山东省济南市济阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市济阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共34页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程的根的情况是（ ）
A. 有一个实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 无实数根
3. 如果，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A. B. C. 3D.
5. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
6 如图，正五边形内接于，连接，则（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，将一个可自由转动的转盘平均分成4份，分别标上“最”“美”“咸”“阳”四个字，随意转动转盘一次，待转盘停止转动后，记录下指针所指区域的汉字（若指针指在分割线上，则重新转动转盘），通过转动两次转盘后，指针所指区域的汉字可以组成词语“咸阳”的概率为（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，每个小正方形的边长均为1，苦点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
9. 如图，点在的边BC上，点是的中点，连接、，若，，，，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. 5D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，，连接，则的最小值是（ ）
A 6B. 8C. D.
二、填空（每小题4分，共24分）
11. 如图，在中，，，，则等于________．
12. 投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是________
13. 若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角________度．
14. 如图，、是的半径，A是上一点，若，，则________度

15. 如图，在中，点是边上一点，连接．已知，，，，那么线段的长度是________．

16. 如图，A、B两点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，交OB于点D．若，的面积为1，则k的值为____________．
三、解答题：（共78分）
17. 计算：．
18 用配方法解方程：
19. 如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．
20. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

（1）当悬臂与桌面平行时，=___________°
（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？
（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
21. 小颖设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘A、，A转盘被分成了面积的两个扇形，转盘被分成了面积相等的三个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了（红色与蓝色能配成紫色）．
（1）转动转盘一次，指针指向红色的概率是______；
（2）请利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率是多少？
22. 如图在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，交于．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
23. 2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》称为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为．
（1）当围成的矩形养殖园面积为时，求的长；
（2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
24. 如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．

（1）小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为．
请你图②中补全平面直角坐标系并画出图形；
（2）求直线，曲线的函数表达式；
（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________．
25. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长．
26. 如图①，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，于点D，轴于点F，交线段于点E，
（1）求抛物线的解析式；
（2）当的周长最大时，求P点的坐标；
（3）如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点M的坐标．
九年级数学试题
一、选择题：（每小题4分，共40分．）
1. 如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得上面第一层右边有1个正方形，第二层有两个正方形，如图所示：
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2. 方程的根的情况是（ ）
A. 有一个实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
3. 如果，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合比性质求解即可.
【详解】解：由，
，
故选：
【点睛】考查了比例的性质，熟记合比性质即可解题．
4. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接将点代入反比例函数中，即可求解．
【详解】解：将点代入反比例函数，
得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，准确计算是解题的关键．
5. 抛物线顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
抛物线的顶点坐标是．
故选：D．
6. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．
【详解】∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了正五边形外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．
7. 如图，将一个可自由转动的转盘平均分成4份，分别标上“最”“美”“咸”“阳”四个字，随意转动转盘一次，待转盘停止转动后，记录下指针所指区域的汉字（若指针指在分割线上，则重新转动转盘），通过转动两次转盘后，指针所指区域的汉字可以组成词语“咸阳”的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设分别用A、B、C、D表示“最”“美”“咸”“阳”四个字，列表如下：
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中指针所指区域的汉字可以组成词语“咸阳”的结果数有2种，即抽到（C，D），（D，C），
∴通过转动两次转盘后，指针所指区域的汉字可以组成词语“咸阳”的概率为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了用树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
8. 如图，每个小正方形的边长均为1，苦点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数．
由勾股定理可求得，，的长，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据正切的定义即可解答．
【详解】∵，
，
，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故选：D
9. 如图，点在的边BC上，点是的中点，连接、，若，，，，则的长为（ ）

A 3B. 4C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可得是直角三角形，根据得，在中，根据勾股定理进行计算即可得．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
在中，，，根据勾股定理得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，，连接，则的最小值是（ ）
A. 6B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，过点P作垂足为H，过点Q作垂足为，先求出A，C，B的坐标，得到为等腰直角三角形，求出，得到，利用垂线段最短可知，的最小值为，进而得出结果．
【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为H，过点Q作，垂足为，
令，即，
解得：或，
，，
当时，，
，，
，
，
.，
即，
根据垂线段最短可知，的最小值为的长度，
，
，
，
即的最小值为6．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数中的线段最值问题，等腰直角三角形的判定与性质，特殊三角函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键得到的最小值为的长度．
二、填空（每小题4分，共24分）
11. 如图，在中，，，，则等于________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义．先利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解．
【详解】解：，，，
，
．
故答案为：．
12. 投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是________
【答案】
【解析】
【分析】画树状图可得共有4种等可能的结果，其中两枚硬币恰好是一正一反有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两枚硬币恰好是一正一反有2种等可能的结果，
∴两枚硬币恰好是一正一反的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法或树状图求概率、概率公式，熟练掌握列表法或树状图求概率的方法找出所有等可能的结果是解题的关键．
13. 若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角________度．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，特殊角的三角函数值．先利用根的判别式的意义得到，则可得到，然后根据特殊角的三角函数值确定锐角的度数．
【详解】解：∵二次函数与轴只有1个公共点，
∴，
解得，
∴锐角．
故答案为：60．
14. 如图，、是的半径，A是上一点，若，，则________度

【答案】.##100度
【解析】
【分析】连接，利用等腰三角形的性质易得，，则可得，再利用同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半即可得出答案.
【详解】解：连接，

