四川省资阳天立学校（天立集团）2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份四川省资阳天立学校（天立集团）2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．数列 1，-2，4 ， -8 ， 16⋯ 的一个通项公式 an= （ ）
A． --2n-1 B． 2n-1 C． -2n-1 D． -1n2n-1
2．首项为1的数列 an 满足 an+1=an2+1 ，则 a4= （ ）
A．2B．5C．21D．26
3．记为等差数列的前n项和，已知，则（ ）
A．0B．C．D．2
4．已知数列 an-n 是等比数列，且 a1=2 ，公比为2，则数列 an 的前5项之和为（ ）
A．62B．66C．56D．46
5．在等差数列 an 中， a1+2a3+a5=16 ，则 a6-3a4= （ ）
A． -8 B． -6 C． -4 D． -2
6．已知等差数列 an 、 bn 的前 n 项和分别为 Sn 、 Tn ，若 SnTn=2n3n+1 ，则 a2+a10b5+b7= （ ）
A． 911 B． 1711 C． 1117 D． 1219
7．设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a2+a8=-22 ， S11=-110 ，则 Sn 取最小值时， n 的值为（ ）
A．15或16B．13或14C．16或17D．14或15
8．已知数列 an 的首项 a1=3 ，对任意 m,n∈N* ，都有 aman=am+n ，则当 n⩾1 时， lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a2n-1= （ ）
A． n2n-1 B． n+12 C． n2 D． n-12
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数列 an 是等差数列，且满足 a1+2a2=S5 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． S9=0 B． S5 最小C． S3=S6 D． a5=0
10．数列 an 的前n项和为 Sn ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 an=-2n+13 ，则数列 an 的前6项和 S6 最大
B．若等比数列 an 是递减数列，则公比q满足 0＜q＜1
C．已知等差数列 an 的前n项和为 Sn ，若 S2025＞0 ，则 a1013＞0
D．已知 an 为等差数列，则数列 Snn 也是等差数列
11．在数列 an 中，如果对任意 n∈N* 都有 an+2-an+1an+1-an=k （ k 为常数），则称 an 为等差比数列，k称为公差比 . 下列说法正确的是（ ）
A．等差数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若 an=-3n+2 ，则数列 an 是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
三、填空题（本大题共3小题）
12．等比数列 an 共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 q= ______.
13．已知公差不为0的等差数列 an 的部分项 ak1 ， ak2 ， ak3 ，……构成等比数列 an ，且 k1=1 ， k2=2 ， k3=5 ，则 kn= __________.
14．已知数列 an 满足 a1=a2=1 ，且 an+2=2an,n为奇数an+1,n为偶数 ，该数列前20项和 S20= _______．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列 an 为等比数列， a2=1024 ， a9=8 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 Tn 是数列 an 的前 n 项积，求 Tn 的最大值.
16．已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和．
17．已知数列 an 对任意 n∈N* 满足 a1+3a2+5a3+⋯+2n-1an=n-13n+1+2 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，求使得 Sn＞2022 成立的正整数 n 的最小值．
18．数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 23Sn=an-23n-2 ，
(1)求证：数列 an+1 是等比数列；
(2)若 bn=1an+1 ，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，求证： Tn＜16 ．
19．某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的 23 领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为 an 元．
(1)求 an 的通项公式．
(2)当 b=8a27 时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
(3)当 b⩾3a8 时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
参考答案
1．【答案】C
【详解】数列 1，-2，4 ， -8 ， 16⋯ 中，
a1=-11-1×21-1=-21-1 ，
a2=-12-1×22-1=-22-1 ，
a3=-13-1×23-1=-23-1 ，
a4=-14-1×24-1=-24-1 ，
a5=-15-1×25-1=-25-1 ，
……， ∴an=-2n-1.
故选 C .
2．【答案】D
【详解】由题意可得 a2=a12+1=1+1=2 ， a3=a22+1=4+1=5 ， a4=a32+1=25+1=26 ，
故选D.
3．【答案】D
【详解】等差数列中，，则，
所以公差，所以.
故选D.
4．【答案】D
【详解】数列 an-n 是首项为 a1-1=1 ，公比为2的等比数列，
所以 an-n=2n-1 ，所以 an=n+2n-1 ，
所以数列 an 的前5项之和为 1+2+3+4+5+20+21+22+23+24
=51+52+1-251-2=15+32-1=46 .
故选D.
5．【答案】A
【详解】因为数列 an 为等差数列，且 a1+2a3+a5=16 ，得 4a3=16 ，
所以 a3=4 ，所以 a6-3a4=a3+3d-3a3+d=-2a3=-8 .
