新高考数学二轮复习巩固练习18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究（2份打包，原卷版+解析版）

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交点轨迹问题的常用技巧：
1、两直线方程相乘消元
2、两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元
3、定比点差法
4、同构
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
【解析】(1)由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)方法1：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
依题意有 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
方法2：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0 联立得：
SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线MN的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
(3)方法1：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线PM的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线ON的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
联立两方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ①
结合（2）方法2，可得 SKIPIF 1 < 0
代入①得 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 .
所以直线PM与QN的交点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
方法2：设直线MN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0 联立得：
SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由根与系数的关系，得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，联立两方程，可得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
所以直线PM与QN的交点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为原点，其焦点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为切点，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，并证明直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)过（2）中的点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交点 SKIPIF 1 < 0 满足的轨迹方程．
【解析】(1)设抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是以上方程的两根，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在切线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，
则交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设过 SKIPIF 1 < 0 点的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴点 SKIPIF 1 < 0 满足的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点．试求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程．
【解析】(1)由题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
（i）若 SKIPIF 1 < 0 轴，可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 轴，可设 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 （记为① SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，可知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 （记为② SKIPIF 1 < 0 ，
将②代入①，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
综合（1）、（2），可知点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
例4．（2023·全国·高三开学考试）椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，动点A，B在椭圆上（不含长轴端点），且关于y轴对称，P为椭圆上异于A，B的动点，直线PA与PB分别交y轴于M，N两点求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点在定圆上.
【解析】(1)解：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入方程得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 方程： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由BP方程： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②相乘得 SKIPIF 1 < 0 ，③
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆上可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入③式可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点在定圆 SKIPIF 1 < 0 上.
例5．（【全国市级联考】山西省晋中市2023届高三1月高考适应性调研考试数学（理）试题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的焦点是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的右焦点，且两曲线有公共点 SKIPIF 1 < 0
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为零的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相较于点 SKIPIF 1 < 0 ，试判断点 SKIPIF 1 < 0 是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
【解析】试题分析：（1）由条件易得： SKIPIF 1 < 0 ，从而得到椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）先由特殊位置定出 SKIPIF 1 < 0 ，猜想点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，由条件可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在， 设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可.
试题解析：
（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）方法一
当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的上顶点时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的下顶点时，由对称性知： SKIPIF 1 < 0 .
猜想点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，证明如下：
由条件可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在， 设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，
消 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 有两个不等的实根，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0
联立两直线方程得 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 点横坐标）
将 SKIPIF 1 < 0 代入上述方程中可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，此式成立
∴点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
方法二
由条件可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在， 设直线 SKIPIF 1 < 0
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，
消 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 有两个不等的实根，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，有： SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，有： SKIPIF 1 < 0
上两式相比得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上．
例6．（安徽省淮北市树人高级中学、萧县实验中学2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上，并求出此定直线的方程．
【解析】解:
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以c=1,
由题意知: SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
则椭圆的方程为: SKIPIF 1 < 0 .
(2)由椭圆对称性知G在 SKIPIF 1 < 0 上,假设直线 l过椭圆上顶点,则 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 其交点 SKIPIF 1 < 0 ,
所以G在定直线x=1上;
当M不在椭圆顶点时,设 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,整理得: SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当x=1时, SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,
上式显然成立,
所以G在定直线x=1上.
例7．（【全国百强校】黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高三4月月考数学（理）试题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C相交于点M，N，椭圆C的左右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上，并求出定直线的方程.
【解析】(1)离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ①，椭圆经过点 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ②，由①②联立方程组，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
(2)由椭圆的对称性可知点G一定在 SKIPIF 1 < 0 上，假设直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆的上顶点，则M SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，显然直线 SKIPIF 1 < 0 过定点（4，0）所以 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆方程与直线方程联立，求出点N的坐标为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
两方程联立，解得交点 SKIPIF 1 < 0 ，所以G在定直线 SKIPIF 1 < 0 上．
当M不是椭圆顶点时，设 SKIPIF 1 < 0
椭圆方程与直线 SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 消去y，整理得 SKIPIF 1 < 0
所以有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 把 SKIPIF 1 < 0 代入整理得：
SKIPIF 1 < 0 所以有 SKIPIF 1 < 0 显然成立，
所以G在定直线 SKIPIF 1 < 0 上．
例8．（山西省晋城市2023届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右两个顶点.若过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线.
【解析】(1)设点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)易知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线.
