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2023高考数学复习专项训练《基本不等式》
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这是一份2023高考数学复习专项训练《基本不等式》，共16页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）已知集合A={x|x2⩽4}，集合B={x|x>0}，则A∪B=()
A. (-∞,-2]B. [-2,0)
C. [-2,+∞)D. (0,2]
2.（5分）若z=-1+3i，则zzz--1=()
A. -1+3iB. -1-3iC. -13+33iD. -13-33i
3.（5分）下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0,+∞)，当x1f(x2)的是( )
A. f(x)=1xB. f(x)=(x-1)2
C. f(x)=exD. f(x)=ln(x+1)
4.（5分）正项等比数列{an}中，a1+a3=5，a5-a1=15，则an=( )
A. 2B. 2n+1C. 2nD. 2n-1
5.（5分）设x∈R，则“0A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.（5分）已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，则下列命题中错误的是( )
A. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
B. 若m//α，α∩β=n，则m//n
C. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
D. 若m//n，α//β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等
7.（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csC=b-a2a，则sinB+sinA的取值范围是()
A. (32,32)B. (1,3]
C. (2,32)D. (2,839]
8.（5分）某几何体是由若干个棱长为1的正方体组合而成，其正视图与侧视图如图所示，则该几何体的体积不可能为()
A. 3B. 4C. 5D. 6
9.（5分）已知奇函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，点M的坐标为(1,0)且△MNE为等腰直角三角形，当A取最大值时，f(13)等于()
A. -34B. -32C. -12D. -1
10.（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1,2,…，8)是上底面上其余的八个点，则AB→·APi→(i=1,2,…,8)的不同值的个数为()
A. 1B. 2C. 4D. 8
11.（5分）圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称，则1a+3b的最小值是( )．
A. 23B. 203C. 4D. 163
12.（5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB=6，深度MO=2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点Q(158,2)，则|PF|+|PQ|的最小值为()
A. 4B. 3C. 2D. 1
13.（5分）函数f(x)在(0,+∞)单调递增，且f(x+2)关于x=-2对称，若f(-2)=1，则f(x-2)⩽1的x的取值范围是( )
A. [-2,2]B. (-∞,-2]∪[2,+∞)
C. (-∞,0]∪[4,+∞)D. [0,4]
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知|a→|=2，|b→|=1|，a→与b→的夹角为45°，若tb→-a→与a→垂直，则实数t=_________．
15.（5分）设实数x和y满足约束条件x+y⩽10x-y⩽2x⩾4，则z=2x+3y的最小值为 ______ .
16.（5分）【典例】某种物资实行阶梯价格制度，具体见表：则一户居民使用该物资的年花费y元关于年用量x千克的函数关系式为_______________；
若某居民使用该物资的年花费为100元，则该户居民的年用量为_______________千克.
17.（5分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=12，AB=1，AD=3，则直线AA1与平面A1BD所成的角为_______.
18.（5分） 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的一条渐近线l的倾斜角为π3，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的方程为______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)在[-π3,π4]上的最大值和最小值；
(3)不画图，说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样变化得到．
20.（12分）已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE//CD，F为AD的中点．
(Ⅰ)求证：EF//面ABC；
(Ⅱ)求证：平面ADE⊥平面ACD；
(Ⅲ)求四棱锥A-BCDE的体积．
21.（12分）已知等差数列{an}满足an+1+n=2an+1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，求数列{1Sn}的前n项和Tn．
22.（12分）已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，求|PA|+|PF|的最大值和最小值．
23.（12分）已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？如果
存在，请求出最小的正整数，如果不存在，请说明理由。
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】略
2.【答案】C;
【解析】解：∵z=-1+3i，∴z·z-=|z|2=((-1)2+(3)2)2=4，
则zzz--1=-1+3i4-1=-13+33i.
故选：C.
