新高考数学二轮复习巩固练习21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习巩固练习21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习巩固练习21圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究原卷版doc、新高考数学二轮复习巩固练习21圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

1、基本思路
（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证.
（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯定型），由此得出问题的结论.
（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.
2、技巧总结
（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在.
（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明.
（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解（存在）.
（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，然后得出结论.
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l1是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，直线l2： SKIPIF 1 < 0 ，且l2与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在直线l1上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P1，P2，在平面内是否存在定点N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）作PA，PB分别垂直l1和l2，垂足为A，B，抛物线C的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线定义知|PA|＝|PF|，所以d1+d2＝|PA|+|PB|＝|PF|+|PB|，
显见d1+d2的最小值即为点F到直线l2的距离，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
所以抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）由（1）知直线l1的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，当点M在特殊位置 SKIPIF 1 < 0 时，
显见两个切点P1，P2关于y轴对称，故要使得MN⊥P1P2，点N必须在y轴上．
故设M SKIPIF 1 < 0 ，N SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线MP1的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线MP1的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又点M在直线MP1上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故x1和x2是一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的根，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
可见n＝1时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以存在定点N SKIPIF 1 < 0 ，使得MN⊥P1P2恒成立．
例2．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 （a＞1），点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点M在线段AB上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，直线OM的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点 SKIPIF 1 < 0 （t≠1），问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值，若不存在，说出理由．
【解析】（1）设点M的坐标 SKIPIF 1 < 0 ，点M在线段AB上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得：a＝2，
∴椭圆E的方程 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设直线l方程： SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
假设存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B，则 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，符合题意．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)经过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于两个不同点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 分别交于另一点 SKIPIF 1 < 0 .
①若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率都存在，并分别设为 SKIPIF 1 < 0 .是否存在实常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
②证明：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点.
【解析】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验满足题意.
（2）①因为 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 存在且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的值 SKIPIF 1 < 0
②由①知 SKIPIF 1 < 0 （*），
由对称性知 SKIPIF 1 < 0 过的定点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，在（*）
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0
例4．（2023·上海·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 是左、右焦点．设M是直线l： SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，连结 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆Γ于N（ SKIPIF 1 < 0 ）．直线l与x轴的交点为P，且M不与P重合．
(1)若M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)若PN与椭圆Γ相切于N且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)作N关于原点的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 上的任一点到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由于直线PN的斜率必存在，则设直线PN的方程： SKIPIF 1 < 0 ，
与椭圆方程联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由相切得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 x轴，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由于N与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是两组关于原点的对称点，由对称性知，
四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，故 SKIPIF 1 < 0 上的任一点到 SKIPIF 1 < 0 的距离均为两条平行线间的距离d．
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，易验证，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，不合要求，
由直线 SKIPIF 1 < 0 斜率 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
两式联立可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），代入椭圆的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，长轴是短轴的3倍，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得a＝3b，故椭圆C为 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在C上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆C的方程即为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由已知知直线l过 SKIPIF 1 < 0 ，设l的方程为x＝my＋1，
联立两个方程得 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （*），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
将（*）代入上式，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 为定值，则有 SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴t＝3，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线TM与TN斜率之积为定值 SKIPIF 1 < 0 ，此时t＝3.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)是否存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，若不存在，请说明理由.
【解析】(1)由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)存在满足题意的直线 SKIPIF 1 < 0 .
由题知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意，故舍去.
所以存在直线 SKIPIF 1 < 0 满足题意，其方程为 SKIPIF 1 < 0 .
例7．（2023·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的两个交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试问：是否存在一个定点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
【解析】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
故有 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据题意，可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
联立方程组，可得交点为 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由对称性可知交点 SKIPIF 1 < 0 ，
若点 SKIPIF 1 < 0 在同一直线上，则直线只能为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上，
以下证明：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 均在直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上.
