2024-2025学年湖南省常德市临澧县九年级（上）期末数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年湖南省常德市临澧县九年级（上）期末数学试卷（含详解），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）一元二次方程x2＝1的解为（ ）
A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1
C．x＝0D．无实数根
2．（3分）如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．135°
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，那么csA的值是（ ）
A．13B．23C．53D．52
4．（3分）某中学随机抽查了20%的九年级学生，调查这些学生的身高，并计算出他们的平均身高为a米，下列估计最合理的是（ ）
A．该校学生的平均身高约为a米
B．该校九年级学生的平均身高约为a米
C．该校九年级女生的平均身高约为a米
D．该校九年级男生的平均身高约为a米
5．（3分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为540m2，求小路的宽，若设小路的宽为x m，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．（20+x）（32+x）＝540
B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．（20﹣x）（32﹣x）＝540
D．32×20﹣32x﹣20x＝540
6．（3分）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某校开展植树造林活动，如图，在坡度i＝1：3的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离AC）为3m，则这两棵树之间的坡面距离AB为（ ）
A．10mB．1mC．310mD．3m
7．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（4，4），C（4，0），经画图操作可知，△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（2，1）B．（2，2）C．（4，4）D．（1，2）
8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
9．（3分）如图，点A为反比例函数y=−1x(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例y=4x(x＞0)的图象交于点B，则AOBO的值为（ ）
A．12B．14C．33D．13
10．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点P为线段AB上的动点，E为AD的中点，射线PE交CD的延长线于点Q，过点E作PQ的垂线交CD于点H，交BC的延长线于点F，则以下结论：①∠AEP＝∠CHF；②△EHQ∽△CHF；③当点P与点B重合时，FQ＝33；④当点F与点C重合时，3PA＝PB．成立的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为I=48R．当R＝12Ω时，I的值为 A．
12．（3分）如图，要使△AFE∽△ABC，需要补充一个条件可以是 ．（只需要填写一个即可）
13．（3分）若a为方程x2+3x﹣4＝0的一个解，则a2+3a﹣8的值为 ．
14．（3分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2米，AE＝0.8米，EC＝2.4米，那么CD为 米．
15．（3分）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只A种候鸟．
16．（3分）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形，球的半径为13cm，瓶内液体的最大深度CD＝8cm，则截面圆中弦AB的长为 cm．
17．（3分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y=−16（x﹣5）2+6，则CD的长为 m．
18．（3分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a，2a）就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”y=14x2+bx+c的图象过点（﹣2，8），且顶点在第一象限，过点M（5，4）、N（﹣1，n）的线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．计算：（﹣1）2025﹣2sin45°+（tan60°﹣1）0．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，连接AC，若∠ACB＝60°，求∠D的度数．
21．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，求△ABC的面积．
22．图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gā），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝8米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，此时水桶在井里时，∠AOD＝120°．
（1）如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
23．如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t s（t＞0）．
（1）填空：BQ＝ cm，PB＝ cm；（用含t的式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）当t为何值时，△PBQ的面积最大？
24．青少年体重指数（BMI）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数BMI计算公式：BMI=Gℎ2(kg/m2)，其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（BMI）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，七年级某数学综合实践小组开展了一次调查．
【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据．
【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）若一位女生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则她的体重指数（BMI）属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”）
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”学生的人数；
（4）根据以上统计数据，针对该校学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．