由已知求得z·z-，代入zzz--1，则答案可求．
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.【答案】A;
【解析】
该题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和对数函数的单调性的应用．
根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在(0,+∞)上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和对数函数的单调性进行判断．
解：∵对任意x1、x2∈(0,+∞)，当x1f(x2)，
∴函数在(0,+∞)上是减函数；
A、由反比例函数的性质知，f(x)=1x在(0,+∞)上是减函数，故A正确；
B、由于f(x)=(x-1)2，由二次函数的性质知，在(0,1)上是减函数，
在(1,+∞)上是增函数，故B不对；
C、由于e>1，则由指数函数的单调性知，在(0,+∞)上是增函数，故C不对；
D、根据对数的真数大于零，得函数的定义域为(-1,+∞)，由于e>1，则由对数函数的单调性知，在(0,+∞)上是增函数，故D不对；
故选：A．
4.【答案】D;
【解析】解：依题意，a1+a3=5，a5-a1=15，
所以a1+a1q2=5, ①a1q4-a1=15, ②，所以① ②得q2-1=3，即q2=4，
又因为数列{an}为正项等比数列，
所以q=2，a1=1，
所以an=a1qn-1=2n-1，
故选：D．
依题意，将a1+a3=5，a5-a1=15，转化为a1和q的算式，解得a1，q，即可得到an．
此题主要考查了等比数列的通项公式，考查分析解决问题的能力，属于基础题．
5.【答案】B;
【解析】
该题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．
解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
解：∵|x-1|<1，∴0∵00∴0即0故选B．
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
在A中，由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理得m⊥n；在B中，m与n平行或异面；在C中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在D中，由线面角的定义得m与α所成的角和n与β所成的角相等，
解：由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，知：
在A中，若m⊥α，n//α，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理得m⊥n，故A正确；
在B中，若m//α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故B错误；
在C中，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；
在D中，若m//n，α//β，则由线面角的定义得m与α所成的角和n与β所成的角相等，故D正确．
故选：B．
7.【答案】D;
【解析】解：因为csC=b-a2a，
由正弦定理得2sinAcsC=sinB-sinA=sin(A+C)-sinA=sinAcsC+sinCcsA-sinA，
即sinAcsC-sinCcsA=-sinA，
所以sin(C-A)=sinA，
所以C-A=A，即C=2A，
由题意得{0所以π6sinB+sinA=sin(A+C)+sinA=sin(2A+A)+sinA=sin2AcsA+sinAcs2A+sinA=sinA(1-2sin2A)+2sinA(1-sin2A)+sinA=4sinA-4sin3A，
令f(x)=4x-4x3，(12则f'(x)=4-12x2，
易得，当120，函数单调递增，当33故当x=33时，函数取得最大值f(33)=839，
又f(12)=32，f(22)=2，
所以f(x)∈(2,839].
故选：D.
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求导A，C的关系，结合锐角三角形条件可求A的范围，然后结合二倍角及和差角公式对sinA+sinB进行化简，构造函数，对其求导，结合导数分析函数的单调性，进而可求．
此题主要考查了正弦定理，和差角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了导数与单调性关系在函数最值中的应用，属于中档题．
8.【答案】D;
【解析】解：如图1，几何体由3个正方体构成，
则该几何体的体积V=3，故A可能：
如图2，几何体由4个正方体构成，
则该几何体的体积V=4，故B可能；
如图3，几何体由5个正方体构成，
则该几何体的体积V=5，故C可能；
所以该几何体的体积最大为5.
故选：D.
分几何体由3个正方体构成，几何体由4个正方体构成，几何体由5个正方体构成三种情况讨论，即可得解．
此题主要考查空间几何体，考查学生的推理能力，属于中档题．
9.【答案】A;
【解析】解：由题意，f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是奇函数，可得f(0)=0，
∴φ=π2，
可得f(x)=-Asinωx，
其周期T=2πω.
∵图象过点M的坐标为(1,0)，
可得sinω=0，
那么ω=kπ，k∈Z，
由三角函数性质可得：E的坐标为(1+π2ω,A)
∵△MNE为等腰直角三角形，
∴A=π2ω，
又∵ω>0，
当k=1时，ω取得最小值为π，此时A最大为π2π=12.
∴函数f(x)=-12sinπx；
那么f(13)=-12sinπ3=-34.
故选：A.