故选A.
6．【答案】C
【详解】因为等差数列 an 、 bn 的前 n 项和分别为 Sn 、 Tn ，且 SnTn=2n3n+1 ，
因为 a2+a10b5+b7=a1+a11b1+b11=11a1+a11211b1+b112=S11T11=2×113×11+1=1117 .
故选C.
7．【答案】A
【详解】由 S11=11a1+a112=11a6=-110⇒a6=-10 ， a2+a8=2a5=-22⇒a5=-11 ，
所以，数列 an 的公差 d=a6-a5=1 ，且 a6=a1+5d=a1+5=-10⇒a1=-15 ，
所以 a16=a1+15d=0 ，且数列 an 单调递增，
故 Sn 取最小值时， n 的值为15或16.
故选A.
8．【答案】A
【详解】令 m=1， 得到 a1⋅an=a1+n=3an ，故数列是等比数列， an=3⋅3n-1=3n ， a2n-1 =32n-1
lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a2n-1=1+2+...+2n-1=n2n-1
故选A．
9．【答案】ACD
【详解】对于D，设等差数列公差为d，由题意，知 a1+2a1+d=5a1+5×42d ，则 a1+4d=0 ，即 a5=0 ，故D正确；
对于 A，S9=9a1+a92=9⋅2a52=9a5=0 ，故A正确；
对于B ，因 a1+4d=0 ，则 a1=-4d ，
故 Sn=na1+nn-1d2=-4dn+nn-1d2=d2⋅n-922-814 ，
当 d＜0 ，又离 92 最近整数为4或5，则 S5 或 S4 最大，由题无法确定 d 符号，故B错误；
对于C，由D分析， a5=0 ，则由等差数列性质可得 a4+a6=2a5=0 ，
则 S3=a1+a2+a3+a4+a5+a6=S6 ，故C正确.
故选ACD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由 an=-2n+13 ，令 an=-2n+13＞0 ，解得 n＜132 ，令 an=-2n+13＜0 ，解得 n＞132 ，
又 n∈N* ，则 a6＞0 ， a7＜0 ，数列 an 单调递减，数列 an 前 6 项的和最大，A正确；
对于B，当 a1＜0 ， q＞1 时，等比数列 an 也是递减数列，B错误；
对于 C，S2025=2025a1+a20252=2025a1013 ，由 S2025＞0 ，得 a1013＞0，C 正确；
对于D，若 an 为等差数列，则 Sn=a1n+nn-12d ，则 Snn=d2n+a1-d2 ，
Sn+1n+1-Snn=d2 （为常数），因此数列 Snn 是等差数列，D正确．
故选ACD.
11．【答案】BCD
【详解】对于数列 an ，考虑 an=1,an+1=1,an+2=1 ， an+2-an+1an+1-an 无意义，所以A选项错误；
若等差比数列的公差比为 0，an+2-an+1an+1-an=0,an+2-an+1=0 ，则 an+1-an 与题目矛盾，所以B选项说法正确；
若 an=-3n+2 ， an+2-an+1an+1-an=3 ，数列 an 是等差比数列，所以C选项正确；
若等比数列是等差比数列，则 an=a1qn-1,q≠1 ，
an+2-an+1an+1-an=a1qn+1-a1qna1qn-a1qn-1=a1qnq-1a1qn-1q-1=q ，所以D选项正确.
故选BCD.
12．【答案】 12 / 0.5
【详解】设等比数列 an 的奇数项的和、偶数项的和分别为 S奇 ， S偶 .
由题意可得 S奇+S偶=240,S奇-S偶=80,
解得 S奇=160,S偶=80,
所以 q=S偶S奇=12 ．
13．【答案】 3n-1+12
【详解】解：设等差数列 an 的公差为 d ，则 d≠0 ，
由已知 ak22=ak1⋅ak3,∴a22=a1⋅a5 ，
即 a1+d2=a1⋅a1+4d ，得 2a1=d ，
于是，在等比数列 ak1,ak2,ak3,⋯,akn 中，
公比 q=ak2ak1=a2a1=a1+da1=a1+2a1a1=3 ．
由 akn 为数列 ak 的第 n 项，知 akn=ak1⋅3n-1=a1×3n-1 ；
由 akn 为数列 an 的第 kn 项，知 akn=a1+kn-1d=a12kn-1 ，
∴a1×3n-1=a12kn-1 ，
故 kn=3n-12+12 .