25．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数y=14x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
（1）①m＝ ，n＝ ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y＝﹣5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为 米；
②求v的值．
26．如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使∠DBC＝∠DAB，过点D作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G．
（1）求证：BC是圆O的切线；
（2）若ADCD=2，BC＝3，求BD的长；
（3）若圆O的半径为1，设PA＝x，GBGA=y，试求y关于x的函数表达式．
2024-2025学年湖南省常德市临澧县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）一元二次方程x2＝1的解为（ ）
A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1
C．x＝0D．无实数根
【解答】解：直接开平方法可得x＝±1，
∴x1＝1，x2＝﹣1．
故选：B．
2．（3分）如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．135°
【解答】解：∵BC=BC，
∴∠A=12∠BOC．
又∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2×45°＝90°．
故选：C．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，那么csA的值是（ ）
A．13B．23C．53D．52
【解答】解：根据题意，得csA=ACAB=23，
故选：B．
4．（3分）某中学随机抽查了20%的九年级学生，调查这些学生的身高，并计算出他们的平均身高为a米，下列估计最合理的是（ ）
A．该校学生的平均身高约为a米
B．该校九年级学生的平均身高约为a米
C．该校九年级女生的平均身高约为a米
D．该校九年级男生的平均身高约为a米
【解答】解：随机抽查了20%的九年级学生，计算出他们的平均身高为a米，
可估计该校九年级学生的平均身高约为a米，
B最合理．
故选：B．
5．（3分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为540m2，求小路的宽，若设小路的宽为x m，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．（20+x）（32+x）＝540
B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．（20﹣x）（32﹣x）＝540
D．32×20﹣32x﹣20x＝540
【解答】解：如图所示，利用平移，原图可转化为：

设小路宽为x米，则有（20﹣x）（32﹣x）＝540，
故选：C．
6．（3分）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某校开展植树造林活动，如图，在坡度i＝1：3的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离AC）为3m，则这两棵树之间的坡面距离AB为（ ）
A．10mB．1mC．310mD．3m
【解答】解：由题意可得：铅直高度为BC=3×13=1m，
斜坡上相邻两树间的坡面距离为AB=AC2+BC2=32+12=10m，
故选：A．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（4，4），C（4，0），经画图操作可知，△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（2，1）B．（2，2）C．（4，4）D．（1，2）
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（4，4），C（4，0），由题意可得：△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴AB与BC的垂直平分线交点即为△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（1，2），
故选：D．
8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【解答】解：选项A：∵顶点坐标为（﹣1，4），∴对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误；
选项B：由对称性可知，（﹣3，0）关于x＝﹣1对称的点为（1，0），故选项B错误；
选项C：开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
选项D：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，将（﹣3，0）代入得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）2+4，令x＝0得y＝3，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确．
故选：D．
9．（3分）如图，点A为反比例函数y=−1x(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例y=4x(x＞0)的图象交于点B，则AOBO的值为（ ）
A．12B．14C．33D．13
【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴S△ACO=12×|−1|=12，S△BDO=12×|4|=2，∠ACO＝∠ODB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△ACOS△BDO=(OAOB)2，即122=(OAOB)2，
∴OAOB=12（负值舍去），
故选：A．
10．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点P为线段AB上的动点，E为AD的中点，射线PE交CD的延长线于点Q，过点E作PQ的垂线交CD于点H，交BC的延长线于点F，则以下结论：①∠AEP＝∠CHF；②△EHQ∽△CHF；③当点P与点B重合时，FQ＝33；④当点F与点C重合时，3PA＝PB．成立的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠DEH+∠DHE＝90°，
∵PQ⊥EF，
∴∠AEP+∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝∠AEP，
∵∠DHE＝∠CHF，
∴∠AEP＝∠CHF，故①正确；
∵∠QEH＝∠HCF＝90°，∠EHQ＝∠CHF，
∴△EHQ∽△CHF，故②正确；
当点P与点B重合时，如图，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
在△PAE和△QDE中，
∠A=∠EDQ=90°AE=ED∠AEP=∠DEQ，
∴△PAE≌△QDE（ASA），
∴DQ＝AB＝2，
