山东省济南市长清区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市长清区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共36页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（ ）
A B.
C. D.
2. 已知为锐角，且，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线对称轴是（ ）
A 直线B. 直线C. 直线D. 直线
4. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
6. 大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm
7. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，设为的边上一点，经过点且恰好与边相切于点．若，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（ ）
A. c≥5B. c≥6C. c＜5或c＞6D. 5＜c＜6
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 抛物线的顶点坐标是______.
12. 一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则可估计红球的个数约为________个．
13. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为______．

14. 如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为______．
15. 如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室内的光线．若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为______．
16. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；③，在以上5个结论中，正确的有______．

三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：2sin30°+3cs60°-4tan45°．
18. 解方程：．
19. 如图，已知ADBECF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8，DE=3，求DF长．
20. 为了传承中国传统文化，某校七年级组织了一次全体学生“汉字听写”大赛，每位学生听写汉字39个，随机抽取了部分学生的听写结果作为样本进行整理，绘制成如图的统计图表：
根据以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的_________，__________，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是____________；
（3）已知该校七年级共有800名学生，如果听写正确的字的个数不少于24个定为合格，请你估计该校本次听写比赛合格的学生人数．
21. 每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节．已知某果园2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等，求脐橙的销量增长率是多少．
22. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：，，，，，）
（1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）；
（2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）．
23. 如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E，连接．

（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．
（1）求k和b的值；
（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；
（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．
25. 综合与探究
如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P为线段上一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S．
①求的面积S的最大值．
②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
26. （1）问题发现：如图（1）．在和中，绕点逆时针旋转．为边的中点，当点与点重合时．与的位置关系为 ，与的数量关系为 ．
（2）问题证明：在绕点逆时针旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2的情形给出证明，若不成立，请说明理山，
（3）拓展应用：在绕点逆时针旋转旋转的过程中，当时，直接写出的长．
九年级上学期期末质量测试
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某几何体从三个方向看到平面图形都相同，这个几何体可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图判断即可；
【详解】的左视图、主视图是三角形，俯视图是圆，故A不符合题意；
的左视图、主视图是长方形，俯视图是三角形，故B不符合题意；
的主视图、左视图、俯视图都是正方形，故C符合题意；
的左视图、主视图是长方形，俯视图是圆，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了几何体三视图的判断，准确分析是解题的关键．
2. 已知为锐角，且，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】∵为锐角，且，
∴．
故选A．
【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【详解】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
4. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再逐个选项判断即可．
【详解】解：将点代入反比例函数解析式，得：，
∴反比例函数解析式为：．
当时，，故A不符合题意，C不符合题意；
当时，，故B不符合题意，D符合题意；
故选：D．
5. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
6. 大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
，解得：x=6，
即蜡烛火焰的高度为6cm，
故答案：A．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
7. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列表法进行计算即可．
【详解】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：
共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题关键．
8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∵次函数的图象经过一、三、四象限，
∴，，
对于二次函数的图象，
∵，开口向上，排除A、B选项；
∵，，
∴对称轴，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．
9. 如图，设为的边上一点，经过点且恰好与边相切于点．若，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角函数，求不规则图形的面积，连接，由切线的性质得到，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出，由锐角的正切求出长，求出的面积，扇形的面积，即可求出阴影部分的面积，利用锐角的正切求出的长是解题的关键．
【详解】解：连接，设与 的交点为，
∵与相切于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积 ，
扇形的面积，
∴阴影部分的面积，
故选：．
10. 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（ ）
A. c≥5B. c≥6C. c＜5或c＞6D. 5＜c＜6
【答案】A
【解析】
【分析】由当＝1，＝3时，y1＝y2可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解析式化为顶点式可得y1＋y2的最小值，进而求解．
【详解】∵当＝1，x2＝3时，．
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝﹣4x＋c＝＋c﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），
∴当y1＝y2＝c﹣4时，y1＋y2取最小值为2c﹣8，
∴2c﹣8≥2，
解得c≥5．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 抛物线的顶点坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据顶点式写出顶点坐标即可．
【详解】抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式求顶点坐标的方法是解答本题的关键．
12. 一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则可估计红球的个数约为________个．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查了根据频率求总数，熟记频率×总数=个数是解题的关键．直接用频率乘以总数即可．
【详解】解：由题意可知红球的个数约为（个），
故答案为：60．
13. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求解．
【详解】解：∵点A、B、C在⊙O上，，
∴．
故答案为：．
14. 如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查网格中的三角形函数，找到角所在的直角三角形是解题的关键．
【详解】解：由图可知：，，，
则，
∴，
故答案为：．
15. 如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室内的光线．若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线和仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度．
【详解】解：，
，
，
，，，
，
，则窗户的高度为，
故答案为：．
16. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；③，在以上5个结论中，正确的有______．

