湖南省永州市祁阳市2024-2025学年九年级上学期期末质量检测数学试卷（原卷版+解析版）

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（时量：120分钟 分值：120分）
温馨提示：
1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
3．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明．
亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知（a，b，x，y均不为零），则把它改写成比例式后，正确（ ）
A. B. C. D.
2. 对于反比例函数，下列哪个点在反比例函数图像上（ ）
A. B. C. D.
3. 若一元二次方程的两个根分别为a，b，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
4. 下列图形一定相似是（ ）
A. 两个平行四边形B. 两个矩形
C. 两个等腰三角形D. 两个等边三角形
5. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 永州市农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为，，则（ ）
A. 甲比乙的产量稳定
B. 乙比甲的产量稳定
C. 甲、乙的产量一样稳定
D. 无法确定哪一品种的产量更稳定
7. 关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 比例系数是6B. 随的增大而减小
C. 随的增大而增大D. 图象位于第二、四象限
8. 如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，且，若的面积与的面积比为，则（ ）
A. B. C. D.
9. 如图所示，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分，两点，则矩形的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②；③；④为正三角形，其中正确结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. 若是一元二次方程，则的取值范围_____．
12. 已知，则_____．
13. 据售车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，则可列方程_____．
14. 在中，若，则_____．
15. 若一元二次方程的一个根为2，则的值为_____．
16. 若反比例函数与一次函数的图象有公共点，则的取值范围为_____．
17. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为_____．
18. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形点分别在，上，满足，若，则_____．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19. 计算：．
20 解方程：．
21. 如图，在中，，于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
22. “阅读城市·书香祁阳”，祁阳市举办全民阅读活动．教育部门为了解市民对全民阅读中的余华《活着》、王小波《黄金时代》、路遥《平凡的世界》、迟子建《额尔古纳河右岸》（以下分别用A，B，C，D表示）这四种不同文学作品的喜爱情况，对祁阳市某小区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整），请根据题干信息解答．
（1）将两幅不完整的图补充完整．
（2）若居民区有9000人，请估计喜欢阅读路遥《平凡的世界》的人数．
23. 一次函数图象经过点，且与反比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直线与反比例函数的图象相交，求使成立的的取值范围．
24. 自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
25. 定义：两根都为整数一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是_____；
（2）关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”；
（3）若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
26. 如图，矩形的顶点A，C分别在轴和轴上，点的坐标为，D是边上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接．
（1）如图1，若点是的中点，直接写出点的坐标；
（2）如图2，若直线与轴、轴分别交于点M，N，连接，
①求证：；
②求的值；
（3）如图3，将沿折叠，点关于对称点为点．连接，直接写出的最小值．