根据f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是奇函数，可得f(0)=0，求出φ=π2，
根据图象过点M的坐标为(1,0)求出ω和E的坐标，根据A取最大值时，确定ω的值．可得f(x)解析式，从而求解f(13)的值．
此题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，f(x)是奇函数，可得f(0)=0，
求出E的坐标为(1+π2ω,A)是解决本题的关键．属于中档题．
10.【答案】A;
【解析】解：解法一：建立如图的空间右手直角坐标系，
根据题意得A(0,0,0)，B(0,0,1)，
P1(0,1,1)，P2(0,2,1)，P3(1,0,1)，P4(1,1,1)，
P5(1,2,1)，P6(2,0,1)，P7(2,1,1)，P8(2,2,1)，
∴AB→·AP1→=1，AB→·AP2→=1，AB→·AP3→=1，AB→·AP4→=1，AB→·AP5→=1，AB→·AP6→=1，AB→·AP7→=1，AB→·AP8→=1，
∴AB→·APi→(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1，
解法二：由向量数量积的几何定义知：
AB→·APi→等于|AB→|与APi→在AB→上的投影之积，
而|AB→|=1，APi→在AB→上的投影都为线段AB的长，
∴AB→·APi→=1×1=1，
∴AB→·APi→(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1，
故选：A.
解法一：建系，根据向量的数量积的坐标运算即可求解；
解法二：根据向量的数量积的几何定义，向量的投影即可求解．
此题主要考查向量的数量积的坐标运算，向量的数量积的几何定义，向量的投影，属基础题．
11.【答案】D;
【解析】
求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．
该题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用．
解：∵圆x2+y2+2x-6y+1=0⇔(x+1)2+(y-3)2=9，
圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称，
∴该直线经过圆心(-1,3)，
把圆心(-1,3)代入直线ax-by+3=0(a>0,b>0)，得：-a-3b+3=0
∴a+3b=3，a>0，b>0，
∴1a+3b=13×(1a+3b)(a+3b)=13(10+3ba+3ab)⩾163，
当且仅当3ba=3ab时取得最小值，
故选：D．
12.【答案】B;
【解析】解：设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
因为AB=6，MO=2，
所以点A(2,3)在抛物线上，
所以9=4p，故p=94，
所以抛物线的方程为y2=92x，
所以抛物线的焦点F的坐标为(98,0)，准线方程为x=-98，
在方程y2=92x中取x=158可得y2=13516>4，
所以点Q在抛物线内，过点P作PP'与准线垂直，P'为垂足，
点Q作QQ'与准线垂直，Q'为垂足，则|PF|=|PP'|，
所以|PF|+|PQ|=|PP'|+|PQ|⩾|QQ'|=158+98=3，
当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以|PF|+|PQ|的最小值为3，
故选：B.
由已知点(2,3)在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求|PF|+|PQ|的最小值．
此题主要考查抛物线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
13.【答案】D;
【解析】
该题考查抽象函数的单调性以及奇偶性，函数的图象变换，求解不等式，关键是分析f(x)的奇偶性．
根据题意，分析可得函数f(x)为偶函数，结合函数的单调性分析可得f(x-2)⩽1⇒f(|x-2|)⩽f(|-2|)⇒|x-2|⩽2，解可得x的取值范围，即可得答案．
解；根据题意，f(x+2)关于x=-2对称，则f(x)为偶函数，且f(-2)=f(2)=1，
则f(x-2)⩽1⇒f(|x-2|)⩽f(|-2|)，
又f(x)在(0,+∞)单调递增，
所以|x-2|⩽2，解可得0⩽x⩽4；
故选：D．
14.【答案】2;
【解析】【分析】
根据条件即可求出a→·b→=1,a→2=2，由tb→-a→与a→垂直，即可得出(tb→-a→)⋅a→=t-2=0，从而可求出t的值．
考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件．
【解答】
解：∵|a→|=2,|b→|=1，且a→与b→的夹角为45°；
∴a→·b→=1,a→2=2；
又tb→-a→与a→垂直；
∴(tb→-a→)·a→=ta→·b→-a→2=t-2=0；
∴t=2．
故答案为：2．
15.【答案】14;
【解析】解：作出不等式组x+y⩽10x-y⩽2x⩾4表示的平面区域，
得到如图的ΔABC及其内部，其中A(4,2)，B(4,6)，C(6,4)
设z=F(x,y)=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最小值=F(4,2)=14
故答案为：14
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ΔABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y对应的直线进行平移，可得当x=4且y=2时，z=2x+3y取得最小值．
本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+3y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
16.【答案】y={6x,0<;x≤10,8x-20,10<;x≤20,10x-60,x>;20,;15;
【解析】略
17.【答案】60∘;
【解析】解：设点A到平面A1BD的距离为h，在长方体ABCD-B1C1D1中，AA1=12，AB=1，AD=3，
则A1D=132，BD=2，A1B=52，在△A1BD中，由余弦定理得cs∠BA1D=165，
所以sin∠BA1D=865，从而S△A1BD=12·52·132·sin∠BA1D=1，
因为VA1-ABD=VA-A1BD，即13·S△ABD·AA1=13·S△A1BD·h，解得h=34，
设直线AA1与平面A1BD所成的角为，则sinθ=hAA1=32，所以θ=60∘.