由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，
所以当 SKIPIF 1 < 0 变化时，点 SKIPIF 1 < 0 均在直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以要使 SKIPIF 1 < 0 恒为等腰三角形，只需要 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线即可，根据对称性知，点 SKIPIF 1 < 0 .
故存在定点 SKIPIF 1 < 0 满足条件.
【过关测试】
1．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点P到点 SKIPIF 1 < 0 的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)设过点F且不与x轴重合的直线l与C交于A，B两点，求证：在曲线C上存在点P，使得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率成等差数列.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方并整理，得 SKIPIF 1 < 0 .
故所求C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：C的方程为 SKIPIF 1 < 0
当直线l的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，存在C上的点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率成等差数列；
当直线l的斜率存在且不为0时，可设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 消去x，得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
若存在点 SKIPIF 1 < 0 满足条件，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点P，A，B均在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
此时，存在C上的点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率成等差数列.
综上，存在C上的点P使得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率成等差数列.
2．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相同，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的右焦点．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，是否存在这样的直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，且以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，若不存在，说明理由．
【解析】（1）依题意可设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，①
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即切点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，
上式对满足①式任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ．
故存在直线 SKIPIF 1 < 0 满足题设条件．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交AB于 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为定值，若存在，求出圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设双曲线的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，AB的中点为 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上不同的两点， SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为2．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 存在时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为AB的中垂线为直线l，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 不存在时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称， SKIPIF 1 < 0 的中线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，此时 SKIPIF 1 < 0 也过 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在定圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为定值 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的长轴为4，离心率为 SKIPIF 1 < 0
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)如图，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，问：是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由
【解析】（1）因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的长轴为4，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 代入①得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0
5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的左右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，上、下端点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若从 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点，若线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试问直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
【解析】（1）解法一：从 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中任选三点可构成四个三角形，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
为此仅需考虑 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为面积等于2的直角三角形即可.
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有： SKIPIF 1 < 0 ；
同时因为 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有： SKIPIF 1 < 0 ；
综上可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中任选三点所构成的三角形，
均为等腰直角三角形，故四边形 SKIPIF 1 < 0 是面积为4的正方形，
又正方形的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又正方形的对角线相等，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
从而椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解法一：依题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ①
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程①与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据中点公式可得： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
同理可得： SKIPIF 1 < 0
从而直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为： SKIPIF 1 < 0
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入上式可得： SKIPIF 1 < 0
故直线 SKIPIF 1 < 0 必过定点 SKIPIF 1 < 0 .
解法二：依题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ①，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ②，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程②与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0
根据中点公式可得： SKIPIF 1 < 0
同时点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的交点，联立方程①②得 SKIPIF 1 < 0
即可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ④
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ⑤
根据④⑤可以理解为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根.
由韦达定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 必过定点 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率是 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程和短轴长；
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 ，问：是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率是 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）假设存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的等腰三角形,
由于直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ,当直线斜率不存在时,直线l为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的短轴上的两顶点，此时 SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的等腰三角形；
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 时，
该方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为点D，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 斜率不存在，
此时 SKIPIF 1 < 0 的斜率k为0，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 不适合题意，
综合以上，存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的等腰三角形.
7．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点P在y轴上的投影为Q，动点M满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求动点M的轨迹方程C；
(2)动直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线C交于A，B两点，问：是否存在定点D，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值，若存在，请求出点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点M的轨迹方程 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为定值
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023秋·北京房山·高三统考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 到两个焦点的距离之和为8.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 分别相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .试问是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在，写出一条满足条件的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）点 SKIPIF 1 < 0 到两个焦点的距离之和为8，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
（2）由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，可得，
SKIPIF 1 < 0 ，整理得， SKIPIF 1 < 0 ，
化简 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
可设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，故有
SKIPIF 1 < 0 ，整理得，
SKIPIF 1 < 0 ，化简得， SKIPIF 1 < 0 ，
得到， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，利用韦达定理，得
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时，直线 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，
故令 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
此时，满足题意的直线 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
9．（2023秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，A是C的右顶点， SKIPIF 1 < 0 ，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．
(1)求椭圆C的标准方程
(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 M，N分别为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，O是坐标原点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形OMPN的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，
SKIPIF 1 < 0 直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
当直线l的斜率不存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，
此时直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为A，钝角三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆C于P，Q两点.当直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ，A两点时，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，当直线 SKIPIF 1 < 0 的纵截距不为零时，试问是否存在实数k，使得
SKIPIF 1 < 0 为定值?若存在，求出此时 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）方法一：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，A时，由 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ①，
同时得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ②.
