2024-2025学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x＝3B．x2−2x−1=0
C．3x2+y＝2D．x﹣3y+1＝0
2．（3分）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为X甲＝89分，X乙＝89分，S甲2＝246，S乙2＝191，那么成绩较为整齐的是（ ）
A．甲班B．乙班
C．两班一样整齐D．无法确定
3．（3分）已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（1，10），那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A．（﹣2，5）B．（3，1）C．（﹣1，10）D．（﹣2，﹣5）
4．（3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝4cm，则d＝（ ）
A．8cmB．0.5cmC．2cmD．3cm
5．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
6．（3分）已知△ABC∽△DEF，若∠A＝40°，∠E＝60°，则∠F的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．80°
7．（3分）“书是人类进步的阶梯!”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ）
A．608（1﹣x）2＝128B．128（1﹣x）2＝608
C．608（1+x）2＝128D．128（1+x）2＝608
8．（3分）如图，已知△A1OB1与△A2OB2位似，且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为（﹣1，2），则点A2的坐标为（ ）
A．（1，﹣4）B．（2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（−2，1）
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则tanB的值为（ ）
A．45B．35C．34D．43
10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AEAB=ADAC=37，则S△ADE：S四边形BCED的值为（ ）
A．1：3B．9：49C．9：40D．1：9
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（3分）点A（1，m），B（﹣2，n）在反比例函数y=−3x的图象上，则m n（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．（3分）把一元二次方程x（x+2）＝﹣3化成一般形式是 ．
13．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为2A时，电阻为 Ω．
14．（3分）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？”
15．（3分）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b=ab2，则方程2☆x＝x★8的解为 ．
16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA=125，则sinA＝ ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，斜边上的高AD交BC于点D，若BD＝9，CD＝6，则AD的长度等于 ．
18．（3分）如图，点A是反比例函数y=kx(x＞0)图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，BDOD=12，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分；解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（6分）计算：|−8|+(−2025π)0−4sin45°−(12)−2．
20．（6分）解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0；
（2）x2﹣7x+10＝0．
21．（8分）某校为了解本校学生对小说、散文、诗歌、寓言四类书籍的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“寓言”所对应的扇形圆心角是 ；
（4）若该校有2600名在校学生，请你估计喜爱“小说”的大约有多少人？
22．（8分）莽山多奇峰，假期某一天，天气晴好，热爱户外运动的胡老师到莽山公园爬山．有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，胡老师从山脚A出发，沿AB走400米到B点，再沿BC到山顶C点，已知山高CF为384米，BE∥AF，BD⊥AF，CE⊥BE交AD的延长线于点F，∠1＝30°，∠2＝50°．（图中所有点均在同一平面内）
（1）求BD的长；
（2）求胡老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
23．（9分）乐乐同学的妈妈经营了一家童装专卖店，她在销售中发现，一款童装每件进价为120元，销售价为280元时，平均每天可售出3件，为了迎接“元旦”，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，若每件童装降价10元，则平均可多售出1件．设每件童装降价10x元．
（1）每天可销售 件，每件盈利 元；（用含x的代数式表示）
（2）求每件童装降价多少元时，销售这款童装平均每天可盈利840元．
24．（9分）如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．
25．（10分）综合与实践：如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 ；
（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝1，AC＝3，求△BDF的面积；
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则BNBC= ．
26．（10分）我们不妨约定，如果三条线段a，b，c的长度满足一条线段长的倒数是另两条线段长的倒数和，那么称线段a，b，c为“和谐三线”，例如，长度为1，1，12的三条线段为“和谐三线”，根据约定，解决下列问题：
