山东省济南市历下区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市历下区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共37页。试卷主要包含了选择题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟 满分150分
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列几何体中，左视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四个点，在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
4. 如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（ ）

A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
5. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（ ）
A. 10米B. 12米C. 15米D. 20米
6. 如图，与相交于点O，添加一个条件，不能判断的是（ ）
A B. C. D.
7. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象位于第二、四象限B. 当时，y随x的增大而减小
C. 当时，D. 图象与坐标轴有交点
8. 已知二次函数，其中，则它图象可能是（ ）
A. B.
C D.
9. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某数学兴趣小组用无人机测量超然楼的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得超然楼顶端A的俯角为37°，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行到达Q点，测得超然楼顶端A的俯角为45°，则超然楼的高度约为（ ）
（参考数据：，，）
A. B. C. D.
10. 已知二次函数，其中．若当时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
11. 抛物线的顶点坐标是___________．
12. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为______．
13. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是______°．
14. 如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点.，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则______．
15. 如图，在网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，D，E均在格点上，且E在上．交于点C，则的长为______．

16. 如图，在菱形中，.上有一点E，连接，将沿翻折使点A的对应点落在上，连接，.若，则______．

三、解答题（本大题共10个小题，共86分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 计算：．
18. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积V（单位：）的反比例函数，如图所示．

（1）写出这一函数的表达式．
（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应不小于多少?
19. 如图，在中，D，E分别是，上的点，，，，，求的长．
20. 某校举行了第二届信息技术应用大赛，将该校九年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成不完整的统计表和扇形统计图．
竞赛成绩不完整统计表
竞赛成绩扇形统计图
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中______；统计图中______，B组圆心角是______度．
（2）D组的3名学生中，有2名男生和1名女生，从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请用画树状图或列表的方法求“至少1名女生被抽取参加5G体验活动”的概率．
21. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图2，小丽坐在秋千的最低点F处，O，F，A共线.妈妈先将小丽拉到B处，然后用力一推，爸爸在C处接住她.若秋千的长度为3米，，．（参考数据：，，，）
（1）求B处到距离的长度；
（2）若秋千最低点F到地面的距离为0.3米，则C处距地面的高度为多少?
22. 如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C．连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23. 喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图2，将喷灌架置于坡度为的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．

（1）求图2中抛物线表达式；
（2）当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度的长；
（3）若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米，求水流与喷水头的水平距离．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，B点坐标为，反比例函数与交于点D，与交于点E，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，连接，，求证：；
（3）如图3，点P在x轴上，连接，以点D为旋转中心将线段逆时针旋转90°得，若点恰好落在反比例函数上，求点P的坐标．
25. （1）已知为等边三角形，点是线段上的动点，连接．
①如图，，，连接，延长交于点E.则和的数量关系是______，和所夹的钝角______；
②如图，点是上任意一点，点在点的左侧，作，，连接，当点运动到的中点时，求的值和的度数；
（2）如图，已知为等腰直角三角形，，，点，分别是线段，的中点，连接，点是线段上任意一点，点在点的左侧，作，，连接，，当取最小值时，直接写出的长．

26. 抛物线与y轴交于点A，顶点为D．

（1）若抛物线过点，求抛物线顶点D和点A坐标；
（2）如图，在（1）的条件下，连接，点N为线段下方抛物线上一点，求面积的最大值；
（3）已知点，，若线段与抛物线恰有一个交点，求m的取值范围．
四、附加题（本大题共2个小题，每小题20分，共40分）
27. 当整数k为何值时，关于x的一元二次方程的两个根均为整数．
28. 已知，，求．
2023~2024学年第一学期九年级期末教学质量检测
数学试题
考试时间120分钟 满分150分
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列几何体中，左视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
【详解】解：A． 长方体的左视图是长方形，不符合题意；
B． 该圆柱体的左视图是长方形，不符合题意；
C．圆锥的左视图是三角形，符合题意；
D．该三棱柱的左视图为矩形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2. 下列四个点，在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，根据反比例函数的解析式可知，四个选项中，横、纵坐标乘积为6的即为正确答案．
【详解】解：A，，不在的图象上，不合题意；
B，，不在的图象上，不合题意；
C，，在的图象上，符合题意；
D，，不在的图象上，不合题意；
故选C．
3. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【详解】解：∵的半径为5，点P在内，
∴．
故选：D．
4. 如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（ ）