【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】由折叠的性质可得°，由“”可证，可得，由平角的性质可求，故①和②正确；通过证明，可得，可得，故⑤正确；如图1，设．则，通过证明，可得，可求，可得，故③正确；当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是直角三角形，
故①②正确，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，

设．则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴，故③正确，
如图2中，

当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键．
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17 计算：2sin30°+3cs60°-4tan45°．
【答案】﹣1.5
【解析】
【分析】把30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可.
【详解】2sin30°+3cs60°﹣4tan45°
=
=-1.5.
【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式的计算等考点．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握十字相乘法分解因式，是解题的关键．
19. 如图，已知ADBECF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8，DE=3，求DF的长．
【答案】7
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．
【详解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB=6，BC=8，DE=3，
∴，
∴DF=7．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
20. 为了传承中国传统文化，某校七年级组织了一次全体学生“汉字听写”大赛，每位学生听写汉字39个，随机抽取了部分学生的听写结果作为样本进行整理，绘制成如图的统计图表：
根据以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的_________，__________，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是____________；
（3）已知该校七年级共有800名学生，如果听写正确的字的个数不少于24个定为合格，请你估计该校本次听写比赛合格的学生人数．
【答案】（1）30，20；补全图形见解析
（2）
（3）估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．
【解析】
【分析】（1）根据B组人数以及百分比求出总人数，再根据D、E的百分比求出人数即可，再补全图形；
（2）根据圆心角=360°×百分比即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
【小问1详解】
解：总人数=15÷15%=100，
∴m=100×30%=30，n=100×20%=20，
条形统计图如图所示：
故答案为30，20；
【小问2详解】

所以扇形统计图中“C组“所对应的圆心角的度数是360°×25%=90°．
故答案为90°．
【小问3详解】
（人），
答：估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．
【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，从频数分布表与直方图中获取互相关联的信息是解本题的关键．
21. 每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节．已知某果园2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等，求脐橙的销量增长率是多少．
【答案】脐橙的销量增长率是
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设销量增长率为x，根据2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，列出方程，解方程即可．
【详解】解：由题意，设销量增长率为x，
∴．
∴或（不合题意，舍去）．
∴．
答：脐橙的销量增长率为．
22. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：，，，，，）
（1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）；
（2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）．
【答案】（1）水平横管到水平线的距离约为1.6米
（2）水平横管的长度约为0.5米
【解析】
【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，
（1）作于F，在中，即可得；
（2）根据矩形判定和性质求出，再在Rt中，根据在中，求出，可求出AD的长度，在Rt中，根据可求出的长度，从而可求出与的长度差．
【小问1详解】
解：过作于，
在中，，
米，，
米．
答：水平横管到水平线的距离约为1.6米；
【小问2详解】
，
四边形为矩形，
，米，
米，
米，
在中，，
米，
又在中，，
米，，
米．
米．
米，
答：水平横管的长度约为0.5米．
23. 如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E，连接．

（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，从而可得，再根据等腰三角形的性质和平行线的性质，即可证得答案；
（2）连接，先证明，则，根据三角函数的定义，可求得的长，最后根据勾股定理可求得的长，从而得到答案．
【小问1详解】
连接，
直线是的切线，切点为C，
，
又，
，
，
，
，
，
平分；
【小问2详解】
连接，
是的直径，
，
又，
由（1）得，
，
在中，，
，
在中，，
．