∴CQ＝4，
∵∠ABE＝∠DEH，∠A＝∠EDH＝90°，
∴△ABE∽△DEH，
∴DHAE=DEAB，即DH1=12，
∴DH=12，
∴CH=32，
∵∠EDH＝∠FCH＝90°，∠DHE＝∠CHF，
∴△DHE∽△CHF，
∴CFDE=CHDH=3，
∴CF＝3DE＝3，
∴FQ=CQ2+CF2=5，故③错误；
当点F与点C重合时，如图，
同理得△PAE≌△QDE（ASA），
∴PE＝EQ，PA＝DQ，
∵PQ⊥EF，
∴PC＝QC，
设PA＝x，则DQ＝x，
∴PC＝CQ＝2+x，PB＝2﹣x，
在Rt△PBC中，由勾股定理得PC2＝PB2+BC2，
∴（2﹣x）2+22＝（2+x）2，
解得：x=12，
∴PB=2−12=32，
∴3PA＝PB，故④正确；
∴正确的有①②④，
故选：C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为I=48R．当R＝12Ω时，I的值为 4 A．
【解答】解：当R＝12Ω时，I=4812=4（A）．
故答案为：4．
12．（3分）如图，要使△AFE∽△ABC，需要补充一个条件可以是 ∠AEF＝∠ACB（答案不唯一） ．（只需要填写一个即可）
【解答】解：可添加条件：∠AEF＝∠ACB．
证明如下：
∵∠FAE＝∠BAC，∠AEF＝∠ACB，
∴△AFE∽△ABC，
故答案为：∠AEF＝∠ACB（答案不唯一）．
13．（3分）若a为方程x2+3x﹣4＝0的一个解，则a2+3a﹣8的值为 ﹣4 ．
【解答】解：由题意可知：a2+3a﹣4＝0，
∴a2+3a＝4，
则a2+3a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
故答案为：﹣4．
14．（3分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2米，AE＝0.8米，EC＝2.4米，那么CD为 6 米．
【解答】解：由题意知：AB∥CD，
∴∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，
∴2CD=0.82.4，
∴CD＝6米，
经检验，CD＝6是所列方程的解，
故答案为：6．
15．（3分）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 800 只A种候鸟．
【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案为：800．
16．（3分）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形，球的半径为13cm，瓶内液体的最大深度CD＝8cm，则截面圆中弦AB的长为 24 cm．
【解答】解：在Rt△AOC中，OA＝13cm，则OC＝13﹣8＝5cm，
由勾股定理得AC=132−52=12（cm），
∴AB＝2AC＝24cm，
故答案为：24．
17．（3分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y=−16（x﹣5）2+6，则CD的长为 22 m．
【解答】解：当y＝0时，−16（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
18．（3分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a，2a）就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”y=14x2+bx+c的图象过点（﹣2，8），且顶点在第一象限，过点M（5，4）、N（﹣1，n）的线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为 n＞254或n＝4 ．
【解答】解：设“友好二次函数”的解析式为y=14(x−ℎ)2+2ℎ，
由条件可知8=14(−2−ℎ)2+2ℎ，
解得h1＝2，h2＝﹣14，
∵h＞0，
∴h＝2，
∴y=14(x−2)2+4，
∵N（﹣1，n），
∴点N在直线x＝﹣1上运动，
设直线x＝﹣1与“友好二次函数”y=14(x−2)2+4交于点C，
当x＝﹣1时，y=14×(−1−2)2+4=254，
∴C(−1，254)，
∵二次函数y=14(x−2)2+4的顶点为（2，4），
∵M（5，4），
∴当点N的坐标为（﹣1，4）时，此时点N、M与抛物线顶点共线且与二次函数y=14(x−2)2+4的图象只有一个交点，即n＝4；
当点N在点C上方时，线段MN与抛物线有且只有一个交点，即n＞254；
∴当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为n＞254或n＝4．
故答案为：n＞254或n＝4．
三、解答题：本题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．计算：（﹣1）2025﹣2sin45°+（tan60°﹣1）0．
【解答】解：（﹣1）2025﹣2sin45°+（tan60°﹣1）0
=−1−2×22+1
=−1−2+1
=−2．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，连接AC，若∠ACB＝60°，求∠D的度数．
【解答】解：利用等弧对等弦得到AB＝AC可得：
∴AB=AC，
∴AB＝AC，
∵∠ACB＝60°，
∴∠B＝60°，
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝120°．
21．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y=mx的图象上，
∴m＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
∴n=6−3=−2，
∵点A（2，3），B（﹣3，﹣2）在y＝kx+b的图象上，
∴3=2k+b−2=−3k+b
∴k=1b=1
∴一次函数的解析式为y＝x+1．
（2）以BC为底，则BC边上的高为3+2＝5，
S△ABC=12×2×5＝5，
答：△ABC的面积是5．
22．图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gā），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝8米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，此时水桶在井里时，∠AOD＝120°．
（1）如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【解答】解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，
∴∠AGO＝90°，
由题意得：AC∥OD，
∴∠DOG＝∠AGO＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°，
∵O为AB的中点，
∴OA=12AB＝4（米），
在Rt△AOG中，
∴AG=12AO＝2（米），OG=3AG＝23≈3.5（米），
∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为3.5米；
（2）设OG交A1C1于点H，
由题意得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝4米，
∴∠A1＝180°﹣∠A1OD＝180°﹣143°＝37°，
在RtΔOA1H中，A1H＝OA1•cs37°＝4×0.8≈3.2（米），