例9．（广东省东莞市2022-2023学年度第一学期期末教学质量检查高三数学试题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，记椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为2.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）不过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．试问：直线 SKIPIF 1 < 0 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】(1)设椭圆C的长半轴为a．依题意， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 的面积为2得 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
所以，椭圆C的方程是 SKIPIF 1 < 0
(2)将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （*）
设 SKIPIF 1 < 0 则． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式并化简得
整理得 SKIPIF 1 < 0
将式代入 SKIPIF 1 < 0
由直线不过点B得 SKIPIF 1 < 0 ，从而化简后： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
【过关测试】
1．（四川省2023届高三大数据精准教学第二次统一监测数学试题）在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P是坐标平面内的动点，且直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积等于 SKIPIF 1 < 0 .设点P的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹C相交于M，N两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.
【解析】（1）设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故轨迹C的方程为： SKIPIF 1 < 0
（2）根据题意，可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去x并整理得 SKIPIF 1 < 0
其中， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角不为0，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不等于 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不为0），
从而可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ①，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ②，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 的坐标满足：
SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，即点Q在直线 SKIPIF 1 < 0 上.
所以，探究发现的结论是正确的.
2．（浙江省杭州第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知圆 SKIPIF 1 < 0 以及圆 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求过点（1，2），并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，过点D作斜率非0的直线 SKIPIF 1 < 0 ，交圆M于P、Q两点.
（i）过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
（ii）设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【解析】（1）联立两圆方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则所求圆所过点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 的中垂线为 SKIPIF 1 < 0 轴，则可设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，故圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）（i）由 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 过点D且斜率非0，则可设 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 过点D，则可设 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，
故四边形EPFQ的面积为S最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
（ii）设 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
N在定直线 SKIPIF 1 < 0 .
3．（江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积．即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心为坐标原点，焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均在x轴上，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，且短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ．椭圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的离心率．
（1）求m的值与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点A作直线l，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于另一点B，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于P，Q两点（点P在A，Q之间）．
①求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值（O为坐标原点）；
②设PQ的中点为M，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为C，直线OM与直线BC的交点为N，试探究点N是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在x轴上，所以 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 得焦点在y轴上，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
（2）①当直线AB与x轴重合时，O，P，Q三点共线，不符合题意
故设直线AB的方程为： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由（1）知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
联立方程 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0
由韦达定理得： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为： SKIPIF 1 < 0
②由①知： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴直线OM的斜率： SKIPIF 1 < 0
则直线OM的方程为： SKIPIF 1 < 0
联立方程 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
则直线BC的方程为： SKIPIF 1 < 0
联立直线OM和BC的方程 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴点N在定值直线 SKIPIF 1 < 0 运动.
4．（湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为3.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程；
(2)若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，试探究直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ,
故双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（i）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
（ii）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可得：
SKIPIF 1 < 0 ，两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，（舍去 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 在定直线上，且定直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
5．（上海市格致中学2023届高三上学期期中数学试题）椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的顶点，若椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个交点是P， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)点M是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意不同于其顶点的动点，设直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的乘积为定值；
(3)过点 SKIPIF 1 < 0 任作一动直线l交椭圆 SKIPIF 1 < 0 与A，B两点，记 SKIPIF 1 < 0 ，若在直线AB上取一点R，使得 SKIPIF 1 < 0 ，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.
【解析】（1）有由题可知： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
（3）依题可知：直线的斜率存在，设方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
6．（黑龙江省齐齐哈尔市2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆的右焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上的动点， SKIPIF 1 < 0 的最大值为3.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试探究点 SKIPIF 1 < 0 是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其与 SKIPIF 1 < 0 联立，
消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②得 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ③，
直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ④，
联立③④得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
7．（湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）在平面直角坐标系中，圆M是以 SKIPIF 1 < 0 两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称．
(1)求圆N的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，过点C作直线 SKIPIF 1 < 0 ，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．
①过点C作与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ，交圆N于 SKIPIF 1 < 0 两点，记四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为S，求S的最大值；
②设直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【解析】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，故圆M的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0
圆M的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆N关于圆M关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以圆N的圆心为 SKIPIF 1 < 0
所以圆N的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
（ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
综上所述，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以S的最大值为7；
（ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组得： SKIPIF 1 < 0
消y得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立解得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点G在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
8．（江苏省南京市第九中学2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题）在平面直角坐标系中，圆M是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称.
(1)求圆N的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点C作直线 SKIPIF 1 < 0 ，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.