（1）如图1，若点A对应的数为1，点B为线段OA上，位于中点左侧的数轴上的一点，若线段OA，OB，AB为“和谐三线”，求点B对应的数；
（2）如图2，已知AB∥CD，连接AD，BC交于点F，过F作AB的平行线交AC于点E，求证：AB，CD，EF为“和谐三线”；
（3）如图3，已知一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与函数y=kx（x＞0）的图象交于C，D两点，其中D点横坐标大于C点横坐标，若BC，CD，AD是“和谐三线”，求k的值．
2024-2025学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x＝3B．x2−2x−1=0
C．3x2+y＝2D．x﹣3y+1＝0
【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、不是整式方程，故此选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、未知数的最高次数是1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为X甲＝89分，X乙＝89分，S甲2＝246，S乙2＝191，那么成绩较为整齐的是（ ）
A．甲班B．乙班
C．两班一样整齐D．无法确定
【解答】解：甲、乙两个班的平均分相同，而S甲2＞S乙2，
因此乙班的成绩比较整齐，
故选：B．
3．（3分）已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（1，10），那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A．（﹣2，5）B．（3，1）C．（﹣1，10）D．（﹣2，﹣5）
【解答】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（1，10），
∴k＝1×10＝10，
A、∵（﹣2）×5＝﹣10≠10，∴此点不在反比例函数的图象上，不符合题意；
B、∵3×1＝3≠10，∴此点不在反比例函数的图象上，不符合题意；
C、∵（﹣1）×10＝﹣10≠10，∴此点不在反比例函数的图象上，不符合题意；
D、∵（﹣2）×（﹣5）＝10，∴此点在反比例函数的图象上，符合题意，
故选：D．
4．（3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝4cm，则d＝（ ）
A．8cmB．0.5cmC．2cmD．3cm
【解答】解：∵线段a，b，c，d成比例线段，
∴a：b＝c：d，即1：2＝4：d，
∴d＝8（cm）．
故选：A．
5．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．（3分）已知△ABC∽△DEF，若∠A＝40°，∠E＝60°，则∠F的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．80°
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝40°，
∴∠D＝∠A＝40°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
故选：D．
7．（3分）“书是人类进步的阶梯!”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ）
A．608（1﹣x）2＝128B．128（1﹣x）2＝608
C．608（1+x）2＝128D．128（1+x）2＝608
【解答】解：∵第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，
∴128（1+x）2＝608，
故选：D．
8．（3分）如图，已知△A1OB1与△A2OB2位似，且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为（﹣1，2），则点A2的坐标为（ ）
A．（1，﹣4）B．（2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（−2，1）
【解答】解：∵△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，
∴△A1OB1与△A2OB2的位似之比为1：2，
而点A1的坐标为（﹣1，2），
∴点A2的坐标为（2，﹣4）．
故选：B．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则tanB的值为（ ）
A．45B．35C．34D．43
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴tanB=ACBC=43．
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AEAB=ADAC=37，则S△ADE：S四边形BCED的值为（ ）
A．1：3B．9：49C．9：40D．1：9
【解答】解：∵在△ADE与△ACB中，AEAB=ADAC=37，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴S△ADE：S△ACB＝（AE：AB）2＝9：49，
∴S△ADE：S四边形BCED＝9：40．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（3分）点A（1，m），B（﹣2，n）在反比例函数y=−3x的图象上，则m ＜ n（填“＞”“＜”或“＝”）．
【解答】解：∵反比例函数的比例系数为﹣3，
∴图象过二四象限，
∵1＞﹣2，
∴m＜0，n＞0，
∴m＜n
故答案为＜．
12．（3分）把一元二次方程x（x+2）＝﹣3化成一般形式是 x2+2x+3＝0 ．
【解答】解：x（x+2）＝﹣3，
x2+2x＝﹣3，
x2+2x+3＝0，
故答案为：x2+2x+3＝0．
13．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为2A时，电阻为 18 Ω．
【解答】解：设该反比函数解析式为I=kR，把（4，9）代入得，
∴k＝36，
∴I=36R，
把I＝2代入得，
∴R＝18，
故答案为：18．
14．（3分）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 19 人？”
【解答】解：设这群人共有x人，则共摘了x(1+x)2个石榴，
根据题意得：x(1+x)2=10x，
整理得：x2﹣19x＝0，