A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟知圆周角定理是解题的关键．
由圆周角定理即可得，再根据三角形内角和、等腰三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵,
∴，
∵，
∴．
故选D．
5. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（ ）
A. 10米B. 12米C. 15米D. 20米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可．
【详解】解：∵同一时刻物体与影长成比例，
∴，即：，
解得：；
故选B．
6. 如图，与相交于点O，添加一个条件，不能判断是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
根据相似三角形的判定定理逐项判断即可解得．
【详解】解：在和中，，
A、∵，∴，故A不符合题意；
B、，∴，故B不符合题意；
C、∵∴，故C不符合题意；
D、，不能判定，故D符合题意．
故选：D．
7. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象位于第二、四象限B. 当时，y随x的增大而减小
C. 当时，D. 图象与坐标轴有交点
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质，对各个选项逐一分析判断对错，即得．
本题主要考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解决问题的关键．
【详解】∵反比例函数的图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，
∴故A选项错误，D选项错误；
∵当时，y随x增大而减小，
∴故B选项正确；
∵当时，，，
∴故C选项错误．
故选：B．
8. 已知二次函数，其中，则它的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，可知、异号，分情况讨论，当时，，抛物线开口向下，对称轴轴右侧，当时，，抛物线开口向上，对称轴轴左侧，本题考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质．
【详解】，
、异号，
当时，，与轴交点在正半轴，抛物线开口向下，对称轴，在轴右侧，
当时，，与轴交点在负半轴，抛物线开口向上，对称轴，在轴左侧，
综上所述，只有选项符合题意，
故选：．
9. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某数学兴趣小组用无人机测量超然楼的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得超然楼顶端A的俯角为37°，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行到达Q点，测得超然楼顶端A的俯角为45°，则超然楼的高度约为（ ）
（参考数据：，，）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出，得出，即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点C，如图所示：
则，
由题意得，，，
∵在中，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
∴．
故选：C．
10. 已知二次函数，其中．若当时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
由，可知函数的最小值为，当时，最大值为1，对应的y的整数值有6个，则，解得即可．
【详解】
，
，
抛物线的顶点坐标为，
当或时，，
当时，y有最小值为，
∵m>0，
∴当时，的最大值为1，
，当时，对应的y的整数值有6个，
这6个整数值为：1、0、、、、，
解得：
故选：D
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
11. 抛物线的顶点坐标是___________．
【答案】（1，5）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，5），
故答案为（1，5）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握根据顶点式得出顶点坐标：顶点式y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k）．
12. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
13. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是______°．
【答案】140
【解析】
【分析】由圆周角定理可得，是的一半，由圆内接四边形对角互补，即可求出的度数，本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是：熟练掌握圆周角定理，和圆内接四边形的性质．
【详解】，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点.，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数上的点向轴和轴引垂线形成的矩形的面积等于反比例函数的值是解题的关键．
由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值．
【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限，
∴，，
∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：．
15. 如图，在网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，D，E均在格点上，且E在上．交于点C，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查弧长公式，勾股定理，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
如图，设圆心为O，连接．证明，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，设圆心为O，连接．

∵，
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：．
16. 如图，在菱形中，.上有一点E，连接，将沿翻折使点A的对应点落在上，连接，.若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，延长、交于点， 作交于点，由菱形性质得，，，则，再证明，即可得出答案，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
【详解】解：延长、交于点， 作交于点，

∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
由翻折得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴,
∵,，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
解得 ，
，
∵，
∴
∴，
解得，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的计算和幂的运算，熟练掌握常用特殊锐角三角函数的值，以及幂的运算法则，即可解题．
【详解】解：，
．
18. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积V（单位：）的反比例函数，如图所示．

