
【解题思路】由条件概率的性质和独立事件的性质逐个分析判断即可
【解答过程】在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作PBA，故A中说法错误．
∵PAB=PABPB，PBA=PABPA，
∴PBA与PAB不一定相同，故B中说法错误．
若事件A与B相互独立，即PAB=PAPB，且PA>0，则PBA=PABPA=PAPBPA=PB；反之，若PBA=PB，且PA>0，则PB=PABPA⇒PAB=PAPB，即事件A与B相互独立．因此，当PA>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有PBA=PB，所以C中说法正确．
PBA表示事件A发生的条件下，事件B发生的概率，这时AB也发生了，D中说法显然正确．
故选：AB．
10．（4分）（2022·高二课时练习）在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则（ ）
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
【解题思路】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.
【解答过程】P(D1)=0.02，P(D2)=0.05，P(D3)=0.005，P(S|D1)=0.4，P(S|D2)=0.18，P(S|D3)=0.6，
由全概率公式得P(S)=i=13P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02．
由贝叶斯公式得：P(D1|S)=P(D1)P(S|D1)P(S)=0.02×，
P(D2|S)=P(D2)P(S|D2)P(S)=0.05×，P(D3|S)=P(D3)P(S|D3)P(S)=0.005×．
故选：ABC.
11．（4分）（2022秋·安徽芜湖·高三期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件Ai=“零件为第i台车床加工”i=1,2,3，事件B=“任取一零件为次品”，则（ ）
A．PA1=0.25B．PB∣A2=0.015
C．PB=0.0525D．PA1∣B=27
【解题思路】利用相互独立事件概率的乘法公式及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误.
【解答过程】解：根据题意PB=6%×25%+5%×30%+5%×45%=0.0525，故C正确；
PA1=0.25,PA2=0.3， 故A正确；
所以PBA2=5%×0.3=0.015，PBA1=6%×0.25=0.015
则PBA2=PA2BPA2=，故B错误；
PA1B=PA1BPB=，故D正确.
故选：ACD.
12．（4分）（2022春·辽宁沈阳·高二阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为0.06，第2台车床加工的次品率为0.05，第3台车床加工的次品率为0.08，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，现从中任意选取1个零件，则（ ）
A．该零件是由第1台车床加工的次品的概率为0.06
B．该零件是次品的概率为0.066
C．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第2台车床加工的概率为522
D．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第3台车床加工的概率为611
【解题思路】利用条件概率公式和全概率公式计算即可.
【解答过程】记事件A为“零件由第ii=1,2,3台车床加工”，记事件B为“零件为次品”，则PA1=0.25，PA2=0.3，PA3=0.45，PBA1=0.06，PBA2=0.05，
PBA3=0.08，
该零件是由第1台车床加工的次品的概率PA1B=PA1⋅PBA1=0.25×0.06=0.015，则A错误；
该零件是次品的概率为
PB=PA1⋅PBA1+PA2⋅PBA2+PA3⋅PBA3
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.08=0.066，则B正确;
在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第2台车床加工的概率
PA2B=PA2⋅PBA2PB=0.3×，则C正确;
在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第3台车床加工的概率
PA3B=PA3⋅PBA3PB=0.45×, 则D正确；
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022春·全国·高二期末）已知PA=0.3，PBA=0.6，且事件A、B相互独立，则PAB=
0.18 ．
【解题思路】利用概率的乘法公式可求得结果.
【解答过程】由概率的乘法公式可得PAB=PA⋅PBA=0.3×0.6=0.18.
故答案为：0.18.
14．（4分）（2022·浙江·模拟预测）某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8，在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7，且第一次投不中，第二次投中的概率为0.5，则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为 2833 ．
【解题思路】设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，根据贝叶斯公式直接求解.
【解答过程】设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，由贝叶斯公式可得:
P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=+0.1=2833.
故答案为：2833.
