新高考数学二轮复习提分练习23 痛点问题之概率统计经典解答题（2份，原卷版+解析版）

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★我们用三条主线将高中数学概率、统计的有关概念串联起来：
一是统计的基本研究过程：收集数据→整理数据→分析数据→统计推断．
二是随机事件的基本研究过程：随机事件→事件概率→基本概型．
三是随机变量的基本研究过程：随机变量→概率分布模型→分布列及数字特征．
【典型例题】
例1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数．
(1)若，求a的值；
(2)已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天．
（ⅰ）求的表达式；
（ⅱ）估计的近似值（精确到0.01）．
参考数值：，，，．
【解析】（1）由题意得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，
又，且，所以是的极小值点，故．
而，于是，解得．
下面证明当时，．
当时，，，，
所以当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，即符合题意．
综上，．
（2）（ⅰ）由于n人生日都不相同的概率为，
故n人生日至少有两人相同的概率为．
（ⅱ）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，
由（ⅰ）得
．
记，
则
，
即，由参考数值得，
于是，故．
例2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
【解析】（1）方法一：的所有可能取值为，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知，
所以，
故的分布列为：
所以的期望．
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
例3．（2023·山西·统考一模）假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
【解析】（1）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，
则，
.
（2）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，
则.
例4．（2023秋·浙江·高三校联考期末）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；
(3)取了，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．
【解析】（1）设取出的是第一次是一次性筷子为事件A，取出的是第二次非一次性筷子为事件B，
则 ， ，
所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率 ；
（2）对于 ，表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是由放回的， ；
对于，表示三次中有一次筷子，对应的情况有第一次，第二次，第三次是一次性筷子，
；
对于 ，表示三次中有一次是非一次性筷子，同样有第一次第二次第三次之分，
；

数学期望 ；
（3）n次取完表示最后一次是一次性筷子,则前次中有一次取得一次性筷子，
所以

例5．（2023·全国·高三专题练习）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各4投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【解析】（1）设各小长方形的宽度为，
由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知，
解得.
所以图中各小长方形的宽度为2.
（2）由（1）知各小组依次是，
各小组的中点分别为，对应的频率分别为，
所以可估计销售收益的平均值为.
（3）由（2）可知空白栏中填5，
由题意可知，
，，
根据公式，可求得，则，
所以所求的回归直线方程为.
例6．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙､丙､丁相互之间胜负的可能性相同.
(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
(2)求甲获得冠军的概率；
(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
【解析】（1）根据题意，乙获连负两场，所以1、4均负，
所以乙获连负两场的概率为.
（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，
所以甲获得冠军的概率为.
（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，
所以甲与乙在决赛相遇的概率为：，
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：
乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，
同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：
，
若乙的决赛对手是丁，则其概率与乙的决赛对手是丙相同，
所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为.
例7．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.
(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.
①参考数据：；
②参考公式：（i）线性回归方程：，其中；
（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.
（iii），其中.附表：
【解析】（1）（1）相关系数为
故与线性相关较强.
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，
即购买电动汽车与车主性别无关.
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于.
（3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为故
,,
故的分布列为：
例8．（2023·全国·高三专题练习）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表1：
根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.
参考数据：
其中，.
参考公式：
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
(1)根据散点图判断，在推广期内，与 （均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表1中的数据，求关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
【解析】（1）由于表中点的走势不在任何一条直线附近，因此应该是非线性的，故可判断适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型;
（2），两边同时取常用对数得: ;
设
，
，
把样本中心点代入，得:，
，
关于的回归方程式:.
把代入上式:,
故活动推出第8天使用扫码支付的人次为.
例9．（2023·全国·高三专题练习）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；
（参考数据：若随机变量，则，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.
【解析】（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
；
（2）∵，
∴.
（3）由题可知，
遥控车移到第格有两种可能：
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为；
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，
∴，
∴时，，又∵，
∴当时，数列首项为，公比为的等比数列，
∴，
以上各式相加，得，
∴时，，
∴到达“胜利大本营”的概率，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0，
∴的期望，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元
【过关测试】
1．（2023·高三课时练习）设两名象棋手约定谁先赢局，谁便赢得全部奖金a元.已知每局甲赢的概率为p(0