广东省深圳市龙岗区宏扬学校2024-2025学年九年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市龙岗区宏扬学校2024-2025学年九年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题，共24分）
一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若电梯上行4层楼记为，则电梯下行3层楼应记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】根据正数和负数意义，将电梯上行4层楼记为，则电梯下行3层楼应记为．
故选A
2. 《清朝野史大观·清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粵之潮州府功夫茶为最．”如图是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同D. 三视图都相同
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键．
【详解】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】0.0000084用科学记数法表示为．
故选：B．
4. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是（ ）
A. 35B. 36C. 37D. 39
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了确定一组数据的中位数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可．
【详解】把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为35，36，38，39
∴中位数：
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】本题考查了合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方，根据合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方分别计算判断即可，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
解：、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项符合题意；
故选：．
6. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．根据题意直接列方程即可．
【详解】解：设甲出发x日，甲乙相逢，
根据题意，得，即，
故选：A．
7. 对于“过直线l外一点A作这条直线的垂线”的几何作图，甲、乙均设计了自己的尺规作图的过程：
对于以上作图过程（ ）
A. 甲对B. 乙对C. 甲、乙均不对D. 甲、乙均对
【答案】D
【解析】
【分析】甲：根据垂直平分线定义及在圆中直径所对的圆周角是直角判断甲作图正确；乙：根据作图可知，，进而得到为的垂直平分线，进而判断乙图正确．
【详解】解：对于甲，由作图可知：为的中点，
∴为的直径，
∵为上一点，
∴，
∴，即：；故甲作法正确；
对于乙，连接，由作图可知，，

∴在的中垂线上，
∴，即：，故乙作法正确；
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理，中垂线点判定和性质．解题关键是熟练掌握相关知识点，并灵活应用．
8. 我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前有一段坡度为的斜坡，用测角仪测得建筑物屋顶的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底处，这时测到建筑物屋顶的仰角为，在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，参考数据：，，）

A. 38.5米B. 39.0米C. 40.0米D. 41.5米
【答案】D
【解析】
【分析】设米，延长交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性质得出米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可．
【详解】解：设米，延长交于，作于，于，
，
在中，米，，
米，米，
四边形是矩形，四边形是矩形，
米，
在中，，
米，
米，米，
在中，，
，
，
米，
米，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题．
第二部分（非选择题，共70分）
二、填空题（本题有5小题，每小组题3分，共15分）
9. 若，______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值．整体代入是解题的关键．
由题意知，，代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：7．
10. 在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一；女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是 ___________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列表成为解题的关键．
先列表求出所有等可能结果数和两人选择每个项目一样的结果数，然后运用概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
共有4种等可能的结果，其中小明、小花所选的必考项目不同的结果有：（200米，800米），（1000米，200米），（1000米，800米），共3种，
∴小明、小花所选的必考项目不同的概率为．
故答案为：．
11. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，则cs∠OCB的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得∠BOC=90°，易求BC=OC，从而可得cs∠OCB的值.
【详解】∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°
∵OB=OC，
由勾股定理得，BC=OC，
∴cs∠OCB=.
故答案为.
【点睛】本题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及锐角三角函数的定义，属较简单题目题目．
12. 如图，在中，，，，按以下步骤操作：①分别以O和B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点C，D；②以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；③分别以E和F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G；④作射线OG，交直线CD于点P，反比例函数上的图像经过点P，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意可得为三角形边的垂直平分线，射线为的角平分线，然后作辅助线可得到两个全等的三角形，根据勾股定理得到线段的长度，再根据三角形相似得到点的坐标，将点的坐标代入反比例函数中即可求得结果．
【详解】解：由题可得，为三角形边的垂直平分线，射线为的角平分线，
设射线与交于一点，与交于一点，过点作的垂线交于一点，过点作，如图所示：
∵在中，，，，
∴，
∵射线为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵为三角形边的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
∴点，
∵反比例函数上的图象经过点P，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理解三角形、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质，掌握并灵活运用知识点是解题的关键．
13. 如图，在菱形中，，点是边的中点，点是边上一点，若一条光线从点射出，先到达点，再经反射后经过点，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】如图，作于，作于，设菱形的边长为，点是边的中点，表示，，可得，，，设，可得，，证明，再进一步利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，作于，作于，

设菱形的边长为，点是边的中点，
∴，，，
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是菱形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，属于跨学科的题，作出合适的辅助线是解本题的关键．
三、解答题（本题有7小题，共61分）
14. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算．用零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、算术平方根等法则进行计算即可．
【详解】解：原式．
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值问题，先通分，计算括号里的，再除法转化成乘法，计算括号外的，最后把a的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
16. 为庆祝中国共产党成立100周年，让红色基因、革命薪火代代传承，某校开展以学习“四史”（党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了如下统计图表：

