湖南省湘潭市岳塘区2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省湘潭市岳塘区2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时量：120分钟 总分：120分）
一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，最小的是（ ）
A. B. 3C. D.
2. 微信钱包收入50元时在微信账单中显示为，那么支出30元将显示为（ ）
A. B. C. D.
3. 与是同类项的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列等式变形正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（ ）
A 两点确定一条直线B. 两点之间，线段最短
C. 射线只有一个端点D. 两直线相交只有一个交点
6. 文化情境·大运河京杭大运河，延用隋唐大运河，改道并裁弯取直，是世界上里程最长、工程最大的古代运河，也是最古老的运河之一，是中国古代劳动人民创造的一项伟大工程，是中国文化地位的象征之一．它南起余杭（今杭州），北到涿郡（今北京），全长约．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
7. 将方程去分母，下列结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若多项式的值与的值无关，则等于（ ）
A. B. C. D.
9. 已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（ ）
A. B. C. 或D. 或
10. 有一数值转换器，原理如图，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2025次输出的结果是（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 1
二、填空题：（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：________．
12. 已知方程，适用含 x 代数式表示 y，则____．
13. 如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则的值为________．
14. 若，则的余角的度数为________．
15. 如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板直角顶点放在点处，此时是的角平分线，则________．
16. 程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？设大和尚人，小和尚人，根据题意可列方程组为______．
17. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．
18. 如图，直线、相交于点P，在这平面内，如果再画一条直线，那么它们的交点个数共有为______．
三、解答题：（本题共8小题，共66分．）
19. 计算：
20. 已知，如图，点A，，在同一条直线上，平分，．
（1）求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整（其中括号里填写推理依据）
证明：∵，
∴____________，，
又∵平分，
∴__________．（________________）
∴__________．（________________）
∴是的平分线．
（2）图中补角是____________．
21. 如图，正方形的边长为．
（1）根据图中数据，用含，的代数式表示阴影部分的面积；
（2）当，时，求阴影部分的面积．
22. 若关于，的方程组和有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求的值
23. 阅读下列材料．让我们规定一种运算，如，再如．
按照这种运算规定，请解答下列问题．
（1）计算：________；________；
（2）当时，求值（要求写出计算过程）．
24. 如图，已知线段，延长至，使得．
（1）求的长；
（2）若是的中点，是的中点，求的长．
25. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
26. 【新知理解】如图，点，在数轴上分别表示有理数，，且，满足．如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）________；________．
（2）①线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
②点是线段的巧点，则最长为________；
【解决问题】
（3）如图②，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由．
2024年下学期期末质量监测试卷
七年级数学
（时量：120分钟 总分：120分）
一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，最小的是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数大小比较，熟练掌握正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．根据比较有理数大小法则比较即可得出答案．
【详解】解：，
∴这几个数，最小，
故选：A．
2. 微信钱包收入50元时在微信账单中显示为，那么支出30元将显示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正数和负数，根据用正负号表示相反的意义判断即可．掌握据用正负号表示相反的意义是解题的关键．
【详解】解：收入50元时显示，
支出30元将显示为．
故选：D．
3. 与是同类项的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项；
B、符合同类项的定义，是同类项；
C、相同字母的指数不相同，不是同类项；
D、所含字母不相同，不是同类项．
故选：B．
4. 下列等式变形正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据等式的基本性质判断即可．
【详解】解：A．若，则，故A不符合题意；
B．若，则，故B不符合题意；
C．若，则，故C符合题意；
D．若，且，则，故D不符合题意；
故选：C
5. 为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 两点之间，线段最短