，，
,
.
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
15. 如图，在中，点是边上一点，连接．已知，，，，那么线段的长度是________．

【答案】
【解析】
【分析】证明，根据相似比即可求解；
【详解】，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形相似．
16. 如图，A、B两点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，交OB于点D．若，的面积为1，则k的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】作轴于E，证明，可得，设，可得，求出，然后根据的面积为1列式即可求出k的值．
【详解】解：作轴于E，
∵轴于点C，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，根据的面积为1列出关系式是解题的关键．
三、解答题：（共78分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值．先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
18. 用配方法解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
【详解】解：由原方程移项，得
，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
开方，得
，
解得，．
19. 如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形性质等知识，由菱形性质结合条件，利用全等三角形的判定与性质即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】证明：在四边形是菱形，，
，
，
在和中，
，
∴．
20. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

（1）当悬臂与桌面平行时，=___________°
（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？
（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解；
（2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解；
（3）过作，，在中解出即可求解．
【小问1详解】
解：如图：当悬臂与桌面平行时，作

，悬臂也与桌面平行
∴
故答案为：
【小问2详解】
解：过作与交于，过作与交于

∴四边形为矩形
∴，
∵
∴
在中
∵
∴
∴
【小问3详解】
解：过作，，

∴
在中
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键．
21. 小颖设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘A、，A转盘被分成了面积的两个扇形，转盘被分成了面积相等的三个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了（红色与蓝色能配成紫色）．
（1）转动转盘一次，指针指向红色的概率是______；
（2）请利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率是多少？
【答案】（1）
（2）游戏者获胜的概率是
【解析】
【分析】（1）根据几何概率的意义求解即可；
（2）用列表法同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率．
【小问1详解】
解：∵转盘被分成了面积相等的三个扇形，且红色区域占一个扇形，
∴红色区域占整体的，
∴转动A转盘一次，指针指向红色的概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：用列表法表示同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况如下：
∵共有9种等可能出现的结果，其中“能配成紫色”的有5种，
∴“能配成紫色”的概率为，
答：游戏者获胜的概率是．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
22. 如图在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，交于．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）的半径为4．
【解析】
【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．
（1）连结、，首先证得，结合是的切线，，，得到；
（2）设的半径为，则，，，连接，由，得列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
解析：连结、，如图，
为的直径，
，即，
，
，
而，
为 的中位线，
∴，
是的切线；
∵，
；
【小问2详解】
解：设的半径为，
∵，
，
，
，
或舍弃）．
的半径为4．
23. 2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》称为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为．
（1）当围成的矩形养殖园面积为时，求的长；
（2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）的长为10m；
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式．
（1）设的长为，根据篱笆的总长及的长，可得出的长，利用矩形的面积公式，可列出关于的一元二次方程，解之即可求出结论；
（2）假设养殖园的面积能达到，设的长为，则的长为，利用矩形的面积公式，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即养殖园的面积不能达到．
【小问1详解】
解：设的长为，则矩形的宽，
由题意得：，
解得．，
墙的最大可用长度为15米，
，
，
即的长为；
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
设AB的长为，则矩形的宽，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴此时养殖园的面积不能达到．
24. 如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．

（1）小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为．
请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形；
（2）求直线，曲线的函数表达式；
（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________．
【答案】（1）见解析 （2）直线的函数表达式，曲线的函数表达式
（3）
【解析】
【分析】（1）根据A的坐标为，点B的坐标为补全平面直角坐标系，根据，， ，点C到，所在直线的距离分别为2，4，，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分画图；
（2）设线段的解析式为，把，代入，得到k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，即得线段的解析式；再设曲线的解析式为，把代入，得到方程，解方程得到的值，即得曲线的解析式；
（3）设，根据轴，，点P在上，点Q在上，用m的表达式写出点P、Q的坐标，得到线段、的长的表达式，根据建立方程，解方程得到m的值，即可求出的长．
【小问1详解】
根据点A的坐标为，点B的坐标为，补全x轴和y轴，
∵，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4，
∴，，
根据，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分，画出图形ABCDE，如图所示，
【小问2详解】
设线段的解析式为，
把，代入得，
，
解得，，
∴，
设曲线的解析式为，
把代入得，，，
∴；
【小问3详解】
设，则，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，或（舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了补全平面直角坐标系，画图形，一次函数，反比例函数，矩形面积，解决问题的关键是熟练掌握依照点的坐标补全平面直角坐标系，画出坐标系中的图形，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数性质，根据点坐标写线段长的表达式，运用矩形面积公式列方程解方程．
25. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10
【解析】
【分析】（1）利用一线三等角模型，可说明，得；
（2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解；
（3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案；
【详解】（1）证明：，，
，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：如图2中，延长交延长线于点．
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：如图，过点作与交于点，使，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键．
26. 如图①，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，于点D，轴于点F，交线段于点E，
（1）求抛物线的解析式；
（2）当的周长最大时，求P点的坐标；
（3）如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点M的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出，由，得到，则，证明，得到，则，即可推出当最大时，的周长最大；求出直线解析式为，设，则，则，则当时，有最大值，即此时的周长最大，此时；
（3）如图所示，设直线交y轴于D，证明，得到，则，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当最大时，的周长最大，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，则，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，即此时的周长最大，此时；
【小问3详解】
解：如图所示，设直线交y轴于D，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
红
红
蓝
红
（红，红）
（红，红）
（红，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，红）
（蓝，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，红）
（蓝，蓝）