24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．
（1）求k和b的值；
（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；
（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．
【答案】（1）k＝9，b＝3；（2）m＝﹣2；（3）（0，﹣）或（0，）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法将点P（2，）分别代入直线l和双曲线H的解析式中，即可求出k和b的值；
（2）由题意可得E（m，m+3），D（m，），可得ED＝m+3﹣，利用ED＝BO，建立方程求解即可；
（3）过点E作EF⊥y轴于点F，运用勾股定理求出BE＝|m|，由于四边形BCDE是菱形，可得BE＝DE＝BC，建立方程求解即可．
【详解】解：（1）把点P（2，）代入y＝，得：＝，
解得：k＝9；
把点P（2，）代入y＝x+b，得：+b＝，
解得：b＝3；
（2）在直线y＝x+3中，令x＝0，得：y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
令y＝0，得：x+3＝0，
解得：x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∵直线x＝m分别与直线y＝x+3和双曲线y＝交于点E、D．
∴E（m，m+3），D（m，），
∵点E在线段AB上，
∴﹣4≤m≤0，
∴ED＝m+3﹣，
∵ED＝BO，
∴m+3﹣＝3，
解得：m1＝﹣2，m2＝2，
经检验，m1＝﹣2，m2＝2都是原方程的解，但﹣4≤m≤0，
∴m＝﹣2；
（3）如图，过点E作EF⊥y轴于点F，
∵B（0，3），E（m，m+3），D（m，），
∴F（0，m+3），
∴BE2＝BF2+EF2＝[3﹣（m+3）]2+m2＝m2，
∴BE＝|m|，
又有DE＝|m+3﹣|，
∵四边形BCDE是菱形，
∴BE＝DE＝BC，
∴|m|＝|m+3﹣|，
解得：m1＝﹣3，m2＝，
当m1＝﹣3时，D（﹣3，﹣3），E（﹣3，），
∴DE＝﹣（﹣3）＝，
∴BC＝，
∴C（0，﹣）；
当m2＝时，D（，6），E（，），
∴DE＝6﹣＝，
∴BC＝，
∴C（0，）；
综上所述，点C的坐标为（0，﹣）或（0，）．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合题，待定系数法，勾股定理，菱形性质等，熟练掌握反比例函数图像和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键．
25. 综合与探究
如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S．
①求的面积S的最大值．
②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①5；②存在，点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，由题意得，运用二次函数的性质可求得答案；
②由于，不可能为直角，故分两种情况：当时，当时，分别求出点P的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：①∵，
∴抛物线的顶点为
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线解析式为
由题意得，，其中，
∴，，
∵，
∴当时，S取得最大值为5；
②存在，理由如下：
∵，
∴，不可能为直角；
当时，则，
∴轴，
∴
解得：，
∴点P的坐标为；
当时，过点P作轴于K，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴
综上所述，当为直角三角形时，点P的坐标为或
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，直角三角形性质，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质等；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题关键．
26. （1）问题发现：如图（1）．在和中，绕点逆时针旋转．为边的中点，当点与点重合时．与的位置关系为 ，与的数量关系为 ．
（2）问题证明：在绕点逆时针旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2的情形给出证明，若不成立，请说明理山，
（3）拓展应用：在绕点逆时针旋转旋转的过程中，当时，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）如图1，延长BH交AC于点G，根据直角三角形斜边上的中线的性质及已知条件可得∠BDC=∠ABG=60°，进而得到∠A+∠ABG=90°，即可得到BH⊥AE，根据锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质即可得到；
（2）延长至点，使，根据“SAS”证明△DBE≌△PBE，得到，进而证明，根据30°直角三角形的性质，从而得到，再证明，得到，根据中位线定理得到，即可得到，；
（3）分两种情况讨论，①①如图3-1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于点F，根据边角关系以及勾股定理求出AE2，再根据，即可解答；②如图3-2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF，EF的长度，求出求出AE2，再根据，即可解答．
【详解】解：（1）如图1，延长BH交AC于点G，
∵点H是Rt△BDC中CD的中点，
∴BH=DH，
∵，
∴∠BDC=∠ABG=60°，
∴∠A+∠ABG=90°，
∴∠AGB=90°，即BH⊥AE，
∵在Rt△ABC中，BC=3，∠A=30°，
∴AE=2BC=6，
在Rt△BDE中，∠DEB=30°，
∴CD=，
∵点H为CD的中点，
∴BH=，
∴，
∴
故答案为：
（2）成立
证明如下：延长至点，使，
连接分别交于点，如图2所示.
在△DBE与△PBE中，
,
又，
在中，，
,
,
,
为的中点，
为中点，
,
,
，
.
又,
.
∴（1）中的结论仍然成立，
（3）①如图3-1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于点F，
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠BFD=90°，
由题意可知，BC=BE=3，AB=3，BD=，DE=2，
∴BF=，
EF=，
∴AF=3+，
∴AE2=，
∵，
∴，
∴，
②如图3-2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF=，EF= ，
∴AE2=，
∴
综上所述，BH2为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．组别
正确字数x
人数
A
10
B
15
C
25
D
m
E
n
组别
正确字数x
人数
A
10
B
15
C
25
D
m
E
n