2023~2024学年山东省济南市长清区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市长清区九年级(上)期末数学试卷(解析版)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 某几何体从三个方向看到平面图形都相同，这个几何体可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】的左视图、主视图是三角形，俯视图是圆，故A不符合题意；
的左视图、主视图是长方形，俯视图是三角形，故B不符合题意；
的主视图、左视图、俯视图都是正方形，故C符合题意；
的左视图、主视图是长方形，俯视图是圆，故D不符合题意；
故选C．
2. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵为锐角，且，
∴．
故选A．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为．
故选C．
4. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：将点代入反比例函数解析式，得：，
∴反比例函数解析式为：．
当时，，故A不符合题意，C不符合题意；
当时，，故B不符合题意，D符合题意；
故选：D．
5. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
6. 大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm
【答案】A
【解析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
，解得：x=6，
即蜡烛火焰的高度为6cm，
故答案：A．
7. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：
共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，
∴；
故选B．
8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∵次函数的图象经过一、三、四象限，
∴，，
对于二次函数的图象，
∵，开口向上，排除A、B选项；
∵，，
∴对称轴，
∴D选项符合题意；
故选：D．
9. 如图，设为的边上一点，经过点且恰好与边相切于点．若，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：连接，设与 的交点为，
∵与相切于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积 ，
扇形的面积，
∴阴影部分的面积，
故选：．
10. 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（ ）
A. c≥5B. c≥6C. c＜5或c＞6D. 5＜c＜6
【答案】A
【解析】∵当＝1，x2＝3时，．
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝﹣4x＋c＝＋c﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），
∴当y1＝y2＝c﹣4时，y1＋y2取最小值为2c﹣8，
∴2c﹣8≥2，
解得c≥5．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 抛物线的顶点坐标是______.
【答案】
【解析】抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
12. 一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则可估计红球的个数约为________个．
【答案】60
【解析】解：由题意可知红球的个数约为（个），
故答案为：60．
13. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为______．

【答案】
【解析】解：∵点A、B、C在⊙O上，，
∴．
故答案为：．
14. 如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为______．
【答案】
【解析】解：由图可知：，，，
则，
∴，
故答案为：．
15. 如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室内的光线．若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为______．
【答案】
【解析】解：，
，
，
，，，
，
，则窗户的高度为，
故答案为：．
16. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；③，在以上5个结论中，正确的有______．

【答案】①②③⑤
【解析】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是直角三角形，
故①②正确，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，

设．则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴，故③正确，
如图2中，

当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17 计算：2sin30°+3cs60°-4tan45°．
解：2sin30°+3cs60°﹣4tan45°
=
=-1.5.
18. 解方程：．
解：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
19. 如图，已知ADBECF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8，DE=3，求DF的长．
解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB=6，BC=8，DE=3，
∴，
∴DF=7．
20. 为了传承中国传统文化，某校七年级组织了一次全体学生“汉字听写”大赛，每位学生听写汉字39个，随机抽取了部分学生的听写结果作为样本进行整理，绘制成如图的统计图表：
根据以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的_________，__________，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是____________；
（3）已知该校七年级共有800名学生，如果听写正确的字的个数不少于24个定为合格，请你估计该校本次听写比赛合格的学生人数．
解：（1）总人数=15÷15%=100，
∴m=100×30%=30，n=100×20%=20，
条形统计图如图所示：
故答案为30，20；
（2）
所以扇形统计图中“C组“所对应的圆心角的度数是360°×25%=90°．
故答案为90°．
（3）（人），
答：估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．
21. 每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节．已知某果园2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等，求脐橙的销量增长率是多少．
解：由题意，设销量增长率为x，
∴．
∴或（不合题意，舍去）．
∴．
答：脐橙的销量增长率为．
22. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：，，，，，）
（1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）；
（2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）．
解：（1）过作于，
在中，，
米，，
米．
答：水平横管到水平线的距离约为1.6米；
（2），
四边形为矩形，
，米，
米，
米，
在中，，
米，
又在中，，
米，，
米．
米．
米，
答：水平横管的长度约为0.5米．
23. 如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E，连接．

