广西壮族自治区钦州市浦北县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 （原卷版+解析版）

这是一份广西壮族自治区钦州市浦北县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 （原卷版+解析版），共22页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名，准考证号，座位号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 剪纸窗花不仅是艺术品，更是文化的传承与创新．它们通过谐音、象征等手法，构成富于寓意的艺术画面．下面是某学校部分学生的作品，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列代数式是分式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 如果三角形的两边长分别是和，那么第三边长可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，小亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学全等三角形的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小亮画图的依据是（ ）

A. B. C. D.
6. 若分式有意义，则x满足条件是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C D.
8. 如图，是等边的一条中线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，添加下列条件后，仍不能判断的（ ）
A. B. C. D.
10. 根据分式的基本性质，下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A B.
C. D.
12. 如图，在中，，是角平分线，，，则的面积为（ ）
A. 6B. C. D.
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 多边形的外角和为______．
14. 如图是屋架设计图一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB =12m，∠A =30°，则立柱BC的长度是____m
15. 如图，为了测量池塘两侧 ，间的距离，在点同侧选取点，经测量，然后在的一侧找到一点，使得为的平分线，且，若的长为米，则池塘两侧 ，之间的距离为__________．
16. 已知，则值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
18. （1）先化简，再求值：，其中，；
（2）解方程：．
19. 若a，b是等腰的两边长，且满足关系式．求的周长．
20. 如图，点D在上，，交于点F，，，．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
21. 如图，在中，，，，为的中点．
（1）若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，请求出的最小值．
22. 某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20％，共用28天完成了全部任务．
（1）问原计划每天绿化道路多少米？
（2）已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40％，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？
23. 【问题初探】
（1）如图1，在中，，，点D是上一点，连结，以为一边作，使，，连结，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由；
【类比再探】
（2）如图2，在中，，，点M是上一点，点D是上一点，连结，以为一边作，使，，连结，则______（直接写出答案，不写过程）；
【方法迁移】
（3）如图3，在是等边三角形，点D是上一点，连结，以为一边作等边三角形，连结，则，，之间有怎样的数量关系？答案：____________（直接写出答案，不写过程）；
【拓展创新】
（4）如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连结
，以为一边作等边三角形，连结．猜想的度数，并说明理由．
2024年秋季学期期末学业质量监测
八年级数学
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名，准考证号，座位号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 剪纸窗花不仅是艺术品，更是文化的传承与创新．它们通过谐音、象征等手法，构成富于寓意的艺术画面．下面是某学校部分学生的作品，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、B、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
2. 下列代数式是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义逐项判断即可，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是整式，不符合题意；
、是分式，符合题意；
、是整式，不符合题意；
、是整式，不符合题意；
故选：．
3. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
【详解】解：与点关于x轴对称的点的坐标是，
故选：D．
4. 如果三角形的两边长分别是和，那么第三边长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系，可得第三边的取值范围，从而选出答案.
【详解】∵三角形的两边长分别是和
∴5＜第三边长＜13
又∵5＜8＜13，
∴选C.
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键.
5. 如图，小亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学全等三角形的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小亮画图的依据是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断．
【详解】解：由图可知，右上角和右下角可测量，为已知条件，
两角的夹边也可测量，为已知条件，
故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是，
故选：D．
6. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义时分母不为零是解题的关键．
根据分式有意义分母不为零求解即可．
【详解】解：若分式有意义，则，即，
故选：A．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的运算法则对每项判断即可得到正确选项．
【详解】解：A、和不是同类项不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项正确，符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，是等边一条中线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由是等边的一条中线，可得，，根据可得，最后根据，即可求解．
【详解】解：是等边的一条中线，
，，
，
，
，
，
故选：B．
9. 如图，在中，，添加下列条件后，仍不能判断的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：在中，，
，
在和中，，，
添加后，根据可判定，故A选项不合题意；
添加后，根据可判定，故B选项不合题意；
添加后，根据可判定，故C选项不合题意；
添加后，不能判定，故D选项符合题意；
故选：D．
10. 根据分式的基本性质，下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决此题的关键．根据分式的基本的性质逐一解答即可．