18.【答案】x2-y23=1;
【解析】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1的一条渐近线l的方程为y=bax，
由题意可得ba=tanπ3=3，
即b=3a，
由C的一个焦点到l的距离为3，可得
bca2+b2=b=3，
解得a=1，
则双曲线的方程为x2-y23=1．
故答案为：x2-y23=1．
求出双曲线的一条渐近线方程，可得b=3a，再由点到直线的距离公式，计算可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．
此题主要考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
19.【答案】解：（1）根据图象可以得到A=2，T=4(5π12-π6)=π，
所以ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）．
又f(5π12)=2，所sin（5π6+φ）=1，
所以5π6+ϕ=2kπ+π2(k∈Z)，即ϕ=2kπ-π3(k∈Z)．
因|ϕ|＜π2，所以ϕ=-π3．
所以f(x)=2sin(2x-π3)，f(0)=2sin(-π3)=-3．
（2）由-π3≤x≤π4，得-π≤2x-π3≤π6，
所以-1≤sin(2x-π3)≤12，所以-2≤f（x）≤1，
故当x=-π12时，f（x）取得最小值-2；当x=π4时，f（x）取得最大值1．
（3）先将y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y=2sinx的图象；
再将y=2sinx的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到y=2sin(x-π3)的图象；
最后将y=2sin(x-π3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到f(x)=2sin(2x-π3)的图象．
注：其他解法相应给分．;
【解析】
(1)根据图象先算出A，ω，再带入求ϕ，求出解析式后再求f(0)；(2)先求出ωx+ϕ的范围再求函数的最值；(3)运用三角函数的图象变换求解．
此题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
20.【答案】证明：(Ⅰ)取AC中点G，连接FG、BG，
∵F，G分别是AD，AC的中点
∴FG//CD，且FG=12DC=1．
∵BE//CD∴FG与BE平行且相等
∴EF//BG．
EF⊄面ABC，BG⊂面ABC
∴EF//面ABC
(Ⅱ)∵ΔABC为等边三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG⊂面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，
∴BG⊥面ADC.
∵EF//BG
∴EF⊥面ADC
∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC.
解：(Ⅲ)
方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC．
VA-BCDE=VE-ABC+VE-ACD=13×34×1+13×1×32=312+36=34．
方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO为VA-BCDE的高，AO=32,SBCDE=(1+2)×12=32，∴VA-BCDE=13×32×32=34．;
【解析】
(Ⅰ)取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF//BG，再结合线面平行的判定定理得到EF//面ABC；
(Ⅱ)根据已知中ΔABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；
(Ⅲ)方法一：四棱锥四棱锥A-BCDE分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC，分别求出三棱锥E-ABC和E-ADC的体积，即可得到四棱锥A-BCDE的体积．
方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO⊥平面BCDE，即AO为VA-BCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥A-BCDE的体积．
该题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．
21.【答案】解：（1）由已知{an}为等差数列，记其公差为d．
①当n≥2时，an+1+n=2an+1an+n-1=2an-1+1，两式相减可得d+1=2d，
所以d=1，
②当n=1时，a2+1=2a1+1，所以a1=1．
所以an=1+n-1=n；
（2）Sn=n(n+1)2，1Sn=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，
所以Tn=2[(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1)]=2(1-1n+1)=2nn+1．;
【解析】该题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．
(1)设等差数列的公差为d，将已知等式中的n换为n-1，相减可得公差d=1，再令n=1，可得首项，进而得到所求通项公式；
(2)由等差数列的求和公式可得Sn，求得1Sn=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
22.【答案】;
【解析】
首先把椭圆的方程转换为标准式，进一步利用椭圆的定义和三点共线建立不等式，最后求出|PA|+|PF|的最大值和最小值
此题主要考查的知识要点：椭圆的定义，椭圆的方程，不等式的性质，三点共线问题，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
23.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.;
【解析】(1)依题意，得因为
(Ⅱ)令当 当 当 又 因此， 当要使得不等式恒成立，则所以，存在最小的正整数使得不等式恒成立。