（1）写出这一函数的表达式．
（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应不小于多少?
【答案】（1）
（2）气球的体积至少为．
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像的性质等知识点，反比函数的图像和性质是握掌解题的关键．
（1）设，将点代入，求得k即可解答；
（2）当时，代入解析式即可求解．
小问1详解】
解：设，
将点代入可得；，解得：，
∴这个函数的解析式为．
【小问2详解】
解：当时，有，解得：，
所以为了安全起见，气体的体积应不少于．
19. 如图，在中，D，E分别是，上的点，，，，，求的长．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得是解题的关键．
先线段的和差可得，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵,
∴，解得：．
20. 某校举行了第二届信息技术应用大赛，将该校九年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成不完整的统计表和扇形统计图．
竞赛成绩不完整统计表
竞赛成绩扇形统计图
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中______；统计图中______，B组的圆心角是______度．
（2）D组的3名学生中，有2名男生和1名女生，从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请用画树状图或列表的方法求“至少1名女生被抽取参加5G体验活动”的概率．
【答案】（1）20，34，144；
（2）
【解析】
【分析】本题是统计表与统计图的综合，考查了频数分布表与扇形统计图相关的内容，用树状图或列表法求概率．
（1）由A组成绩人数及占比可求得总人数，用总人数减去其它组别的人数即可求得B组成绩的人数m，从而可求得n及B组的圆心角的度数；
（2）将2名男生分别记作“男1，男2”，列出表格，可求得总的结果数及至少一名女生被抽中参加体验活动的结果数，由概率计算公式即可求得．
【小问1详解】
解：参加竞赛的总人数为：（名），
则B组成绩的人数（名），
，则，
B组的圆心角为；
故答案为：20，34，144；
【小问2详解】
解：将2名男生分别记作“男1，男2”，列表如下：
总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，
其中“至少一名女生被抽中参加体验活动”的有4种，
∴P(至少一名女生被抽中参加体验活动)．
21. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图2，小丽坐在秋千的最低点F处，O，F，A共线.妈妈先将小丽拉到B处，然后用力一推，爸爸在C处接住她.若秋千的长度为3米，，．（参考数据：，，，）
（1）求B处到的距离的长度；
（2）若秋千最低点F到地面的距离为0.3米，则C处距地面的高度为多少?
【答案】（1）1.26m
（2）1.59m
【解析】
【分析】（1）在中，利用余弦函数的定义即可求解；
（2）过C作，垂足为M ，在中，先求出，从而得的长，过C作于点N，得四边形为矩形，进而即可求解
【小问1详解】
解：在中，
∴，
答：的长度是是1.26m
【小问2详解】
由题，
过C作，垂足为M
在中，
∴.
∴
∵过C作于点N
∵平行线间的距离处处相等或四边形为矩形
∴C到地面的高度=
答：C到地面的高度为1.59m
22. 如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C．连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的判定等知识．
（1）连接，由是直径，与相切于C，得，，从而得出，即，即可证明结论；
（2）由题意易证，得，得到，根据，从而求出的长．
【小问1详解】
证明：连接，
∵与相切于C，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：在与中，
，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
．
23. 喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图2，将喷灌架置于坡度为的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．

（1）求图2中抛物线表达式；
（2）当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度的长；
（3）若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米，求水流与喷水头的水平距离．
【答案】（1）或
（2）高度的长为5米
（3）5米或25米
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的生活应用，待定系数法求解析式，坡度比的应用．
（1）根据定义，得到抛物线的顶点坐标为，且过点0,1，设抛物线的解析式为，代入已知点，确定a值即可．
（2）设铅直高度与水平面的交点为M，根据坡比为，得，，求，继而计算即可．
（3）设喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米,且与水平面的交点为G，
设，则，根据坡比为，得，求，继而得到，根据点P在抛物线上，列式计算即可．
【小问1详解】
∵ 抛物线的顶点坐标为，且过点0,1，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为或．
小问2详解】
设铅直高度与水平面的交点为N，
根据坡比为，得，，
解得，

(米)．
答：铅直高度为5米．
【小问3详解】
设点P为抛物线上的一点，且喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米且与水平面的交点为G，
设，则，
∵坡比为，
∴，
解得，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴，