解得：x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝19，
∴这群人共有19人．
故答案为：19．
15．（3分）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b=ab2，则方程2☆x＝x★8的解为 x1＝x2＝2 ．
【解答】解：∵a☆b＝a2+b2，a★b=ab2，
∴2☆x＝22+x2＝4+x2，x★8=8x2=4x，
∵2☆x＝x★8，
∴4+x2＝4x，即x2﹣4x+4＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×4＝16﹣16＝0，
∴x=4±02，
∴x1＝x2＝2．
故答案为：x1＝x2＝2．
16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA=125，则sinA＝ 1213 ．
【解答】解：由条件可知BCAC=125，
设BC＝12k，AC＝5k，其中k＞0，
∴AB=BC2+AC2=(12k)2+(5k)2=13k，
∴sinA=BCAB=12k13k=1213，
故答案为：1213．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，斜边上的高AD交BC于点D，若BD＝9，CD＝6，则AD的长度等于 36 ．
【解答】解：由射影定理得，AD2＝BD•CD，则AD2＝9×6＝54，
∴AD＝36，
故答案为：36．
18．（3分）如图，点A是反比例函数y=kx(x＞0)图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，BDOD=12，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 6 ．
【解答】解：设A（a，ka），
∴AB＝a，BO=ka．
∵AB⊥y轴，CO⊥y轴，
∴AB∥CO．
∴ABCO=BDOD=12．
∴CO＝2AB＝2a，BD=13BO=k3a．
又∵S△BCD=12BD•OC=12×k3a×2a=k3=2，
∴k＝6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分；解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（6分）计算：|−8|+(−2025π)0−4sin45°−(12)−2．
【解答】解：|−8|+(−2025π)0−4sin45°−(12)−2
=8+1−4×22−4
=22+1−22−4
＝﹣3．
20．（6分）解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0；
（2）x2﹣7x+10＝0．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣9＝0，
（x﹣3）2＝9，
∴x﹣3＝±3
∴x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，
∴x1＝6，x2＝0；
（2）x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝2，x2＝5．
21．（8分）某校为了解本校学生对小说、散文、诗歌、寓言四类书籍的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 200 人；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“寓言”所对应的扇形圆心角是 54° ；
（4）若该校有2600名在校学生，请你估计喜爱“小说”的大约有多少人？
【解答】解：（1）50÷25%＝200（人），
所以本次被调查的学生有200人；
故答案为：200；
（2）喜欢“诗歌”的人数为200﹣80﹣50﹣30＝40（人），
补全统计图为：
（3）在扇形统计图中，“寓言”所对应的扇形圆心角是：360°×30200=54°；
故答案为：54°；
（3）2600×80200=1040（人），
所以估计喜爱“小说”的大约有1040人．
22．（8分）莽山多奇峰，假期某一天，天气晴好，热爱户外运动的胡老师到莽山公园爬山．有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，胡老师从山脚A出发，沿AB走400米到B点，再沿BC到山顶C点，已知山高CF为384米，BE∥AF，BD⊥AF，CE⊥BE交AD的延长线于点F，∠1＝30°，∠2＝50°．（图中所有点均在同一平面内）
（1）求BD的长；
（2）求胡老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【解答】解：（1）∵BD⊥AF，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝30°，AB＝400米，
∴BD=12AB＝200（米），
∴BD的长为200米；
（2）∵CE⊥BE，BD⊥AF，
∴∠CEB＝∠BEF＝∠BDF＝90°，
∵BE∥AF，
∴∠AFE＝∠CEB＝90°，
∴四边形BDFE是矩形，
∴BD＝EF＝200米，
∵CF＝384米，
∴EF＝CF﹣EF＝384﹣200＝184（米），
在Rt△CBE中，∠2＝50°，
∴BC=CEsin50°≈1840.77≈239.0（米），
∵AB＝400米，
∴AB+BC＝400+239＝639（米），
∴胡老师从山脚A点到达山顶C点共走了约639米．
23．（9分）乐乐同学的妈妈经营了一家童装专卖店，她在销售中发现，一款童装每件进价为120元，销售价为280元时，平均每天可售出3件，为了迎接“元旦”，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，若每件童装降价10元，则平均可多售出1件．设每件童装降价10x元．
（1）每天可销售 （3+x） 件，每件盈利 （160﹣10x） 元；（用含x的代数式表示）
（2）求每件童装降价多少元时，销售这款童装平均每天可盈利840元．
【解答】解：（1）根据题意得：当每件童装降价10x元时，每天可销售3+10x10=（3+x）件，每件盈利280﹣10x﹣120＝（160﹣10x）元．
故答案为：（3+x），（160﹣10x）；
（2）根据题意得：（160﹣10x）（3+x）＝840，
整理得：x2﹣13x+36＝0，
解得：x1＝4，x2＝9，
又∵要尽快减少库存，
∴x＝9，
∴10x＝10×9＝90（元）．
答：每件童装降价90元时，销售这款童装平均每天可盈利840元．
24．（9分）如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，
∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠CED＝∠FDE，
∴△ECD∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，
∵E为BC的中点，
∴CE=12BC＝2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE=CE2+DC2=22+42=25，
∵△ECD∽△DEF，
∴CEDE=DEDF，
∴225=25DF，
解得：DF＝10，
∵AD＝4，
∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．
25．（10分）综合与实践：如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 DE＝AB ；
（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝1，AC＝3，求△BDF的面积；
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则BNBC= 913 ．
【解答】解：（1）DE＝AB，
理由：∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
∵∠CBD＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠DBE＝∠ACB，
在△ABC和△EDB中，
∠ACB=∠DBE∠A=∠DEB=90°CB=BD．
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴DE＝AB，
故答案为：DE＝AB；
（2）解：∵∠CBD＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠DBE＝∠ACB，
在△ABC和△EDB中，
∠ACB=∠DBE∠A=∠DEB=90°CB=BD，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴DE＝AB，BE＝AC，
∵AB＝1，AC＝3，
∴DE＝1，BE＝3，
∴AE＝AB+BE＝1+3＝4，
∵∠DEB+∠A＝180°，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△CAF，
∴DEAC=EFFA，
∴13=EFEF+4，
∴EF＝2，
∴BF＝BE+EF＝3+2＝5，
∴S△BDF=12×5×1=52；
（3）如图所示，连接CE，交BD于点N，过点N作MN⊥AF于点M，
∵∠A＝∠BMN＝90°，∠ACB＝90°﹣∠ABC＝∠NBM，
∴△ABC∽△MNB，
∴BNBC=BMAC=MNAB，
即BNBC=BM3=MN1，
即MN=13BM，
又∵MN∥AC，
∴△EMN∽△ECA，
∴MEAE=MNAC
设BM＝x，则ME＝BE﹣BM＝3﹣x，
3−x4=13x3
解得x=2713，
∴BNBC=MBAC=27133=913．
故答案为：913．
26．（10分）我们不妨约定，如果三条线段a，b，c的长度满足一条线段长的倒数是另两条线段长的倒数和，那么称线段a，b，c为“和谐三线”，例如，长度为1，1，12的三条线段为“和谐三线”，根据约定，解决下列问题：
（1）如图1，若点A对应的数为1，点B为线段OA上，位于中点左侧的数轴上的一点，若线段OA，OB，AB为“和谐三线”，求点B对应的数；
（2）如图2，已知AB∥CD，连接AD，BC交于点F，过F作AB的平行线交AC于点E，求证：AB，CD，EF为“和谐三线”；
（3）如图3，已知一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与函数y=kx（x＞0）的图象交于C，D两点，其中D点横坐标大于C点横坐标，若BC，CD，AD是“和谐三线”，求k的值．
【解答】（1）解：设点B对应的数为x，
∵点B为线段OA上，位于中点左侧的数轴上的一点，
∴x＜12．
∴OA＝1，OB＝x，AB＝1﹣x．
∵线段OA，OB，AB为“和谐三线”，
∴1OB=1OA+1AB，
∴1x=11+11−x，
∴x2﹣3x+1＝0，
∴x=3±52．
经检验，它们都是原方程的根，但3+52＞12，不合题意舍去，
∴x=3−52．
∴点B对应的数为3−52；
（2）证明：∵AB∥EF，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CECA．
∵AB∥CD，AB∥EF，
∴CD∥EF，
∴△AEF∽△ACD，
∴EFCD=AEAC，
∴EFAB+EFCD=CEAC+AEAC=CE+AEAC=ACAC=1，
∴EFAB+EFCD=1，
∴1AB+1CD=1EF，
∴AB，CD，EF为“和谐三线”；
（3）解：过点C作CE⊥OA于点E，CG⊥OB于点G，过点D作DF⊥OA于点F，DH⊥CE于点H，如图，
令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6）．
∴OB＝6，
令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），
∴OA＝3，
∵一次函数y＝﹣2x+6的图象与函数y=kx（x＞0）的图象交于C，D两点，
∴设C（a，﹣2a+6），D（b，﹣2b+6），
∴k＝a（﹣2a+6）＝b（﹣2b+6），
∴﹣2a2+6a＝﹣b2+6b，
∴a2﹣b2＝3a﹣3b，
∴（a+b）（a﹣b）＝3（a﹣b），
∵D点横坐标大于C点横坐标，
∴b＞a，
∴a+b＝3，
∴b＝3﹣a．
∵CE⊥OA，DF⊥OA，DH⊥CE，
∴四边形DHEF为矩形，
∴EH＝DF，DH＝EF，
同理可得：四边形CEOG为矩形，
∴CG＝OE，OG＝CE，
∵OE＝a，OF＝b，CE＝﹣2a+6，DF＝﹣2b+6＝2a，
∴OG＝a，BG＝OB﹣CE＝2a，DH＝EF＝b﹣a＝3﹣2a，CH＝CE﹣DF＝﹣2a+2b＝6﹣4a，FA＝3﹣b＝a，
∴BC=BG2+CG2=(2a)2+a2=5a，
CD=CH2+DH2=(6−4a)2+(3−2a)2=5（3﹣2a），
AD=AF2+DF2=a2+(2a)2=5a，
∵BC，CD，AD是“和谐三线”，
∴1CD=1BC+1AD，
∴15(3−2a)=15a+15a，
∴2（3﹣2a）＝a，
∴a=65，
经检验，a=65是原方程的根．
∴C（65，186），D（95，125）．
∴k=65×185=10825．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
A
D
D
B
D
C