考点：导数的应用．
一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）已知集合A={x|x2⩽4}，集合B={x|x>0}，则A∪B=()
A. (-∞,-2]B. [-2,0)
C. [-2,+∞)D. (0,2]
2.（5分）若z=-1+3i，则zzz--1=()
A. -1+3iB. -1-3iC. -13+33iD. -13-33i
3.（5分）下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0,+∞)，当x1
A. f(x)=1xB. f(x)=(x-1)2
C. f(x)=exD. f(x)=ln(x+1)
4.（5分）正项等比数列{an}中，a1+a3=5，a5-a1=15，则an=( )
A. 2B. 2n+1C. 2nD. 2n-1
5.（5分）设x∈R，则“0
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.（5分）已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，则下列命题中错误的是( )
A. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
B. 若m//α，α∩β=n，则m//n
C. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
D. 若m//n，α//β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等
7.（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csC=b-a2a，则sinB+sinA的取值范围是()
A. (32,32)B. (1,3]
C. (2,32)D. (2,839]
8.（5分）某几何体是由若干个棱长为1的正方体组合而成，其正视图与侧视图如图所示，则该几何体的体积不可能为()
A. 3B. 4C. 5D. 6
9.（5分）已知奇函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，点M的坐标为(1,0)且△MNE为等腰直角三角形，当A取最大值时，f(13)等于()
A. -34B. -32C. -12D. -1
10.（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1,2,…，8)是上底面上其余的八个点，则AB→·APi→(i=1,2,…,8)的不同值的个数为()
A. 1B. 2C. 4D. 8
11.（5分）圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称，则1a+3b的最小值是( )．
A. 23B. 203C. 4D. 163
12.（5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB=6，深度MO=2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点Q(158,2)，则|PF|+|PQ|的最小值为()
A. 4B. 3C. 2D. 1
13.（5分）函数f(x)在(0,+∞)单调递增，且f(x+2)关于x=-2对称，若f(-2)=1，则f(x-2)⩽1的x的取值范围是( )
A. [-2,2]B. (-∞,-2]∪[2,+∞)
C. (-∞,0]∪[4,+∞)D. [0,4]
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知|a→|=2，|b→|=1|，a→与b→的夹角为45°，若tb→-a→与a→垂直，则实数t=_________．
15.（5分）设实数x和y满足约束条件x+y⩽10x-y⩽2x⩾4，则z=2x+3y的最小值为 ______ .
16.（5分）【典例】某种物资实行阶梯价格制度，具体见表：则一户居民使用该物资的年花费y元关于年用量x千克的函数关系式为_______________；
若某居民使用该物资的年花费为100元，则该户居民的年用量为_______________千克.
17.（5分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=12，AB=1，AD=3，则直线AA1与平面A1BD所成的角为_______.
18.（5分） 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的一条渐近线l的倾斜角为π3，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的方程为______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)在[-π3,π4]上的最大值和最小值；
(3)不画图，说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样变化得到．
20.（12分）已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE//CD，F为AD的中点．
(Ⅰ)求证：EF//面ABC；
(Ⅱ)求证：平面ADE⊥平面ACD；
(Ⅲ)求四棱锥A-BCDE的体积．
21.（12分）已知等差数列{an}满足an+1+n=2an+1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，求数列{1Sn}的前n项和Tn．
22.（12分）已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，求|PA|+|PF|的最大值和最小值．
23.（12分）已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？如果
存在，请求出最小的正整数，如果不存在，请说明理由。
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】略
2.【答案】C;
【解析】解：∵z=-1+3i，∴z·z-=|z|2=((-1)2+(3)2)2=4，
则zzz--1=-1+3i4-1=-13+33i.
故选：C.
