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2022-2023学年湖南省常德市澧县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年湖南省常德市澧县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省常德市澧县九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

下列方程是一元二次方程的是( )

A. B.
C. D.

下列函数中，属于反比例函数的是( )

A. B. C. D.

一元二次方程，下列分解正确的是( )

A. B.
C. D.

点、分别在的边、上，可推出的条件是( )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

如图，点在反比函数的图象上，若矩形的面积为，则的值为( )

A.
B.
C.
D.

若点、、都在反比例函数，的图象上，则，，大小关系是( )

A. B. C. D.

孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一百五十寸，同时立一根一十五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为( )

A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸

日历中含有丰富的数学知识，如在图所示的日历中用阴影圈出个数，这个数的大小之间存在着某种规律小慧在年某月的日历中也按图所示方式圈出个数如图，发现这个数中最大的数与最小的数乘积是，则这个数中，中间的数是( )

A. B. C. D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

如图，，，，，则______．

关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为______．
若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为______．
已知反比例函数，如果在每个象限内，随自变量的增大而增大，那么的取值范围为______．
若反比例函数的图象经过点，则此函数的解析式为______．
如图，，请补充一个条件：______ ，使∽．

某商场出售一批商品，在销售中发现日销售量件与销售价元的变化关系如下表，写出与之间的函数关系式______．

售价元
日销售量件

如图，在平面直角坐标系中，点，，，在轴上且，，，按此规律，过点，，，作轴的垂线分别与直线交于点，，，记，，，的面积分别为，，，则______．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

解方程：．

四、解答题（本大题共9小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

本小题分
已知，如图，中，，，为边上一点，求证：∽．

本小题分
如图、在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
画出与关于轴对称的；
以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为：，并写出点的坐标．

本小题分
如图，点是反比例函数图象上的一个动点，过点作轴的平行线交反比例函数图象于点．
若点，求点的坐标；
若点是轴上的任意一点，那么的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由．

本小题分
如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．
求证：∽；
当，时，求的长．

本小题分
已知关于的方程．
求证：无论为何实数，方程总有实数根；
若方程有两实数根分别为和，且，求的值．
本小题分
某广场有一块长为米，宽为米的矩形空地，政府决定利用这块空地上修建一横两纵的小路方便群众通行，其他部分种植花草供群众欣赏休闲，若三条小路的宽度均为米．
若种植花草的价格为元平方米，种植花草的总费用为元，求修建的小路的宽度；
若修建小路的价格为元平方米，求修建小路的总造价．

本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
求一次函数表达式和反比例函数表达式；
直接写出关于的不等式的解集；
求的面积．

本小题分
模具厂计划生产面积为，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数“的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即；由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．
作函数图象；
当反比例函数的图象与直线有唯一交点时，周长的值为______；
交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围；
解决问题：若能生产出面积为的矩形模具，则周长的取值范围为______．

本小题分
【问题背景】如图，，，求证：；
【变式迁移】如图，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接求的值；
【拓展创新】如图，是内一点，，，，，，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.由得：，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．

2.【答案】

【解析】解：、当时，不是反比例函数，
故A选项不符合题意；
B、是反比例函数，，
故B选项符合题意；
C、是一次函数，不是反比例函数，
故C选项不符合题意；
D、的次数是次的，不是反比例函数，
故D选项不符合题意，
故选：．
根据形如为常数，的函数称为反比例函数，即可判断．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：一元二次方程，分解得：．
故选：．
方程左边分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

4.【答案】

【解析】解：当或或时，，
选项中，，，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：设点的坐标为，
则，，
矩形的面积为，
，
故选：．
设点的坐标为，用、表示、的长，根据矩形的面积为，列出算式求出的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．

6.【答案】

【解析】解：在反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，在每个象限内随增大而增大，
，
点在第二象限，点、在第四象限，
，
，，的大小关系为．
故选：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

7.【答案】

【解析】解：设竹竿的长度为寸，
竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸，
，
解得．
答：竹竿长为寸，
故选：．
根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．

8.【答案】

【解析】解：由图可知：，，
依题意得：，
即，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
故选：．
根据日历表中各数之间的关系可找出，，根据这个数中最大的数与最小的数乘积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：，
，即，
．
故答案为．
根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求出．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