（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
解：（1）证明：连接，
直线是的切线，切点为C，
，
又，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：连接，
是的直径，
，
又，
由（1）得，
，
在中，，
，
在中，，
．

24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．
（1）求k和b的值；
（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；
（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．
解：（1）把点P（2，）代入y＝，得：＝，
解得：k＝9；
把点P（2，）代入y＝x+b，得：+b＝，
解得：b＝3；
（2）在直线y＝x+3中，令x＝0，得：y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
令y＝0，得：x+3＝0，
解得：x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∵直线x＝m分别与直线y＝x+3和双曲线y＝交于点E、D．
∴E（m，m+3），D（m，），
∵点E在线段AB上，
∴﹣4≤m≤0，
∴ED＝m+3﹣，
∵ED＝BO，
∴m+3﹣＝3，
解得：m1＝﹣2，m2＝2，
经检验，m1＝﹣2，m2＝2都是原方程的解，但﹣4≤m≤0，
∴m＝﹣2；
（3）如图，过点E作EF⊥y轴于点F，
∵B（0，3），E（m，m+3），D（m，），
∴F（0，m+3），
∴BE2＝BF2+EF2＝[3﹣（m+3）]2+m2＝m2，
∴BE＝|m|，
又有DE＝|m+3﹣|，
∵四边形BCDE是菱形，
∴BE＝DE＝BC，
∴|m|＝|m+3﹣|，
解得：m1＝﹣3，m2＝，
当m1＝﹣3时，D（﹣3，﹣3），E（﹣3，），
∴DE＝﹣（﹣3）＝，
∴BC＝，
∴C（0，﹣）；
当m2＝时，D（，6），E（，），
∴DE＝6﹣＝，
∴BC＝，
∴C（0，）；
综上所述，点C的坐标为（0，﹣）或（0，）．
25. 综合与探究
如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S．
①求的面积S的最大值．
②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为．
（2）①∵，
∴抛物线的顶点为
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线解析式为
由题意得，，其中，
∴，，
∵，
∴当时，S取得最大值为5；
②存在，理由如下：
∵，
∴，不可能为直角；
当时，则，
∴轴，
∴
解得：，
∴点P的坐标为；
当时，过点P作轴于K，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴
综上所述，当为直角三角形时，点P的坐标为或
26. （1）问题发现：如图（1）．在和中，绕点逆时针旋转．为边的中点，当点与点重合时．与的位置关系为 ，与的数量关系为 ．
（2）问题证明：在绕点逆时针旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2的情形给出证明，若不成立，请说明理山，
（3）拓展应用：在绕点逆时针旋转旋转的过程中，当时，直接写出的长．
解：（1）如图1，延长BH交AC于点G，
∵点H是Rt△BDC中CD的中点，
∴BH=DH，
∵，
∴∠BDC=∠ABG=60°，
∴∠A+∠ABG=90°，
∴∠AGB=90°，即BH⊥AE，
∵在Rt△ABC中，BC=3，∠A=30°，
∴AE=2BC=6，
在Rt△BDE中，∠DEB=30°，
∴CD=，
∵点H为CD的中点，
∴BH=，
∴，
∴
故答案为：
（2）成立
证明如下：延长至点，使，
连接分别交于点，如图2所示.
在△DBE与△PBE中，
,
又，
在中，，
,
,
,
为的中点，
为中点，
,
,
，
.
又,
.
∴（1）中的结论仍然成立，
（3）①如图3-1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于点F，
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠BFD=90°，
由题意可知，BC=BE=3，AB=3，BD=，DE=2，
∴BF=，
EF=，
∴AF=3+，
∴AE2=，
∵，
∴，
∴，
②如图3-2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF=，EF= ，
∴AE2=，
∴
综上所述，BH2为或．组别
正确字数x
人数
A
10
B
15
C
25
D
m
E
n