由已知求得z·z-，代入zzz--1，则答案可求．
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.【答案】A;
【解析】
该题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和对数函数的单调性的应用．
根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在(0,+∞)上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和对数函数的单调性进行判断．
解：∵对任意x1、x2∈(0,+∞)，当x1
∴函数在(0,+∞)上是减函数；
A、由反比例函数的性质知，f(x)=1x在(0,+∞)上是减函数，故A正确；
B、由于f(x)=(x-1)2，由二次函数的性质知，在(0,1)上是减函数，
在(1,+∞)上是增函数，故B不对；
C、由于e>1，则由指数函数的单调性知，在(0,+∞)上是增函数，故C不对；
D、根据对数的真数大于零，得函数的定义域为(-1,+∞)，由于e>1，则由对数函数的单调性知，在(0,+∞)上是增函数，故D不对；
故选：A．
4.【答案】D;
【解析】解：依题意，a1+a3=5，a5-a1=15，
所以a1+a1q2=5, ①a1q4-a1=15, ②，所以① ②得q2-1=3，即q2=4，
又因为数列{an}为正项等比数列，
所以q=2，a1=1，
所以an=a1qn-1=2n-1，
故选：D．
依题意，将a1+a3=5，a5-a1=15，转化为a1和q的算式，解得a1，q，即可得到an．
此题主要考查了等比数列的通项公式，考查分析解决问题的能力，属于基础题．
5.【答案】B;
【解析】
该题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．
解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
解：∵|x-1|<1，∴0
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
在A中，由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理得m⊥n；在B中，m与n平行或异面；在C中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在D中，由线面角的定义得m与α所成的角和n与β所成的角相等，
解：由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，知：
在A中，若m⊥α，n//α，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理得m⊥n，故A正确；
在B中，若m//α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故B错误；
在C中，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；
在D中，若m//n，α//β，则由线面角的定义得m与α所成的角和n与β所成的角相等，故D正确．
故选：B．
7.【答案】D;
【解析】解：因为csC=b-a2a，
由正弦定理得2sinAcsC=sinB-sinA=sin(A+C)-sinA=sinAcsC+sinCcsA-sinA，
即sinAcsC-sinCcsA=-sinA，
所以sin(C-A)=sinA，
所以C-A=A，即C=2A，
由题意得{0
令f(x)=4x-4x3，(12
易得，当12
又f(12)=32，f(22)=2，
所以f(x)∈(2,839].
故选：D.
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求导A，C的关系，结合锐角三角形条件可求A的范围，然后结合二倍角及和差角公式对sinA+sinB进行化简，构造函数，对其求导，结合导数分析函数的单调性，进而可求．
此题主要考查了正弦定理，和差角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了导数与单调性关系在函数最值中的应用，属于中档题．
8.【答案】D;
【解析】解：如图1，几何体由3个正方体构成，
则该几何体的体积V=3，故A可能：
如图2，几何体由4个正方体构成，
则该几何体的体积V=4，故B可能；
如图3，几何体由5个正方体构成，
则该几何体的体积V=5，故C可能；
所以该几何体的体积最大为5.
故选：D.
分几何体由3个正方体构成，几何体由4个正方体构成，几何体由5个正方体构成三种情况讨论，即可得解．
此题主要考查空间几何体，考查学生的推理能力，属于中档题．
9.【答案】A;
【解析】解：由题意，f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是奇函数，可得f(0)=0，
∴φ=π2，
可得f(x)=-Asinωx，
其周期T=2πω.
∵图象过点M的坐标为(1,0)，
可得sinω=0，
那么ω=kπ，k∈Z，
由三角函数性质可得：E的坐标为(1+π2ω,A)
∵△MNE为等腰直角三角形，
∴A=π2ω，
又∵ω>0，
当k=1时，ω取得最小值为π，此时A最大为π2π=12.
∴函数f(x)=-12sinπx；
那么f(13)=-12sinπ3=-34.
故选：A.
根据f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是奇函数，可得f(0)=0，求出φ=π2，
根据图象过点M的坐标为(1,0)求出ω和E的坐标，根据A取最大值时，确定ω的值．可得f(x)解析式，从而求解f(13)的值．
此题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，f(x)是奇函数，可得f(0)=0，
求出E的坐标为(1+π2ω,A)是解决本题的关键．属于中档题．
10.【答案】A;
【解析】解：解法一：建立如图的空间右手直角坐标系，
根据题意得A(0,0,0)，B(0,0,1)，
P1(0,1,1)，P2(0,2,1)，P3(1,0,1)，P4(1,1,1)，
P5(1,2,1)，P6(2,0,1)，P7(2,1,1)，P8(2,2,1)，
∴AB→·AP1→=1，AB→·AP2→=1，AB→·AP3→=1，AB→·AP4→=1，AB→·AP5→=1，AB→·AP6→=1，AB→·AP7→=1，AB→·AP8→=1，
∴AB→·APi→(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1，
解法二：由向量数量积的几何定义知：
AB→·APi→等于|AB→|与APi→在AB→上的投影之积，
而|AB→|=1，APi→在AB→上的投影都为线段AB的长，
∴AB→·APi→=1×1=1，
∴AB→·APi→(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1，
故选：A.
