2024-2025学年湖南省永州市冷水滩区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省永州市冷水滩区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列等式中，属于一元二次方程的是（ ）
A. 2x+1=0B. C. x2-1=0D. y=3x2-1
2.下列图形中是位似图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列三角比值是有理数的是（ ）
A. sin60°B. sin45°C. cs60°D. tan30°
4.已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是（ ）
A. k＜-2024B. k＞-2024C. k＜2024D. k＞2024
5.零陵区某校共有学生4000人，为了解这些学生的视力情况，对其中100名学生进行了抽查，对所得数据进行整理.若数据在4.85～5.15这一组的频率为0.45，则该校学生视力在4.85～5.15的约有（ ）
A. 45人B. 180人C. 1600人D. 1800人
6.日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（ ）
A. 40秒B. 60秒C. 80秒D. 100秒
7.不解方程，判断一元二次方程x2-5x+3=0的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个实数根D. 没有实数根
8.如图，线段AB上的一点P把AB分割为两条线段PA，PB，当满足时，则称点P是线段AB的黄金分割点.主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（BP的长为x米），则x满足的方程是（ ）
A. （18-x）2=18xB. x2=18（18-x）C. x（18-x）=182D. （18-x）2=18x2
9.在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A. y=（x+2）2-1B. y=（x+2）2+1C. y=（x+1）2+2D. y=（x+1）2-2
10.规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（a,b），那么线段OP在平面直角坐标系中的方向值表示为：.若与互相垂直，且，，则x1x2+y1y2=0.现有与互相垂直，且，，则锐角∠α的度数是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.抛物线y=x2+2x-1的开口方向 .
12.在音乐课上某同学发现：音乐也可以有数学问题！如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB=9，则线段BC的长是 .
13.若关于x的方程x2+ax-2=0有一个根是1，则a= ．
14.几年级某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一人参加学校组织的跳绳比赛.经过三轮测试，他们的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，要从中选一名平均成绩好，且发挥稳定的去参加比赛，则派 同学去参赛更合适（填“甲”、“乙”、“丙”）.
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，，则BC的长为 .
16.如图所示，二次函数y1=ax2+bx-3的图象与一次函数y2=-x+m的图象交于A（-1，0），B（2，-3）两点，当y2＞y1时，自变量x的取值范围是 .
17.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO=3，反比例函数的图象经过点B，延长BO，与反比例函数的图象交于点P，则点P的坐标为 .
18.“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰.新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展.某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型.已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件.经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价 元，才能使每日利润最大.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
（1）解方程：x2-7x=0；
（2）计算：tan45°-sin30°cs60°.
20.(本小题6分)
为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分.测试结束后，随机抽取a名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表.
测试成绩频数分布表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数a的值为______，扇形统计图中n的值为______；
（2）该校九年级学生共有3000人，若九年级学生都参加测试，估计得分超过3分的学生人数有多少人？
21.(本小题8分)
如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流I（A）与电阻R（Ω）之间成反比例函数关系，如图2所示.
（1）求I与R之间的函数表达式；
（2）当R＞5时，求对应的I的取值范围.
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是边AB上一点，∠BDC=∠BCA.
（1）求证：△BDC∽△BCA；
（2）若BC=3，AB=6，△BCD的面积为5，求△ABC的面积.
23.(本小题9分)
周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园玩荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线AB上，荡秋千的起始位置为C，最高点为D，点C距离地面为1m,秋千位于C时，安全链AC与铅垂线AB夹角为37°，安全链AC=3m.
（1）求点A到地面的距离AB；
（2）当王明用力将李亮从C处推出后到最高点D处，此时∠CAD=90°，求点D到地面的距离.（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8）
24.(本小题9分)
“绿色电力，与你同行”，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据永州市某品牌新能源汽车经销商2024年4月至6月份统计，该品牌新能源汽车4月份的销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，右销售量的月平均增长率相同.
（1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率；
（2）若该品牌新能源汽车的进价为15万元/辆，售价为17万元/辆，则该经销商4月至6月份共盈利多少万元？
25.(本小题10分)
我们定义：在△ABC内有一点P，连接PA，PB，PC，在所得的△ACP，△ABP，△BCP中，有且只有两个三角形相似，则称点P为△ABC的相似心.
（1）如图1，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，若点P为△ABC的相似心，则下列结论正确的是______.
A.△BAP∽△ACP
B.△BAP∽△BCP
C.△BPC∽△CPA
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是Rt△ABC内一点，且∠APB=∠BPC=135°.
①求证：点P是Rt△ABC的相似心；
②求tan∠PAC的值.
26.(本小题10分)
【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x,y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y-x”称为点A的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”.例如：已知点A（2，4）在函数y=3x-2的图象上，点A的“纵横值”可以表示为y-x=3x-2-x=2x-2=2，当1≤x≤5时，2x-2的最大值为2×5-2=8，因此，函数y=3x-2（1≤x≤5）的“最优纵横值”为8.
【问题】根据定义，解决下列问题：
（1）①点P（3，6）的“纵横值”为______；
②求出函数（5≤x≤9）的“最优纵横值”；
【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线x=2，且“最优纵横值”为3，求b,c的值；
（3）求二次函数y=x2+x-2（t≤x≤t+1）的“最优纵横值”是多少？（用t的代数式表示）
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】向上
12.【答案】3
13.【答案】1
14.【答案】丙
15.【答案】9
16.【答案】-1＜x＜2
17.【答案】（3，-2）
18.【答案】8
19.【答案】x1=0，x2=7；

20.【答案】40，50；
估计得分超过3分的学生人数有1500人
21.【答案】；
0＜I＜44
22.【答案】∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA，
∴△BDC∽△BCA．
△ABC的面积为20
23.【答案】3.4m；
1.6 m
24.【答案】20%；
728万元
25.【答案】A．
①如图2，∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠APB=∠BPC=135°，
∴∠APC=360°-135°-135°=90°，
∴△APB与△APC中的最大角∠APB≠∠APC，△BPC与△APC中的最大角∠BPC≠∠APC，
∴△APB与△APC不相似，△BPC与△APC不相似，
∵∠ABP=45°-∠PBC，∠BCP=180°-∠BPC-∠PBC=45°-∠PBC，
∴∠ABP=∠BCP，
∴△APB∽△BPC，
∴点P是Rt△ABC的相似心．
②tan∠PAC的值为
26.【答案】①3；②81；
b=2，c=；
t2-2或t2+2t-1 成绩/分
4
3
2
1
频数
20
10
m
6