15．（4分）（2022春·天津和平·高二期末）市面上某类饮料共有3种品牌A、B、C在售，且均为有奖销售.已知3种品牌A、B、C的市场占有率分别为60%、30%、10%，且3种品牌每瓶的中奖率分别为10%、20%、30%.现从市场上任意购买一瓶，则该瓶饮料中奖的概率为 0.15 .
【解题思路】用A1,A2,A3分别表示A、B、C品牌的饮料，M表示任意购买一瓶饮料中奖，再利用全概率公式求解作答.
【解答过程】用A1,A2,A3分别表示A、B、C品牌的饮料，M表示任意购买一瓶饮料中奖，
则Ω=A1∪A2∪A3，且A1,A2,A3两两互斥，
依题意，P(A1)=0.6,P(A2)=0.3,P(A3)=0.1，P(M|A1)=0.1,P(M|A2)=0.2,P(M|A3)=0.3，
由全概率公式得：P(M)=P(A1)P(M|A1)+P(A2)P(M|A2)+P(A3)P(M|A3)=0.6×0.1+0.3×0.2+0.1×0.3=0.15，
所以该瓶饮料中奖的概率为0.15.
故答案为：0.15.
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是 ③④⑤ .
①事件A1，A2相互独立；②PA3=15；③P(B)=922；④PB|A2=411；⑤PA1∣B=59．
【解题思路】首先判断出A1，A2和A3是两两互斥事件，再判断PA1A2与PA1⋅PA2是否相等，可确定①；求出PA3可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断④⑤.
【解答过程】依题意，A1，A2和A3是两两互斥事件，
PA1=55+2+3=12，PA2=25+2+3=15，PA3=35+2+3=310
又∵PA1A2=0≠PA1⋅PA2，∴①②错误；
又∵PBA1=PBA1PA1=12×55+3+312=511，PBA2=PBA2PA2=15×44+4+315=411，
PBA3=PBA3PA3=310×44+3+4310=411，
PB=PBA1⋅PA1+PBA2⋅PA2+PBA3⋅PA3
=511×12+411×15+411×310=922，③④正确；
PA1B=PA1BPB=12×511922=59，⑤正确；
故答案为：③④⑤.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·安徽铜陵·高二阶段练习）一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求：
(1)第一次取得白球的概率；
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
【解题思路】（1）记事件A:第一次取得白球，事件B:第二次取得白球，利用古典概型的概率公式可求得PA的值；
（2）求出PBA的值，利用概率的乘法公式可求得PAB的值.
【解答过程】(1)
解：记事件A:第一次取得白球，事件B:第二次取得白球，则PA=610=35.
(2)
解：由题可知PBA=59，则PAB=PA⋅PBA=35×59=13.
18．（6分）（2022·高二课时练习）（1）已知A与B独立，且P(A|B)=710，求PA；
（2）已知PA=12，PBA=23，PBA=14，求P(B)，P(A|B)．
【解题思路】（1）根据题意求得P(A|B)=310，结合P(A)=P(A|B)，即可求解；
（2）由全概率公式求得P(B)的概率,结合P(A|B)=P(AB)P(B)，即可求解.
【解答过程】（1）由P(A|B)=710，可得P(A|B)=1-P(A|B)=310，
因为A与B独立，所以P(A)=P(A|B)=310.
（2）因为PA=12，PBA=14，所以PA=12，PBA=34，
又因为PBA=23，
由全概率公式，可得P(B)=P(A)⋅P(B|A)+P(A)⋅P(B|A)=12×23+12×34=1724,
P(AB)=P(A)⋅P(B|A)=12×14=18，
又由PB=1-PB=724，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=18724=37.
19．（8分）（2022秋·安徽阜阳·高三期末）小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6;如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8.
(1)求小明放学时选择A路线的概率;
(2)已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率.
【解题思路】(1) 设A1=“上学时选择A路线”，B1=“上学时选择B路线”，A2=“放学时选择A路线”，再利用条件概率公式求解；
(2)利用条件概率公式求解.
