四川省资阳天立学校2024-2025学年高一下学期第一次调研考试（3月）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省资阳天立学校2024-2025学年高一下学期第一次调研考试（3月）数学试题（原卷版+解析版），共18页。
注意事项：
1．本试卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位量上．
2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 若x≥y，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则 （ ）
A B. C. D.
5. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C D.
6. 用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A. B.
C D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 在内有最大值
D. 在内单调递减
11. 化简下式，正确是（ ）
A. =B. =
C. D. =
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 函数在内的零点为_______
13. 已知函数的最小正周期为，则______．
14. 已知函数，则下列说法正确的是______.
①的最大值是②向左平移个单位后为奇函数
③的图象关于对称④在上是递增的
四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 求下列各式的值：
（1）；
（2）
16. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是.
（1）求及的值；
（2）求值.
17. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值；
（3）若的图象与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，求的取值范围．
19. 在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．
（1）写出矩形的面积S与角的函数关系式；
（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．
资阳天立2025年3月第一次调研考试
高一数学试卷
（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位量上．
2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出各个集合，再利用交集和补集的性质求解即可.
【详解】令，解得，则，故，
因为，所以，故A正确.
故选：A
2. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立，
若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立，
∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件.
故选：C.
3. 若x≥y，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，利用特殊值法分别代入各个选项，结合基本不等式成立的条件，便可求得答案.
【详解】解：
选项A，取x＝0，y＝﹣1，则，，不满足，即A错误；
选项B，由基本不等式知，只有当时，才有，即B错误；
选项C，取，，则，，不满足，即C错误；
选项D，因，所以，即，即D正确．
故选：D．
4. 已知，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别与0和1比较后可得．
【详解】，，，∴，即．
故选：A．
【点睛】方法点睛：本题考查幂、对数、三角函数值的大小比较．对于具体实数的比较大小，如果能应用函数单调性的应用单调性比较大小，如果不能应用单调性，不同类型的数可以借助中间值如0或1等比较大小后得出结论．
5. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域.
【详解】因为，
对于函数有，可得，
解得，
故函数的定义域为.
故选：D.
6. 用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“五点法”作图，只需令2x＝0，，π，，2π，即可解得答案.
【详解】由“五点法”作图知：令2x＝0，，π，，2π，
解得x＝0，，，，π，即为五个关键点的横坐标，
故选：B.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.
【详解】由，
得，所以，
又，所以，
即，
整理得，即，
所以一个钝角一个锐角，所以，
所以，
所以.
故选：C
8. 若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可.
【详解】由，
易知，令，
则由题意知.
故选：A
【点睛】思路点睛：先化简函数式，由，根据三角函数的图象结合五点作图法得出该函数在纵轴右侧的第一个零点与第二个零点分在两侧，计算即可.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据反比例函数及三角函数的奇偶性及单调性逐一判断即可.
【详解】解：对于A，函数在上单调递减，故A不符题意；
对于B，函数偶函数，故B不符题意；
对于C，函数是奇函数且在上单调递增，故C符合题意；
对于D，函数是奇函数且在上单调递增，故D符合题意；
故选：CD．
10. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 在内有最大值
D. 在内单调递减
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意以及三角函数的定义，可得角的值，利用整体思想，结合正弦函数的对称性、最值以及单调性，可得答案.
【详解】由题意可得，，则，（），
所以，
对于A，由，则，
由函数的对称轴为直线（），故A正确；
对于B，由，则，
由函数的对称中心为（），故B错误；
对于C，由，则，
由函数在（）处取得最大值，故C错误；
对于D，由，则，
由函数在上单调递减，故D正确.
故选：AD.
11. 化简下式，正确的是（ ）
A. =B. =
C. D. =
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案.
【详解】A.，选项A错误.
B.，选项B正确.
C.
，选项C错误.
D.
，选项D正确.
故选：BD.
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 函数在内的零点为_______
【答案】
【解析】
【分析】令求出方程的解，再结合的范围确定函数零点.
【详解】令，即，即，
解得，
因为，所以当时，符合题意.
故答案为：
13. 已知函数的最小正周期为，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数的周期公式求出，由此确定函数的解析式，运算得解.
【详解】依题意得，所以，因此，
于是．
故答案为：.
14. 已知函数，则下列说法正确的是______.
①的最大值是②向左平移个单位后为奇函数
③的图象关于对称④在上是递增的
【答案】②③
【解析】
【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，即可判断①，再利用图像平移以及奇函数的判断，即可判断②，根据三角函数最值性质，即可判断③，利用函数单调性，即可判断④.
【详解】由辅助角公式可知：，
①，故错误；
②向左平移个单位得到，
又，
定义域为关于原点对称，所以是奇函数，故正确；
③因为为最大值，
所以的图象关于对称，故正确；
④因为，所以，
因为在上不是单调函数，
所以在上不是单调函数，故错误；
故答案为：②③
四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 求下列各式的值：
（1）；
（2）
【答案】（1）11 （2）8
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算法则计算即可；
（2）根据指数幂的运算和对数运算法则和换底公式计算即可.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
16. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是.
（1）求及的值；
（2）求的值.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义求解即可；
（2）由诱导公式化简并结合（1）即可求解；
【小问1详解】
因为角终边上一点的坐标是，
由三角函数的定义可得，
，
.
【小问2详解】
原式
.
17. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用同角公式及差角的余弦公式计算即得.
（2）由（1）结合同角公式，利用差角的余弦公式计算即得.
【小问1详解】
由，得，又，
则，，
所以
.
【小问2详解】
由（1）知，而，则，
因此，
又，所以.
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值；
（3）若图象与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】1）利用倍角公式及正弦的和角公式得到，把看成一整体，利用的性质，得，即可求解；
（2）根据条件，利用平方关系求出，再通过构角，利用正弦的差角公式，即可求解；
（3）利用（1）结果得到在区间上的单调性，进而得出图象，再数形结合，即可求解.
【小问1详解】
因为，
由，得到，
所以的单调递增区间为，．
【小问2详解】
由（1）知，则，
又，所以，
又，所以，
则，
又，．
【小问3详解】
当时，由（1）知在区间和上单调递增，在区间上单调递减，且，
则在区间上的图象如图所示，
又直线与的图象有三个交点．则，
不妨设三个交点为，且，则，
又易知，所以，
所以的取值范围为．
19. 在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．
（1）写出矩形的面积S与角的函数关系式；
（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．
【答案】（1），
（2）当时，矩形的面积最大，最大值为
【解析】
【分析】（1）首先得出，再用的三角函数分别表示出和，则，再根据二倍角公式，降幂公式和辅助角公式化简即可；
（2）由，得出，根据正弦函数的图像，得出时，面积最大，即可得出最大面积．
【小问1详解】
由题可知，，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，．
【小问2详解】
，
，
当，即时，
，
故当时，矩形的面积最大，最大值为．