C. 射线只有一个端点D. 两直线相交只有一个交点
【答案】A
【解析】
【分析】先让两个同学站好，实质是确定两定点，而由两点即可确定一条直线．
【详解】解：由题意可知：两点确定一条直线，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线性质，解题的关键是正确掌握直线的性质．
6. 文化情境·大运河京杭大运河，延用隋唐大运河，改道并裁弯取直，是世界上里程最长、工程最大的古代运河，也是最古老的运河之一，是中国古代劳动人民创造的一项伟大工程，是中国文化地位的象征之一．它南起余杭（今杭州），北到涿郡（今北京），全长约．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握表示方法是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
【详解】解：．
故选： D．
7. 将方程去分母，下列结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程（去分母），根据等式性质2去分母即可．
【详解】解：，
去分母，得．
故选：C．
8. 若多项式的值与的值无关，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握以上知识是解题的关键．
化简原式为，由此式的值与的值无关，可得，求解即可选出正确结果．
【详解】解：
，
，
∵此式的值与的值无关，
则，
解得．
故选：D．
9. 已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段的中点的定义，线段的和差，分类讨论是解题的关键．
根据线段的中点定义，线段的和差计算即可．
【详解】∵点为线段的中点，
∴当点在的延长线上时，
，
当点在线段的延长线上时，
，
∴线段BD的长是或．
故选：D．
10. 有一数值转换器，原理如图，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2025次输出的结果是（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出从第二次开始，每3次一循环，结合即可得解．正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：若开始输入的值是5，可发现
第一次输出的结果是，
第二次输出的结果是，
第三次输出的结果是，
第四次输出的结果是，
第五次输出的结果是，
第六次输出的结果是，
第七次输出的结果是，
，
故从第二次开始，每3次一循环，
，
第2025次输出的结果是2，
故选：C．
二、填空题：（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是有理数的混合运算，绝对值的含义，先计算绝对值，乘除运算，最后计算加减运算即可．
【详解】解：；
故答案为：
12. 已知方程，适用含 x 的代数式表示 y，则____．
【答案】
【解析】
【分析】将看作常数，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查用一个未知数表示另一个未知数．熟练掌握等式的性质，是解题的关键．
13. 如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则的值为________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查正方体展开图，代数式求值，利用空间想象能力得出相对面的对应关系，从而求出a、b、c的值，再代值计算即可求出结果．
【详解】解：∵该正方体相对面上的两个数互为相反数，
∴，，，
∴．
故答案为：0．
14. 若，则的余角的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个角的余角，解题的关键是熟练掌握互为余的两个角和为．
根据互余的定义即可求解．
【详解】解：由题意得的余角为：，
故答案：．
15. 如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，此时是的角平分线，则________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了余角的概念，角平分线的定义，利用，再根据角平分线得到，再根据与互余即可解答，注意掌握平角中套直角这种模型，理清各角之间的关系．
【详解】解：，
，
是的角平分线，
，
，
，
故答案为：．
16. 程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？设大和尚人，小和尚人，根据题意可列方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．
【详解】解：设大和尚人，小和尚人，
共有大小和尚100人，
；
大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完100个馒头，
．
联立两方程成方程组得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解决此类问题的关键就是认真对题，从题目中提取出等量关系，根据等量关系设未知数列方程组.
17. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，设，再根据题目中关于的一元一次方程的解确定出的值即可，正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键．
【详解】解：设，则关于的方程化为：，
根据题意可得关于的一元一次方程的解为，
，
故答案为：．
18. 如图，直线、相交于点P，在这平面内，如果再画一条直线，那么它们的交点个数共有为______．
【答案】1个或2个或3个
【解析】
【分析】在同一平面内，两条直线平行，第三条直线与它相交，有2个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点．
【详解】当平行于或时，交点的个数为2个；
当与和都不平行，交于P点时，交点的个数为1个；不交于同一点时，交点的个数为3个．
故答案为：1个或2个或3个．
【点睛】本题考查了直线的交点个数问题，分类讨论是解题的关键．
三、解答题：（本题共8小题，共66分．）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方和绝对值，再算乘法，最后加减即可，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
．
20. 已知，如图，点A，，在同一条直线上，平分，．
（1）求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整（其中括号里填写推理依据）