解法一：建系，根据向量的数量积的坐标运算即可求解；
解法二：根据向量的数量积的几何定义，向量的投影即可求解．
此题主要考查向量的数量积的坐标运算，向量的数量积的几何定义，向量的投影，属基础题．
11.【答案】D;
【解析】
求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．
该题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用．
解：∵圆x2+y2+2x-6y+1=0⇔(x+1)2+(y-3)2=9，
圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称，
∴该直线经过圆心(-1,3)，
把圆心(-1,3)代入直线ax-by+3=0(a>0,b>0)，得：-a-3b+3=0
∴a+3b=3，a>0，b>0，
∴1a+3b=13×(1a+3b)(a+3b)=13(10+3ba+3ab)⩾163，
当且仅当3ba=3ab时取得最小值，
故选：D．
12.【答案】B;
【解析】解：设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
因为AB=6，MO=2，
所以点A(2,3)在抛物线上，
所以9=4p，故p=94，
所以抛物线的方程为y2=92x，
所以抛物线的焦点F的坐标为(98,0)，准线方程为x=-98，
在方程y2=92x中取x=158可得y2=13516>4，
所以点Q在抛物线内，过点P作PP'与准线垂直，P'为垂足，
点Q作QQ'与准线垂直，Q'为垂足，则|PF|=|PP'|，
所以|PF|+|PQ|=|PP'|+|PQ|⩾|QQ'|=158+98=3，
当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以|PF|+|PQ|的最小值为3，
故选：B.
由已知点(2,3)在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求|PF|+|PQ|的最小值．
此题主要考查抛物线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
13.【答案】D;
【解析】
该题考查抽象函数的单调性以及奇偶性，函数的图象变换，求解不等式，关键是分析f(x)的奇偶性．
根据题意，分析可得函数f(x)为偶函数，结合函数的单调性分析可得f(x-2)⩽1⇒f(|x-2|)⩽f(|-2|)⇒|x-2|⩽2，解可得x的取值范围，即可得答案．
解；根据题意，f(x+2)关于x=-2对称，则f(x)为偶函数，且f(-2)=f(2)=1，
则f(x-2)⩽1⇒f(|x-2|)⩽f(|-2|)，
又f(x)在(0,+∞)单调递增，
所以|x-2|⩽2，解可得0⩽x⩽4；
故选：D．
14.【答案】2;
【解析】【分析】
根据条件即可求出a→·b→=1,a→2=2，由tb→-a→与a→垂直，即可得出(tb→-a→)⋅a→=t-2=0，从而可求出t的值．
考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件．
【解答】
解：∵|a→|=2,|b→|=1，且a→与b→的夹角为45°；
∴a→·b→=1,a→2=2；
又tb→-a→与a→垂直；
∴(tb→-a→)·a→=ta→·b→-a→2=t-2=0；
∴t=2．
故答案为：2．
15.【答案】14;
【解析】解：作出不等式组x+y⩽10x-y⩽2x⩾4表示的平面区域，
得到如图的ΔABC及其内部，其中A(4,2)，B(4,6)，C(6,4)
设z=F(x,y)=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最小值=F(4,2)=14
故答案为：14
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ΔABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y对应的直线进行平移，可得当x=4且y=2时，z=2x+3y取得最小值．
本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+3y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
16.【答案】y={6x,0<;x≤10,8x-20,10<;x≤20,10x-60,x>;20,;15;
【解析】略
17.【答案】60∘;
【解析】解：设点A到平面A1BD的距离为h，在长方体ABCD-B1C1D1中，AA1=12，AB=1，AD=3，
则A1D=132，BD=2，A1B=52，在△A1BD中，由余弦定理得cs∠BA1D=165，
所以sin∠BA1D=865，从而S△A1BD=12·52·132·sin∠BA1D=1，
因为VA1-ABD=VA-A1BD，即13·S△ABD·AA1=13·S△A1BD·h，解得h=34，
设直线AA1与平面A1BD所成的角为，则sinθ=hAA1=32，所以θ=60∘.