∵AG＝2米，
∴A1H﹣AG＝3.2﹣2＝1.2（米），
∴点A上升的高度约为1.2米．
23．如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t s（t＞0）．
（1）填空：BQ＝ 2t cm，PB＝ （5﹣t） cm；（用含t的式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）当t为何值时，△PBQ的面积最大？
【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t s，
∴BQ＝2t cm，PB＝（5﹣t）cm．
故答案为：2t，（5﹣t）；
（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理得：4t2+（5﹣t）2＝25，
解得：t1＝0（舍去），t2＝2；
（3）由（1）知BQ＝2t cm，PB＝（5﹣t）cm，
∵6÷2＝3（s），
∴0＜t≤3，
∴△PBQ的面积为：12PB⋅BQ=12×2t×(5−t)=(−t2+5t)=−(t−52)2+254，
∵﹣1＜0，
∴当t=52时，△PBQ的面积最大．
24．青少年体重指数（BMI）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数BMI计算公式：BMI=Gℎ2(kg/m2)，其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（BMI）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，七年级某数学综合实践小组开展了一次调查．
【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据．
【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）若一位女生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则她的体重指数（BMI）属于 B 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”）
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”学生的人数；
（4）根据以上统计数据，针对该校学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．
【解答】解：（1）∵BMI＝51.2÷1.62＝20，15.7＜20≤22.5，
∴她的体重指数（BMI）属于B等级；
故答案为：B；
（2）本次调查的样本容量是：（8+5）÷13%＝100，
B等级的女生人数为：100×71%﹣32＝39（人），
；
（3）2000×4+2100=120 （人）．
答：“肥胖”的学生约为120人；
（4）该校大多数学生体重标准，存在少数同学体重不标准，甚至肥胖，这部分同学应该健康饮食，多锻炼身体．
25．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数y=14x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
（1）①m＝ 3 ，n＝ 6 ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y＝﹣5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为 8 米；
②求v的值．
【解答】解：（1）①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知，
抛物线顶点坐标为（4，8），
−b2a=4−b24a=8，
解得：a=−12b=4，
∴二次函数解析式为y=−12x2+4x，
当y=152时，−12x2+4x=152，
解得：x＝3或x＝5（舍去），
∴m＝3，
当x＝6时，n＝y=−12×62+4×6＝6，
故答案为：3，6．
②联立得：y=−12x2+4xy=14x，
解得：x=0y=0或x=152y=158，
∴点A的坐标是（152，158）．
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8．
②y＝﹣5t2+vt＝﹣5（t−v10）2+v220，
则v220=8，
解得v＝410（负值舍去）．
26．如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使∠DBC＝∠DAB，过点D作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G．
（1）求证：BC是圆O的切线；
（2）若ADCD=2，BC＝3，求BD的长；
（3）若圆O的半径为1，设PA＝x，GBGA=y，试求y关于x的函数表达式．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵∠DBC＝∠DAB，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设CD＝a，
∵ADCD=2，
∴AD＝2a，
∴AC＝3a，
∵∠DBC＝∠DAB，∠BCD＝∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，
∴CDBC=BCAC，即a3=33a，
解得a=3（负值已舍），
∴CD=3，
∵∠CDB＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴BD=BC2−CD2=22−(3)2=1；
（3）解：如图，连接OD，OE，AE，BF，
∵∠PEA＝∠PBF，∠P＝∠P，
∴△PAE∽△PFB，
∴PAPF=PEPB，
∴PE•PF＝PA•PB，
∵DE⊥AB，且AB为⊙O的直径，
∴∠BOE=12∠DOE，
∵∠DFE=12∠DOE，
∴∠BOE＝∠DFE，
∵∠PFG+∠DFE＝180°，∠POE+∠BOE＝180°，
∴∠POE＝∠PFG，
∵∠P＝∠P，
∴△PEO∽△PGF，
∴PEPG=POPF，
∴PE•PF＝PO•PG，
∴PA•PB＝PO•PG，
设AG＝m，则PG＝x+m，
∴x（x+2）＝（x+1）（x+m），
∴m=xx+1，
∴y=GBGA=2−xx+1xx+1=1+2x．
等级
偏瘦（A）
标准（B）
超重（C）
肥胖（D）
男
BMI≤15.7
15.7＜BMI≤22.5
225＜BMI≤25.4
BMI＞25.4
女
BMI≤15.4
15.4＜BMI≤22.2
22.2＜BMI≤24.8
BMI＞24.8
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
72
6
152
8
152
n
72
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
B
C
A
D
D
A
C
等级
偏瘦（A）
标准（B）
超重（C）
肥胖（D）
男
BMI≤15.7
15.7＜BMI≤22.5
225＜BMI≤25.4
BMI＞25.4
女
BMI≤15.4
15.4＜BMI≤22.2
22.2＜BMI≤24.8
BMI＞24.8
x
0
1
2
m
4
5
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y
0
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