证明：∵，
∴____________，，
又∵平分，
∴__________．（________________）
∴__________．（________________）
∴是的平分线．
（2）图中的补角是____________．
【答案】（1）；；角平分线的定义；；等角的余角相等
（2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，补角的定义，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得，然后根据等角的余角相等逐步推理证明即可求证是的平分线；
（2）根据补角的定义进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
又∵平分，
∴．（角平分线的定义）
∴．（等角的余角相等）
∴是的平分线．
故答案为：；；角平分线的定义；；等角的余角相等．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴的补角是．
故答案为：．
21. 如图，正方形的边长为．
（1）根据图中数据，用含，的代数式表示阴影部分的面积；
（2）当，时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）14
【解析】
【分析】本题考查了列代数式和代数式的求值．列出代数式是解决本题的关键．
（1）用正方形的面积两个三角形的面积即可；
（2）把，代入计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：当，时，
．
22. 若关于，的方程组和有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求的值
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义，求解代数式的值；
（1）把方程组中不含、的两个方程联立，再解方程组求解即可；
（2）把（1）中方程的解代入含、的两个方程组成方程组求解的值，再计算即可．
【小问1详解】
解：把方程组中不含、的两个方程联立得，
，
①②得，，
∴，
把代入①得，，
∴，
∴方程组的解为，
【小问2详解】
解：把方程组中含、的两个方程联立得，
，
把代入得，，
③+④得，，
∴，
∴．
23. 阅读下列材料．让我们规定一种运算，如，再如．
按照这种运算规定，请解答下列问题．
（1）计算：________；________；
（2）当时，求的值（要求写出计算过程）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算中的化简求值；
（1）根据新定义运算的含义列式计算即可；
（2）先列式，再去括号，合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
；
【小问2详解】
解：
当时，原式；
24. 如图，已知线段，延长至，使得．
（1）求的长；
（2）若是的中点，是的中点，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义；
（1）先求解，再结合线段的和差可得答案；
（2）由中点的含义可得，，再进一步求解即可；
【小问1详解】
解：∵线段，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴．
25. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元
（2）方案见解析 （3）购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大利润为94000元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，方案利润问题；
（1）等量关系式：购买2辆A型汽车的费用购买3辆B型汽车的费用80万元；购买3辆A型汽车的费用购买2辆B型汽车的费用95万元；据此列出方程组，即可求解；
（2）设购买A型号汽车m辆，B型号的汽车n辆，列出方程且，，求出整数解，即可求解；
（3）分别求出各个方案的利润，并进行比较，即可求解；
找出等量关系式，会求二元一次方程的整数解是解题的关键．
【小问1详解】
解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，由题意可得
，
解得，
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元．
【小问2详解】
解：设购买A型号的汽车m辆，B型号的汽车n辆，由题意可得：
且，，
解得或或，
所以该公司共有三种购买方案：
方案一：购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车；
方案二：购买4辆A型汽车，购买8辆B型汽车；
方案三：购买6辆A型汽车，购买3辆B型汽车；
【小问3详解】
解：当，时，
获得的利润为（元）；
当，时，
获得利润为（元）；
当，时，
获得的利润为（元）；
由上可得，最大利润为94000元．
所以购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大利润为94000元．
26. 【新知理解】如图，点，在数轴上分别表示有理数，，且，满足．如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）________；________．
（2）①线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
②点是线段的巧点，则最长为________；
【解决问题】
（3）如图②，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由．
【答案】（1）；；（2）①是；②；（3）或或，见解析
【解析】
【分析】本题考查数轴，新定义和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分类讨论．
（1）根据绝对值和偶次方的非负性，即可解答；
（2）①根据“巧点”的定义，即可解答；
②根据“巧点”的定义，即可解答；
（3）根据“巧点”的定义，分情况讨论，当或，或，分别计算即可．
【详解】解：（1）根据，
可得，，
解得，
故答案为：；；
（2）①当一个点为线段的中点时，
线段是其余两条线段的2倍，
故线段的中点是这条线段的“巧点”，
故答案为：是；
②根据（1）可得，
点是线段的“巧点”，
当时，最长，
即，
故答案为：12；
（3）当点为点、的“巧点”时，点在线段上，
根据题意，秒后，，，，
为、的“巧点”，
或或，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
当为或或时，为、的“巧点”．