【解答过程】（1）设A1=“上学时选择A路线”，B1=“上学时选择B路线”，A2=“放学时选择A路线”，
则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，
根据题意得PA1=PB1=0.5，
PA2|A1=0.6，PA2|B1=0.8，
由全概率公式，得
PA2=PA1PA2|A1+PB1PA2|B1=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7，
所以小明放学时选择A路线的概率为0.7.
（2）PB1|A2=PA2B1PA2=PB1PA2|B1PA2=0.5×
所以已知小明放学时选择A路线，上学选择B路线的概率为47.
20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
【解题思路】（1）设Ai表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”，再根据概率的公式求解即可；
（2）同（1），结合条件概率的公式求解即可.
【解答过程】（1）
设Ai表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．
PC=PA1∩C∪A2∩C=PA1∩C+PA2∩C
=PA1PC|A1+PA2PC|A2 =23×1-0.03+13×1-0.02=7375．
（2）
PA2|B=PA2∩BPB=PA2PB|A2PA1PB|A1+PA2PB|A2
=13×0.0223×0.03+13×0.02=0.25．
21．（8分）（2023秋·湖北·高三阶段练习）从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i=1，2，…，6.
(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
(2)记PA1A2A3表示A1，A2，A3同时发生的概率，PA3A1A2表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率.
（ⅰ）证明：PA1A2A3=PA1PA2A1PA3A1A2；
（ⅱ）求PA3.
【解题思路】（1）由条件概率得公式计算即可求得.
（2）（ⅰ）有条件公式即可证明；（ⅱ）根据条件概率公式逐项计算即可求解.
【解答过程】（1）PA2A1=PA1A2P(A1)=36×3536=35，
所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率35；
（2）（ⅰ）因为PA1A2A3=PA1A2PA3A1A2，
又因为PA1A2=PA1PA2A1，
所以PA1A2A3=PA1A2PA3A1A2=PA1PA2A1PA3A1A2，
即PA1A2A3=PA1PA2A1PA3A1A2.
（ⅱ）P(A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)，
P(A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
=36×25×14+36×35×24+36×35×24+36×25×34 =60120=12.
22．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知甲箱产品中有5个正品和3个次品，乙箱产品中有4个正品和3个次品
(1)如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，求第2次取到次品的概率
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品
（i）求从乙箱中取出的这个产品是正品的概率
（ii）已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是2个正品的概率
【解题思路】（1）记事件Ai=“第i次从乙箱中取到次品”，i=1,2，再借助全概率公式计算作答.
（2）记事件A=“从乙箱取一个正品”，从甲箱中取出两个正品、一个正品一个次品、两个次品的事件分别记为B1,B2,B3，再利用全概率、条件概率公式求解作答.
【解答过程】（1）
令事件Ai=“第i次从乙箱中取到次品”，i=1,2，
则P(A1)=37,P(A2|A1)=26=13,P(A2|A1)=36=12，
因此P(A2)=P(A2A1+A2A1)=P(A1)⋅P(A2|A1)+P(A1)⋅P(A2|A1)=37×13+47×12=37，
所以第2次取到次品的概率是37.
（2）
（i）令事件A=“从乙箱取一个正品”，事件B1=“从甲箱中取出两个正品”，事件B2=“从甲箱中取出一个正品一个次品”，
事件B3=“从甲箱中取出两个次品”，B1,B2,B3互斥，且B1∪B2∪B3=Ω，
P(B1)=C52C82=514,P(B2)=C51C31C82=1528,P(B3)=C32C82=328，P(A|B1)=69,P(A|B2)=59,P(A|B3)=49，
则P(A)=P(B1)⋅P(A|B1)+P(B2)⋅P(A|B2)+P(B3)⋅P(A|B3)=514×69+1528×59+328×49=712，
所以从乙箱中取出的这个产品是正品的概率是712.
（ii）依题意，从甲箱中取出的是2个正品的概率即是在事件A发生的条件下事件B1发生的概率，
则P(B1|A)=P(B1A)P(A)=P(B1)⋅P(A|B1)P(A)=514×69712=2049，
所以从甲箱中取出的是2个正品的概率是2049.