2024-2025学年四川省资阳天立学校（天立集团）高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省资阳天立学校（天立集团）高二下学期3月月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数列1，−2，4，−8，16⋯的一个通项公式an=( )
A. −−2n−1B. 2n−1C. −2n−1D. −1n2n−1
2.首项为1的数列{an}满足an+1=an2+1，则a4=( )
A. 2B. 5C. 21D. 26
3.记Sn为等差数列an的前n项和，已知S5=S10,a5=1，则a2=( )
A. 0B. 13C. 73D. 2
4.已知数列an−n是等比数列，且a1=2，公比为2，则数列an的前5项之和为( )
A. 62B. 66C. 56D. 46
5.在等差数列an中，a1+2a3+a5=16，则a6−3a4=( )
A. −8B. −6C. −4D. −2
6.已知等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若SnTn=2n3n+1，则a2+a10b5+b7=( )
A. 911B. 1711C. 1117D. 1219
7.设等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a8=−22，S11=−110，则Sn取最小值时，n的值为( )
A. 15或16B. 13或14C. 16或17D. 14或15
8.已知数列{an}的首项a1=3，对任意m,n∈N∗，都有aman=am+n，则当n≥1时，lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a2n−1=( )
A. n(2n−1)B. (n+1)2C. n2D. (n−1)2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列an是等差数列，且满足a1+2a2=S5，则下列结论中正确的是( )
A. S9=0B. S5最小C. S3=S6D. a5=0
10.数列an的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 若an=−2n+13，则数列an的前6项和S6最大
B. 若等比数列an是递减数列，则公比q满足00
D. 已知an为等差数列，则数列Snn也是等差数列
11.在数列{an}中，如果对任意n∈N∗都有an+2−an+1an+1−an=k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k称为公差比，下列说法正确的是( )
A. 等差数列一定是等差比数列
B. 等差比数列的公差比一定不为0
C. 若an=−3n+2，则数列{an}是等差比数列
D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q= ．
13.已知公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，⋯构成等比数列{akn}，且k1=1，k2=2，k3=5，则kn= ．
14.已知数列{an}满足a1=a2=1，且an+2=2an,n为奇数an+1,n为偶数，则该数列前20项和S20= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{an}为等比数列，a2=1024，a9=8．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若Tn是数列{an}的前n项积，求Tn的最大值．
16.(本小题12分)
已知数列an的通项公式为an=3n−1，bn是公比为qq>0的等比数列，且b2=2，b2+b3+b4=14．
(1)求bn的通项公式；
(2)设an与bn的公共项由小到大排列构成新数列cn，求cn的前5项和S5．
17.(本小题12分)
已知数列an对任意n∈N∗满足a1+3a2+5a3+⋯+2n−1an=n−13n+1+2．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设数列an的前n项和为Sn，求使得Sn>2022成立的正整数n的最小值．
18.(本小题12分)
数列an的前n项和为Sn，且23Sn=an−23n−2，
(1)求证：数列an+1是等比数列；
(2)若bn=1an+1，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn0，
数列{an}为单调递减数列，当an≥1an+1≤1时，Tn最大，
即212−n≥1211−n≤1,n∈N∗解得：11≤n≤12，此时T11=T12=211+10+9+⋯+1=266，Tn的最大值为266．
方法二：因为Tn=a1⋅a2⋅a3⋯an，
所以Tn=212−1+12−2+12−3+⋯+12−n=212n−nn+12=223n−n22
由二次函数的知识以及n∈N∗，易知在n=11或者n=12时，同时取得最大值，
此时T11=T12=211+10+9+⋯+1=266，Tn的最大值为266．
16.解：(1)因为b2=2，b2+b3+b4=14，
所以2+2q+2q2=14，解得q=2(负值舍去)，
所以bn=b2qn−2=2n−1．
(2)设an的第m项与bn的第k项相等，
则am=bk，即3m−1=2k−1，m=2k−1+13．
当k=1时，m=23∉N∗，当k=2时，m=1，则c1=2，
当k=3时，m=53∉N∗，当k=4时，m=3，则c2=8，
当k=5时，m=173∉N∗，当k=6时，m=11，则c3=32，
当k=7时，m=653∉N∗，当k=8时，m=43，则c4=128，
当k=9时，m=2573∉N∗，当k=10时，m=171，则c5=512．
故S5=2+8+32+128+512=682．

17.解：(1)因为a1+3a2+5a3+⋯+2n−3an−1+2n−1an=n−13n+1+2，①
所以a1+3a2+5a3+⋯+2n−3an−1=n−23n+2n≥2，②
①②两式相减，得2n−1an=3n−3−n−23n=2n−13nn≥2，
所以an=3nn≥2.③
又当n=1时，得a1=2，不满足上式．
所以数列an的通项公式为an=2,n=13n,n≥2；
(2)由(1)知，S1=2，所以S1>2022不成立，
当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+⋯+an=2+32+33+⋯+3n
=−1+3+32+33+⋯+3n=−1+3×1−3n1−3=3n+1−52，
由Sn=3n+1−52>2022，得3n+1>4049．
令fn=3n+1，则fn为增函数，
又2187=37=f62022成立的正整数n的最小值为7．

18.解：1)由23Sn=an−23n−2得23S1=23a1=a1−23−2，故a1=8，
当n≥2时，23Sn−1=an−1−23n−1−2，
所以23Sn−23Sn−1=an−23n−2−an−1−23n−1−2，
从而23an=an−an−1−23，故an=3an−1+2①，
在式①两端加1得：an+1=3an−1+2+1=3an−1+1②，
又a1+1=8+1=9≠0，结合式②知数列an+1所有项均不为0，所以an+1an−1+1=3，
故an+1是首项为9，公比为3的等比数列．
(2)由(1)得an+1=9×3n−1=3n+1，故bn=1an+1=13n+1，
所以Tn=132+133+⋯+13n+1=191−13n1−13=16−16×13n1+lg2323=2，上式等号成立，
因此，等号不能取到，
当b≥3a8时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．