（i）过点C作与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
（ii）设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【解析】（1）由题意得：圆M的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心M即AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆M的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆N与圆M关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以圆N的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆N的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）依题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
（i）若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
综上所述，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以S的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线OP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线DQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点G在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
9．（【市级联考】江苏省盐城市2018~2019学年高三第二学期期末考试数学（文理合卷）试题）如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率相同．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间）．①求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值（ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）；②设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，试探究点 SKIPIF 1 < 0 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【解析】(1) 由椭圆 SKIPIF 1 < 0 方程知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 离心率： SKIPIF 1 < 0
又椭圆 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
（2）①当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合时， SKIPIF 1 < 0 三点共线，不符合题意
故设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由（1）知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
联立方程消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
即： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为： SKIPIF 1 < 0
②由①知： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率： SKIPIF 1 < 0
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
联立方程 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
联立直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上运动
10．（四川省内江市2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率非 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ，交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)过点 SKIPIF 1 < 0 作与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ，交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，记四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试讨论点 SKIPIF 1 < 0 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【解析】（1）由圆 SKIPIF 1 < 0 知，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率非0，
所以设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 的最大值为17.
（2）点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
则设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以联立 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
11．（一题打天下之椭圆与方程（39问））已知①如图，长为 SKIPIF 1 < 0 ，宽为 SKIPIF 1 < 0 的矩形 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆 SKIPIF 1 < 0 恰好过 SKIPIF 1 < 0 两点，
②设圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合，直线 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的平行线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，判断点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是否为椭圆，若是，求出椭圆方程，
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程，若 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点，过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点，试探究直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.
【解析】（1）若选①，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
若选②，如图所示，圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 点轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以不是椭圆；
（2）当斜率为 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都和 SKIPIF 1 < 0 轴重合，
当斜率不为 SKIPIF 1 < 0 时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立两直线方程可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
12．（【全国百强校】河北省邢台市育才中学2023届高三上学期第三次月考数学试题）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是焦距为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上非顶点的点，直 SKIPIF 1 < 0 线的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 （与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合）过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹是否是垂直 SKIPIF 1 < 0 轴的直线，若是，则求出 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹方程，若不是，请说明理由.
【解析】试题分析：
(1)由题意可求得 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
试题解析：
（1）设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上非顶点的点， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当过点 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，交点为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，由对称性可知交点为 SKIPIF 1 < 0 .
点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
当直线斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
13．（广东省新高考2023届高三下学期开学调研数学试题）已知 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且它们的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，试探究直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 是否在某条定直线上，若是求出该定直线方程，若不是请说明理由．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意可设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理有 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在定直线，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2021年全国高中名校名师原创预测卷数学（第四模拟））已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，上、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程．
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试判断点 SKIPIF 1 < 0 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，易得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
此时四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上．
显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，由题可设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ． ①
同理求得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ． ②
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上，且定直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
15．（江苏省南京师大附中2022-2023学年高三上学期期中数学试题）在平面直角坐标系xy中，已知椭圆C: SKIPIF 1 < 0 =1(a> b>0 )的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为 SKIPIF 1 < 0
（1）求a，b的值
（2）当过点P(6，0)的动直线1与椭圆C交于不同的点A，B时，在线段AB上取点Q，使得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，问点Q是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
【解析】（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得椭圆的方程为C: SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由题设知 SKIPIF 1 < 0 均不为零，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 四点共线，从而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，又点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ③， SKIPIF 1 < 0 ④，
所以 SKIPIF 1 < 0 ① SKIPIF 1 < 0 ②并结合③，④，得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 .即点 SKIPIF 1 < 0 总在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
16．（福建省泉州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为0的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试判断点 SKIPIF 1 < 0 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.
【解析】（1）依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组可得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
由根与系数的关系得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
联立两直线方程得到： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
17．（四川省成都市锦江区成都市盐道街中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程.
（2）若过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为0的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试判断点 SKIPIF 1 < 0 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.
【解析】（1）点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， ①
又因为椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， ②
联立方程①②可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据椭圆的对称性猜测点 SKIPIF 1 < 0 是与 SKIPIF 1 < 0 轴平行的直线 SKIPIF 1 < 0 上.
假设当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的上顶点时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 ，
则联立直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 可得点 SKIPIF 1 < 0 ，
据此猜想点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，下面对猜想给予证明：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
联立方程 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (*)，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立两直线方程得 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 点的横坐标)
即证： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
将(*)代入上式可得
SKIPIF 1 < 0 ，
此式明显成立，原命题得证.
所以点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上 SKIPIF 1 < 0 上
18．（江西省鹰潭市2023届高三第二次模拟考数学试题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点.过点 SKIPIF 1 < 0 任作一条不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的周长为8.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程.
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试判断点 SKIPIF 1 < 0 是否存在某条定直线 SKIPIF 1 < 0 上.若是，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据椭圆的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又由离心率 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，可得 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为4，
故点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 .
19．（重庆市第十一中学校2023届高三上学期12月月考数学试题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 任作一条不与y轴垂直的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的周长为8.
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试判断点 SKIPIF 1 < 0 是否在某条定直线点 SKIPIF 1 < 0 上，若是，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 的周长为8得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
联立得 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入整理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点D的横坐标为4，
故点D在直线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 .