请结合上述信息完成下列问题：
（1）________，________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“新中国史”主题作品份数对应的圆心角是________度；
（4）若该校共上交书画作品1800份，根据抽样调查结果，请估计以“党史”为主题的作品份数．
【答案】（1）0.40，0.30；（2）见详解；（3）144；（4）以“党史”为主题的作品份数为216份．
【解析】
【分析】（1）根据题意及统计图可得，进而问题可求解；
（2）根据题意可得“改革开放”为主题的份数为0.18×50=9份，进而直接进行作图；
（3）由统计图可得“新中国史”主题作品份数所占百分比，然后再进行求解即可；
（4）由题意可直接进行求解
【详解】解：（1）由题意及统计图可得：
，，
故答案为0.40，0.30；
（2）由（1）及统计图可得：“改革开放”为主题的份数为0.18×50=9份，“社会主义发展史”为主题的份数为0.30×50=15（分），则频数分布直方图如图所示：
（3）由（1）可得：
；
故答案为144；
（4）由题意可得：
1800×0.12=216（份）；
答：以“党史”为主题的作品份数为216份．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图及扇形统计图，熟练掌握频数分布直方图及扇形统计图是解题的关键．
17. 根据如表所示素材，探索完成任务．
【答案】任务1：A种图书标价27元，B种图书标价18元；
任务2：21种；
任务3：购进A种图书60本、B种图书40本才能获得最大利润．
【解析】
【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式组及分式方程的应用，掌握分式方程的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
任务1：设B种图书标价b元，则A种图书标价元，根据题意列方程并求解即可；
任务2：设购进A种图书a本，则购进B种图书本，根据题意列关于a的一元一次不等式并求解即可，a取值的个数就是A，B两种图书进货方案的种数；
任务3：设获得的总利润为W元，根据“总利润 (A种图书的售价A种图书的进价) A种图书的数量(B种图书的售价B种图书的进价) B种图书的数量”写出W关于a的关系式，根据该函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值W的值最大，再求出此时的值即可，
【详解】解：任务1：设B种图书标价b元，则A种图书标价元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的根，
(元)，
种图书标价27元，B种图书标价18元；
任务2：设购进A种图书a本，
购进A，B两种图书共100本；
购进B种图书本，
根据“进货总价A种图书进价种图书数量种图书进价种图书数量”，得进货总价为，进货总价不超过1680元，
，
又，
且a为整数，
可取21个值，
，B两种图书进货方案一共有21种；
任务3：设获得的总利润为W元，则，
，随a的减小而增大，
且a为整数，
当时，W取最大值，此时购进B种图书 (本)，
购进A种图书60本、B种图书40本才能获得最大利润．
18. 如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求BE的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由切线的性质，即可求解；
（2）由，可得，设为，可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设为，
∴，
∴，
解得：，
即的长为2．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19. 【背景介绍】
烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火．
【问题情境】
距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表：
【探究过程】
小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整；
（1）k的值为______，
（2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结．
（3）请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？
（4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？
【答案】（1）
（2）见解析 （3）士兵射出的箭没有掉进圣火台里．
（4）射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键．
（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解；
（2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可；
（3）先求得抛物线解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可；
（4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解．
【小问1详解】
解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据和二次函数图像的对称的性质可得：对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
【小问2详解】
解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图：
【小问3详解】
解：设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，
，
∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里．
【小问4详解】
解：由（3）可知：二次函数的解析式为，
∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃，
依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为，
设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去）；
设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为．
20. 已知正方形，将边绕点A顺时针旋转α至线段角平分线所在直线与直线相交于点F．

【探索发现】
（1）如图1，当α为锐角时，请先用“尺规作图”作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：；
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，
①的度数为 ；
②连接，猜想线段和之间的数量关系，并证明；
【拓展思考】
（3）若正方形的边长，当以点C，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）①；②，证明见解析；（3）8或．
【解析】
【分析】（1）依题意补全图形，连接，由正方形和旋转的性质可得，由角平分线的定义可得，再通过证明即可求解；
（2）①设，则，由可得，由可得，再根据计算即可求解；
②连接和，易得和为等腰直角三角形，，，由等角减同角相等可得，以此可证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况：当为对角线时此时，；当为对角线时，连接，同（1）可证：，得到，由可得，，由四边形内角和定理得到，进而求得，于是是等腰直角三角形，同（2）②可证：，，设，则,在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：（1）“尺规作图”补全图形如图：

证明：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由旋转知，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①连接

设，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
②，理由如下：
如图，连接和，

∵，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形正方形，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）当为对角线时，如图，

此时，；
当为对角线时，如图，连接，

∵四边形为边长为4的正方形，
∴，
同（1）可证：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
同（2）②可证：，且，
设，则，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
综上，或．
【点睛】本题主要考查尺规作图、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理，正确作出辅助线，灵活应用相关知识解决问题是解题关键．
甲：①在直线l上取一点B，连接，如图；
②作线段的垂直平分线，交于点O；
③以O为圆心，长为半径作圆，交直线l于点G；
④作直线．所以直线即为所求作的直线．
乙：①在直线l上取点B和点D，连接、，如图；
②以点B为圆心，线段的长为半径作圆；
③以点D为圆心，线段的长为半径作圆，两圆相交于点A和点M；
④作直线，直线就是所求的直线．
200米
800米
200米
（200米，200米）
（200米，800米）
1000米
（1000米，200米）
（1000米，800米）
主题
频数
频率
党史
6
0.12
新中国史
20
改革开放史
0.18
社会主义发展史
合计
50
1
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材1
南山书城为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．
素材2
已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．
素材3
南山书城准备用不超过1680元购进A，B两种图书共100本，且A种图书不少于60本，经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．
问题解决
任务1
探求图书的标价
请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．
任务2
探究进货方案
A，B两种图书进货方案一共有多少种？
任务3
确定如何获得最大利润
南山书城应怎样进货才能获得最大利润？
d/m
0
10
20
30
40
50
60
70
h/m
k