14．【答案】1078
【详解】∴当 n 为奇数时， an+2an=2 ，当 n 为偶数时， an+2-an=1 ，
∴数列 an 的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列，
∴ an=2n-12,n为奇数n-22+1=n2,n为偶数 ，
∴ S20=a1+a2+a3+a4+⋯+a19+a20=a1+a3+⋯+a19+a2+a4+⋯+a20
=1×1-2101-2+1+10×102=1023+55=1078 .
15．【答案】(1) an=212-n
(2) 266
【详解】（1）因为数列 an 为等比数列， a2=1024 ， a9=8 ，
所以 a2=a1×q=1024 ， a9=a1×q8=8 ，
所以 a1=2048 ， q=12 ，
所以 an=2048×12n-1=212-n
（2）方法一：因为 Tn=a1⋅a2⋅a3⋯an ，且 an＞0 ，数列 an 为单调递减数列，
当 an⩾1an+1⩽1 时， Tn 最大，
即 212-n⩾1211-n⩽1n∈N* ，解得： 11⩽n⩽12 ，
此时 T11=T12=211+10+9+⋯+1=266 ， Tn 的最大值为 266 .
方法二：因为 Tn=a1⋅a2⋅a3⋯an ，
所以 Tn=212-1+12-2+12-3+⋯+12-n=212n-nn+12=2-n-23222+2328
由二次函数的知识以及 n∈N* ，在 n=11 或者 n=12 时，同时取得最大值，
此时 T11=T12=211+10+9+⋯+1=266 ， Tn 的最大值为 266 .
16．【答案】(1)；
(2)682.
【详解】（1）因为，，
所以，解得（负值舍去），
所以．
（2）设的第项与的第项相等，
则，即，．
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则．
故．
17．【答案】(1) an=2,n=13n,n⩾2
(2)7．
【详解】（1）因为 a1+3a2+5a3+⋯+2n-3an-1+2n-1an=n-13n+1+2 ，①
所以 a1+3a2+5a3+⋯+2n-3an-1=n-23n+2n⩾2 ，②
①②两式相减，得 2n-1an=3n-3-n-23n=2n-13nn⩾2 ，
所以 an=3nn⩾2 ．③
又当 n=1 时，得 a1=2 ，不满足上式．
所以数列 an 的通项公式为 an=2,n=13n,n⩾2 ；
（2）由（1）知， S1=2 ，所以 S1＞2022 不成立，
当 n⩾2 时， Sn=a1+a2+a3+⋯+an=2+32+33+⋯+3n
=-1+3+32+33+⋯+3n=-1+3×1-3n1-3=3n+1-52 ，
由 Sn=3n+1-52＞2022 ，得 3n+1＞4049 ．
令 fn=3n+1 ，则 fn 为增函数，
又 2187=37=f6＜4049＜f7=38=6561 ．
因此要使 3n+1＞4049 成立，只需 n⩾7 ，
故使 Sn＞2022 成立的正整数 n 的最小值为7．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由 23Sn=an-23n-2 得 23S1=23a1=a1-23-2 ，故 a1=8 ，
当 n⩾2 时， 23Sn-1=an-1-23n-1-2 ，
所以 23Sn-23Sn-1=an-23n-2-an-1-23n-1-2 ，
从而 23an=an-an-1-23 ，故 an=3an-1+2 ①，
在式①两端加1得： an+1=3an-1+2+1=3an-1+1 ②，
又 a1+1=8+1=9≠0 ，结合式②知数列 an+1 所有项均不为0，所以 an+1an-1+1=3 ，
故 an+1 是首项为9，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得 an+1=9×3n-1=3n+1 ，故 bn=1an+1=13n+1 ，
所以 Tn=132+133+⋯+13n+1=191-13n1-13=16-16×13n＜16 .
19．【答案】(1)
(2)这个人第三年的收入最少，为 8a9 元
(3)当 b⩾3a8 时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入
【详解】（1）解：由题意得，当 n=1 时， a1=a ，
当 n⩾2 时， an=a23n-1+b32n-2 ，
所以
（2）解：由 b=8a27 ，当 n⩾2 时， an=a23n-1+8a2732n-2⩾2a23n-1×8a2732n-212=8a9 ，
当且仅当 a23n-1=8a2732n-2 ，上式的等号成立，即 232n-2=234 ，解得 n=3 ，
所以这个人第三年的收入最少，最小值为 8a9 元．
（3）解：当 n⩾2 时，
an=a23n-1+b32n-2⩾a23n-1+3a832n-2⩾2a23n-1×3a832n-2=a ，
当且仅当 b=3a8 且 n=1+lg2312＞1+lg2323=2 ，上式等号成立，
因此，等号不能取到，
当 b⩾3a8 时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．