【详解】解：A：分式的分子与分母同时加上减去一个不等于0的数1，分式的值不一定不变，等式不一定成立，不符合题意；
B：分式的分子与分母没有按分式的基本性质进行变形，等式不一定成立，不符合题意；
C：，等式成立，符合题意；
D：当异号时，分式不成立，等式不一定成立，不符合题意；
故选：C ．
11. 如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
12. 如图，在中，，是角平分线，，，则的面积为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点F作于D，根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等得到，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点F作于D，
∵在中，是角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 多边形的外角和为______．
【答案】360
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，根据多边形的外角和定理，多边形的外角和为，解答即可．
【详解】解：多边形的外角和为，
故答案为：．
14. 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB =12m，∠A =30°，则立柱BC的长度是____m
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意，得，根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵立柱BC垂直于横梁AC，
∴
∵AB =12m，∠A =30°，
∴
故答案为：6．
【点睛】本题考查了含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形的性质，从而完成求解．
15. 如图，为了测量池塘两侧 ，间的距离，在点同侧选取点，经测量，然后在的一侧找到一点，使得为的平分线，且，若的长为米，则池塘两侧 ，之间的距离为__________．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够通过已知条件选择合适的判定定理证明三角形全等是解决本题的关键．
先通过角平分线的定义得到一组角相等，再根据全等三角形的判定定理“两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（）”证明两个三角形全等，从而得到，进而求出的长度．
【详解】 为的平分线，
，
在和 中：
，
米，
即池塘两侧 ，之间的距离为米．
故答案为：米．
16. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，完全平方公式的变形，把原式化为是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. （1）先化简，再求值：，其中，；
（2）解方程：．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程和整式的化简求值，熟练掌握运算法则和分式方程的解法是关键．
（1）利用乘法公式计算括号内的部分，再计算多项式除以单项式得到化简结果，再把字母的值代入计算即可；
（2）去分母化为整式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：（1）原式
.
当，时，
原式
；
（2）方程可化为，.
方程两边乘，得.
化简，得
解得.
检验：当时，.
所以，原分式方程的解为.
19. 若a，b是等腰的两边长，且满足关系式．求的周长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方的非负性质，等腰三角形的定义及三角形三边关系；根据关系式得出，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：由，
得．
，．
解得，．
a，b是等腰的两边长，
①若是腰长，根据题意，此三角形三边长为2，2，4．根据三角形的三边关系，不能组成三角形；
②若是腰长，根据题意，此三角形的三边长为2，4，4．根据三角形的三边关系，能组成三角形．
则周长为．
20. 如图，点D在上，，交于点F，，，．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由SAS证，即可解答．
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到，由等腰的性质和三角形内角和定理求得，最后根据邻补角的定义解答．
本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【小问1详解】
，
.
在与中，
【小问2详解】
由（1）知，，
则.
，，
.
.
21. 如图，在中，，，，为的中点．
（1）若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，请求出的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）作点关于的对称点，连接，即可求解；
（2）根据作图可知：，即点为的中点，再结合得垂直平分，所以，由，得，连接，证明是等边三角形，所以得，再根据，即可求解．
【小问1详解】
解：作出点如图所示：
【小问2详解】
解：由作图可知，，即点为的中点，
又，
垂直平分，
，
，，
，
连接，
又点在的垂直平分线上，
，
是等边三角形，
为的中点，
，
，
即的最小值为．
22. 某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20％，共用28天完成了全部任务．
（1）问原计划每天绿化道路多少米？
（2）已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40％，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？
【答案】（1）100米
（2）（元）
【解析】
【分析】（1）设原计划每天绿化道路x米，根据题意列分式方程即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【小问1详解】
解：设原计划每天绿化道路x米，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化道路100米．
小问2详解】
解：（天），（天），
（元）．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23. 【问题初探】
（1）如图1，在中，，，点D是上一点，连结，以为一边作，使，，连结，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由；
【类比再探】
（2）如图2，在中，，，点M是上一点，点D是上一点，连结，以为一边作，使，，连结，则______（直接写出答案，不写过程）；
【方法迁移】
（3）如图3，在是等边三角形，点D是上一点，连结，以为一边作等边三角形，连结，则，，之间有怎样的数量关系？答案：____________（直接写出答案，不写过程）；
【拓展创新】
（4）如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连结
，以为一边作等边三角形，连结．猜想的度数，并说明理由．
【答案】（1），理由见解析（2）（3）（4），理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明，得到；
（2）过点作交于，推出，，证明，得到，根据，即可得解；
（3）证明：，得到，即可得到：；
（4）过点作交于点，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解．
【详解】（1），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图，过点作交于，则：，
在中，，
∴，
∴，
∴，
同（1）可得：，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）；理由如下：
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（4）；理由如下：
过点作交于点，如图，则，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等．