10.【答案】

【解析】解：根据题意得，
解得，
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

11.【答案】

【解析】解：对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程必有一根为．
故答案为：．
对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

12.【答案】

【解析】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
根据反比例函数的增减性，可得，解不等式即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：把代入中，得，
解得，
所以反比例函数解析式为．
故答案为：．
把代入中求出即可得到反比例函数解析式，
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．

14.【答案】答案不唯一

【解析】解：当时，
，
，
，
∽，
故答案为：答案不唯一．
利用相似三角形的判定方法两角对应相等两三角形相似两边对应比值相等，且夹角相等两三角形相似，得出答案即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．

15.【答案】

【解析】解：由题意得，日销售量件与销售价元的乘积总为，
即，
变形得，，
故答案为：．
根据表格数据可得日销售量件与销售价元的乘积总为，则可求得此题结果．
此题考查了确定实际问题中函数关系式的能力，关键是能根据实际问题中的信息发现变量间的关系．

16.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
，
，
，
，

，
故答案为：．
根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，再从数字上找规律进行计算即可解答．
本题考查了规律型：点的坐标，含度角的直角三角形，根据已知分别求出，，，的值，然后从数字上找规律是解题的关键．

17.【答案】解：

，．

【解析】本题主要考查用配方法解一元二次方程．
首先进行移项，得到，方程左右两边同时加上，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．

18.【答案】证明：，，，
．
，
∽．

【解析】利用相似三角形的判定解答即可
本题主要考查了相似三角形的判定；熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．

19.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，点的坐标为；

【解析】根据关于轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可；
把、、的坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了轴对称变换．

20.【答案】解：将代入，得，
点的坐标为．
如图，连接，，记与轴的交点为点，
轴，点和点分别在函数和函数图象上，
，，，
，
，
的面积不变，且的面积为．

【解析】将代入，求得点的坐标；
连接，，记与轴的交点为点，由反比例函数系数的几何意义求得和的面积，得到的面积，由轴得到和的面积相等，从而得到的面积不变．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是连接和，得到和的面积相等．

21.【答案】证明：四边形为菱形，
，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
，，
，
．

【解析】根据两角相等可得两三角形相似；
根据中的相似列比例式可得结论．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．

22.【答案】证明：当时，即时，
方程化为，，
解得，
方程有个解；
时，方程，
，
，
方程有实数根，
综上所述，无论为何实数，方程总有实数根；
解：根据根与系数关系有，
，，
，
即，
，
，
．

【解析】分两种情况讨论：时，转化为一元一次方程，然后求证；时，通过判别式，来证明即可；
条件，可化为根据根与系数关系，即可求出的值．
本题考查了根与系数的关系，综合性较强，难度较大．

23.【答案】解：设小路的宽度为米，那么花草的总长度为米，总宽度为米；
根据题意得，
解得，不符合题意，舍去，
答：修建的小路的宽度为米；
米，
元，
答：修建小路的总造价为元．

【解析】设小路的宽度为，根据花草的米种植花草的价格种植花草的总费用即可得出方程，解方程即可；
空地面积花草面积修建小路的价格即可求出修建小路的总造价．
本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键在于找出等量关系列出方程．

24.【答案】解：把代入，得：，
反比例函数的解析式为；
把代入，解得：，
，
把、代入，得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
观察图象，关于的不等式的解集为或；
令，即，
解得：，
，
．

【解析】将点代入反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点坐标，再由、坐标可得直线解析式；
根据图象得出不等式的解集即可；
先求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可．
本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、三角形面积等问题，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．

25.【答案】

【解析】根据题意画出函数图像如下：

把点代入得：
，
解得：，
故答案是：；
由知：个交点时，；
个交点时，；
个交点时，；

联立和并整理得：，
当时，两个函数有交点，
解得：．
故答案是：．
根据题意画出函数图像即可；
把点代入，即可求解；
在直线平移过程中，交点个数有：个、个、个三种情况，联立和并整理得：，即可求解；
联立和并整理得：，当时，两个函数有交点，即可求解．
本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．