高考数学2025 二项式定理 专项训练29（word版）

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一、二项式定理
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展开式具有以下特点：
（1）项数：共项.
（2）二项式系数：依次为组合数.
（3）每一项的次数是一样的，都为次，展开式依的降幂、的升幂排列展开.特别地，.
二、二项式展开式的通项（第项）
二项式展开的通项为.其中的二项式系数.令变量（常用）取1，可得的系数.
注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①分清是第项，而不是第项；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②在通项公式中，含这6个参数，只有是独立的，在未知的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求和.
三、二项式展开式中的系数
（1）二项式系数与项的系数
二项式系数仅指而言，不包括字母所表示的式子中的系数.例如：的展开式中，含有的项应该是，其中叫做该项的二项式系数，而的系数应该是（即含项的系数）.
二项式系数的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即，…，.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②二项展开式中间项的二项式系数最大.
如果二项式的幂指数是偶数，中间项是第项，其二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，它们的二项式系数和相等并且最大.
（3）二项式系数和与系数和
= 1 \* GB3 ①二项式系数和 .
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，
.
= 2 \* GB3 ②系数和
求所有项系数和，令；求变号系数和，令；求常数项，令。
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
（多选题）例2.（2022·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________.
例4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________．
例5．（2022·全国·高三专题练习）除以的余数是____．
设复数(是虚数单位)，则____．
例6．（2022·全国·高三专题练习）求的展开式中含的项．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．24D．
2．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中项的系数为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知，二项式的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（ ）
A．66B．36C．30D．6
4．（2022·全国·高三专题练习（理））的展开式中的中间项为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1B．1C．±1D．2
6．（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．512B．210
C．211D．212
7．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（ ）
A．1B．20
C．21D．31
8．（2022·全国·高三专题练习）若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为（ ）
A．－4B．
C．4D．
9．（2022·全国·高三专题练习（理））的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．24D．36
10．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习（理））已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（ ）
A．1B．3C．7D．13
11．（2021·全国·高三专题练习）今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（ ）
A．星期二B．星期三C．星期四D．星期五
12．（2021·全国·高三专题练习（理））在QBasic等程序语言中，通常用表示除以后得到的余数，例如，．则等于（ ）
A．1B．3C．9D．7
13．（2021·河南驻马店·高三阶段练习（理））若，且, 则实数的值为
A．1或3B．-3C．1D．1或 -3
二、多选题
14．（2022·江苏·高三专题练习）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）
A．二项展开式中各项系数之和为B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为
15．（2022·全国·模拟预测）下列关于多项式的展开式的结论中，正确的是（ ）
A．各项系数之和为B．各项系数的绝对值之和为
C．不存在项D．常数项为
16．（2022·全国·高三专题练习）设，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．中最大的是
D．当时，除以2000的余数是1
17．（2021·广东·高三阶段练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7B．8
C．9D．10
19．（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为128B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项D．有理项共3项
20．（2022·全国·高三专题练习）已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
21．（2022·全国·高三专题练习）若(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8且a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m的值为（ ）
A．1B．－1
C．－3D．3
三、填空题
22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为，则该展开式中的常数项是_______．(用数字作答)
23．（2022·浙江·高三专题练习）若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是___________.
24．（2022·天津南开·高三期末）二项式的展开式中，常数项是________.
25．（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________.
26．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中的系数是___________．
27．（2022·全国·高三专题练习（理））若在的展开式中第项的二项式系数最大，则的展开式中，常数项是___________.
28．（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中，含的项是第四项，则展开式中的二项式系数和为______．
29．（2021·全国·高三开学考试（理））的展开式中各项系数之和为，则该展开式中的系数为___________.
30．（2021·江苏·盐城中学一模）若，则__________．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知（x-3y）n的展开式中，第5项的二项式系数与第12项的二项式系数相等，则展开式共有___________项.
32．（2021·福建·上杭一中模拟预测）除以88的余数是______．
33．（2021·福建三明·模拟预测）设且，若能被5整除，则等于___________.
34．（2021·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.
四、解答题
35．（2022·全国·高三专题练习）在(2x－3y)10的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和.
36．（2022·全国·高三专题练习）设，求：
（1）；
（2）；
（3）．
37．（2022·全国·高三专题练习）已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；
（2）|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
（3）a1＋a3＋a5.
五、双空题
38．（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式的二项式系数之和为，则__________；的系数为__________用数字作答
39．（2022·全国·高三专题练习）二项式的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.
40．（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，第项的二项式系数是___________，第项的系数是___________.
41．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则___________.___________.