18.【答案】x2-y23=1;
【解析】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1的一条渐近线l的方程为y=bax，
由题意可得ba=tanπ3=3，
即b=3a，
由C的一个焦点到l的距离为3，可得
bca2+b2=b=3，
解得a=1，
则双曲线的方程为x2-y23=1．
故答案为：x2-y23=1．
求出双曲线的一条渐近线方程，可得b=3a，再由点到直线的距离公式，计算可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．
此题主要考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
19.【答案】解：（1）根据图象可以得到A=2，T=4(5π12-π6)=π，
所以ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）．
又f(5π12)=2，所sin（5π6+φ）=1，
所以5π6+ϕ=2kπ+π2(k∈Z)，即ϕ=2kπ-π3(k∈Z)．
因|ϕ|＜π2，所以ϕ=-π3．
所以f(x)=2sin(2x-π3)，f(0)=2sin(-π3)=-3．
（2）由-π3≤x≤π4，得-π≤2x-π3≤π6，
所以-1≤sin(2x-π3)≤12，所以-2≤f（x）≤1，
故当x=-π12时，f（x）取得最小值-2；当x=π4时，f（x）取得最大值1．
（3）先将y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y=2sinx的图象；
再将y=2sinx的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到y=2sin(x-π3)的图象；
最后将y=2sin(x-π3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到f(x)=2sin(2x-π3)的图象．
注：其他解法相应给分．;
【解析】
(1)根据图象先算出A，ω，再带入求ϕ，求出解析式后再求f(0)；(2)先求出ωx+ϕ的范围再求函数的最值；(3)运用三角函数的图象变换求解．
此题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
20.【答案】证明：(Ⅰ)取AC中点G，连接FG、BG，
∵F，G分别是AD，AC的中点
∴FG//CD，且FG=12DC=1．
∵BE//CD∴FG与BE平行且相等
∴EF//BG．
EF⊄面ABC，BG⊂面ABC
∴EF//面ABC
(Ⅱ)∵ΔABC为等边三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG⊂面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，
∴BG⊥面ADC.
∵EF//BG
∴EF⊥面ADC
∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC.
解：(Ⅲ)
方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC．
VA-BCDE=VE-ABC+VE-ACD=13×34×1+13×1×32=312+36=34．
方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO为VA-BCDE的高，AO=32,SBCDE=(1+2)×12=32，∴VA-BCDE=13×32×32=34．;
【解析】
(Ⅰ)取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF//BG，再结合线面平行的判定定理得到EF//面ABC；
(Ⅱ)根据已知中ΔABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；
(Ⅲ)方法一：四棱锥四棱锥A-BCDE分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC，分别求出三棱锥E-ABC和E-ADC的体积，即可得到四棱锥A-BCDE的体积．
方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO⊥平面BCDE，即AO为VA-BCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥A-BCDE的体积．
该题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．
21.【答案】解：（1）由已知{an}为等差数列，记其公差为d．
①当n≥2时，an+1+n=2an+1an+n-1=2an-1+1，两式相减可得d+1=2d，
所以d=1，
②当n=1时，a2+1=2a1+1，所以a1=1．
所以an=1+n-1=n；
（2）Sn=n(n+1)2，1Sn=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，
所以Tn=2[(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1)]=2(1-1n+1)=2nn+1．;
【解析】该题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．
(1)设等差数列的公差为d，将已知等式中的n换为n-1，相减可得公差d=1，再令n=1，可得首项，进而得到所求通项公式；
(2)由等差数列的求和公式可得Sn，求得1Sn=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
22.【答案】;
【解析】
首先把椭圆的方程转换为标准式，进一步利用椭圆的定义和三点共线建立不等式，最后求出|PA|+|PF|的最大值和最小值
此题主要考查的知识要点：椭圆的定义，椭圆的方程，不等式的性质，三点共线问题，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
23.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.;
【解析】(1)依题意，得因为
(Ⅱ)令当 当 当 又 因此， 当要使得不等式恒成立，则所以，存在最小的正整数使得不等式恒成立。
考点：导数的应用．
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