【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假提升训练专题09 条件概率与全概率公式（五大考点）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：利用定义求条件概率
考点二：条件概率的性质及应用
考点三：全概率公式
考点四：贝叶斯公式
考点五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
1、条件概率的概念
条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
2、概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
3、条件概率的性质
设，则
（1）
（2）如果与是两个互布事件，则；
（3）设和互为对立事件，则．
1、全概率公式
在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑
一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
2、贝叶斯公式
设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有
3、在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率．
考点剖析
考点一：利用定义求条件概率
例1．（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）甲、乙和另外5位同学站成两排拍照，前排3人，后排4人.若每个人都随机站队，且前后排不认为相邻，则在甲、乙站在同一排的条件下，两人不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·全国·高二随堂练习）为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）太行山脉有很多优美的旅游景点．现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C、D、E、F，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“甲和乙至少一人选择C”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2024·高二课时练习）一个袋中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为（ ）
A．B．
C．D．
考点二：条件概率的性质及应用
例4．（2024·全国·高二专题练习）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·河南郑州·高二统考期末）已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2024·天津滨海新·高二校考期中）设A，B为两个事件，已知P(B)=0.4，P(A)=0.5 ，P(B|A)=0.3 ，则P()=（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
变式2．（2024·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
考点三：全概率公式
例7．（2024·全国·高二课堂例题）某公司有三个制造厂，全部产品的由甲厂生产，由乙厂生产，由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为．求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率．
例8．（2024·全国·高二课堂例题）李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会．根据以往的经验，他骑自行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50．他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车．设自行车有故障的概率是0.01，试计算李老师迟到的概率．
例9．（2024·江苏宿迁·高二统考期中）袋中有3个红球，4个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察其颜色后放回．若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放2个红球；若取出的球是黑球，则将此黑球放回即可．
(1)求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率；
(2)求第二次取到红球的概率．
变式3．（2024·福建泉州·高二校考期末）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人
(1)求这个人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.
变式4．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到．
(1)问这个人迟到的概率是多少?
(2)如果这个人迟到了，问他乘轮船迟到的概率是多少?
考点四：贝叶斯公式
例10．（2024·高二课时练习）李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为 ．
例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化.为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加.除李夏以外的其他参赛选手中，是一类棋手，是二类棋手，其余的是三类棋手.李夏与一、三、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.2、0.4和0.5.
(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率；
(2)如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率.
例12．（2024·河北保定·高二校联考期中）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4.
(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.
考点五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
例13．（2024·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）某电子设备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录得到以下数据：
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志
(1)在仓库中随机抽取1个元件，求它是次品的概率；
(2)在仓库中随机抽取1个元件，若已知抽取的是次品，求该次品出自元件制造厂3的概率.
例14．（2024·辽宁沈阳·高二校联考期末）玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”求：
(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率；
(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率.
例15．（2024·高二课时练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
变式5．（2024·江苏连云港·高二校考阶段练习）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分、、．现从这三个地区任抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．
过关检测
一、单选题
1．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）已知为两个随机事件，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·高二随堂练习）随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（ ）
A．0.24B．0.14C．0.067D．0.077
3．（2024·浙江·高二萧山二中校联考期中）在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江西·高二江西省宜丰中学校联考阶段练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·福建泉州·高二校考期末）甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则=（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江苏·高二专题练习）一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·福建福州·高二校联考期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（ ）
A．0.925B．0.03C．0.075D．0.95
8．（2024·山东青岛·高二统考阶段练习）现有12道四选一的单选题，学生甲对其中的9道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．学生甲从这12道题中随机选择1题，他做对的概率为（ ）
A．0.225B．0.4125C．0.7375D．0.8325
二、多选题
9．（2024·全国·高二随堂练习）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲游乐场的概率为0.54
B．第二天去乙游乐场的概率为0.44
C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为
D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为
10．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ）
A．事件与相互独立B．
C．D．
11．（2024·江苏宿迁·高二统考期中）某气象台统计，该地区不下雨的概率为；刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则A与B相互独立
B．若，，则A与B相互独立
C．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”是相互独立
D．容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”是相互独立的
三、填空题
13．（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）甲同学和乙同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若甲同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在甲先胜一局的条件下，甲最终能获胜的概率是 .
14．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是 ．
15．（2024·四川攀枝花·高二统考期末）某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立甲乙两个小组进行新产品研发，已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为．则在新产品研发成功的情况下，新产品是由甲小组研发成功的概率是 ．
16．（2024·全国·高二随堂练习）某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手5人，三级射手2人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为 ；若一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为 ．
四、解答题
17．（2024·全国·高二课堂例题）某批麦种中，一等麦种，二等麦种，一、二等麦种种植后所结的穗含有粒以上麦粒的概率分别为，．求用这批种子种植后所结的穗含有粒以上麦粒的概率．
18．（2024·全国·高二课堂例题）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，而且两地同时下雨的概率为.求春季的一天里：
(1)已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率；
(2)已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率.
19．（2024·全国·高二课堂例题）在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率；
(2)甲没中奖而且乙中奖的概率．
20．（2024·山东日照·高二日照一中校考阶段练习）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．
(1)求的值：
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
21．（2024·四川凉山·高二统考期中）多选题是新高考中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或一个都不选的得0分．某同学正在参加西昌市半期考试，当其做到多项选择题11题和12题时，发现自己不会，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是，若该同学猜答案时题目与题目之间互不影响，且第11题和第12题的正确答案都是两个选项．
(1)求该同学11题得2分的概率；
(2)求该同学第11，12题两个题总共得分为7分的概率．
22．（2024·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和.
(1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率；
(2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
1
0.01
0.1
2
0.02
0.7
3
0.03
0.2