整理，得，
解得，
答：水流与喷水头的水平距离为5米或25米．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，B点坐标为，反比例函数与交于点D，与交于点E，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，连接，，求证：；
（3）如图3，点P在x轴上，连接，以点D为旋转中心将线段逆时针旋转90°得，若点恰好落在反比例函数上，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由点B的坐标及，可求得点D的坐标，再代入中，即可求得结果；
（2）先求出点E的坐标，则可计算出，，再由，即可得，利用对应角相等即可证明平行；
（3）过P作于M，过作于N，易得，则有且；设，则可表示出的坐标，由此点在反比例函数图象上即可求得点坐标．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
将代入，得，
解得，
∴；
【小问2详解】
证明：将代入，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵旋转，
∴，，
∴；
过P作于M，过作于N，如图，
则，
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴，
，
∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入，得，
∴
【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了求函数解析式，反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用这些知识是关键．
25. （1）已知为等边三角形，点是线段上的动点，连接．
①如图，，，连接，延长交于点E.则和的数量关系是______，和所夹的钝角______；
②如图，点是上任意一点，点在点的左侧，作，，连接，当点运动到的中点时，求的值和的度数；
（2）如图，已知为等腰直角三角形，，，点，分别是线段，的中点，连接，点是线段上任意一点，点在点的左侧，作，，连接，，当取最小值时，直接写出的长．

【答案】（）；；（），；（）．
【解析】
【分析】（）由为等边三角形，得，，证明，然后根据全等三角形的性质即可；
由等边三角形的性质可以得出，，，从而证明，再根据相似三角形的性质即可；
（）当时，最小，设与的交点为，证明和，再根据相似三角形的性质即可．
【详解】（）∵为等边三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为:， ；
（）∵为等边三角形，
∴，，
∵为的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（），

由（）得，点在过点且与垂直的直线上运动，
∴当时，最小，
设与的交点为，
此时，
∴，
又∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，垂线段最短等知识，熟练掌握正以上知识点的应用是解题的关键．
26. 抛物线与y轴交于点A，顶点为D．

（1）若抛物线过点，求抛物线顶点D和点A坐标；
（2）如图，在（1）的条件下，连接，点N为线段下方抛物线上一点，求面积的最大值；
（3）已知点，，若线段与抛物线恰有一个交点，求m的取值范围．
【答案】（1）顶点，
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合、二次函数与不等式的综合等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．
（1）将代入求得，进而求得抛物线解析式；然后求得抛物线的对称轴即可求的顶点坐标；再将代入得解析式可得，即可确定A的坐标；
（2）先用待定系数法求得直线的解析式，进而可得；设==t，M（,），N（,）,则，然后求得的最值即可；
（3）由则抛物线恒过且；再说明恒在二次函数上方，在直线上；进而说明P在E点和C点的左侧，或在C点和E点的右侧（可以和E点或C点重合），则有或,最后解不等式组即可解答．
【小问1详解】
解：∵将代入，得 ，解得；
∴，
∴，代入得：，
∴顶点，
∵将代入得：，
∴A0,-1．
【小问2详解】
解：设直线为，
将，A0,-1代入可得： ，解得：，
∴直线为，
∵过点N为轴，交直线于M，
∴，
∵设==t，M（,），N（,）,
∴=，
∵，开口向下，有最大值，
∴当时，有最大值，
∴此时有最大值， ．
【小问3详解】
解：∵，
∴抛物线恒过且，
∴恒在二次函数上方，在直线上，
∵点C关于对称轴的对称点为，
又∵线段与抛物线恰有一个交点,
∴P在E点和C点的左侧，或在C点和E点的右侧（可以和E点或C点重合）,
∴或,
∴或．

四、附加题（本大题共2个小题，每小题20分，共40分）
27. 当整数k为何值时，关于x的一元二次方程的两个根均为整数．
【答案】或
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，解二元一次方程组，熟练掌握各知识点是解本题的关键．根据一元二次方程的两根均为整数，得到根的判别式为完全平方式，设（m为整数），利用平方差公式分解因式得出关于k，m的方程组求解．
【详解】解：
，
方程有两个整数根，
为完全平方数，
不妨设（m为整数），
，
，
∴，
∴与同奇偶，
或，
或，
方程的两个根均为整数．
28. 已知，，求．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．
设，，等量代换后可得、， 则为的根，可解得，然后再对变形后将代入计算即可．
【详解】解：设，，
，，
为的根，
，
∴
．组别
成绩分
人数
A
10
B
m
C
17
D
3
组别
成绩分
人数
A
10
B
m
C
17
D
3
男1
男2
女
男1
（男1，男2）
（男1，女）
男2
（男2，男1）
（男2，女）
女
（女，男1）
（女，男2）