联立①②，结合 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
方法二：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则经过 SKIPIF 1 < 0 ，
A两点时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②
因为 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 为钝角，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ③.
联立①②③式及 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）方法一：由题意设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 消元得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时满足题意.
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为定值，则上式与 SKIPIF 1 < 0 无关，故 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 .
又点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
经检验，此时 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为1.
方法二：由题意设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 消元得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时满足题意.
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
因为上式为定值，所以上式与 SKIPIF 1 < 0 无关.所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0 .
又点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
经检验，此时 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为1.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)以 SKIPIF 1 < 0 为圆心的圆经过椭圆的左焦点 SKIPIF 1 < 0 和上顶点 SKIPIF 1 < 0 ，求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，且位于 SKIPIF 1 < 0 轴的上方，若 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方的交点记作 SKIPIF 1 < 0 ，若动直线 SKIPIF 1 < 0 也过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点（均不同于 SKIPIF 1 < 0 ），是否存在定直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得动直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 满足直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率总是成等差数列？若存在，求常数 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意得椭圆 SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时，由对称性得 SKIPIF 1 < 0 .
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程，得 SKIPIF 1 < 0 （负舍），故 SKIPIF 1 < 0
③当 SKIPIF 1 < 0 时，根据椭圆对称性可知 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由题意得椭圆 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，且 SKIPIF 1 < 0 的最大值的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
(2)设双曲线 SKIPIF 1 < 0 以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为顶点，顶点为焦点， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限上任意一点，当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，试问是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 代入可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，下面证明 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 点均使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
考虑 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，结论得证，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
13．（2023·高三课时练习）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 交于A、B两点．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点到它的渐近线之间的距离；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限， SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角的取值范围；
(3)过点 SKIPIF 1 < 0 作另一条直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，问是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数 SKIPIF 1 < 0 的取值集合，如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 , 渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 , 由对称性, 不妨计算 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离， SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , 从而 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限, 所以 SKIPIF 1 < 0 ,
从而 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ;
（3）当直线 SKIPIF 1 < 0 , 直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
当直线 SKIPIF 1 < 0 , 直线 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 , 与双曲线联立可得 SKIPIF 1 < 0 , 由弦长公式, SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 替换成 SKIPIF 1 < 0 , 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 , 可得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 , 此时 SKIPIF 1 < 0 成立.
因此满足条件的集合为 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，直线与轨迹 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
①过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，试确定 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
②在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，无论直线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 怎样转动，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立？如果存在，求出定点 SKIPIF 1 < 0 ；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，知，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点的双曲线的右支．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由条件得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由条件 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ．
②设存在点 SKIPIF 1 < 0 满足条件，
由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此存在定点 SKIPIF 1 < 0 满足条件．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线 SKIPIF 1 < 0 相切．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，试问在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在一定点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 任意作一条直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，使 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在，求出此定值和所有的定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）原点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）假设存在点 SKIPIF 1 < 0 满足条件，
①当直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 方程不是 SKIPIF 1 < 0 时，可设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为定值1，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 不满足对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不合题意，舍去．
而且 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ；
综上得：过定点 SKIPIF 1 < 0 任意作一条直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，
使 SKIPIF 1 < 0 为定值1．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心在坐标原点，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，其左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且满足△ SKIPIF 1 < 0 的周长为6．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，试问在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在一个定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒为定值？若存在，求出该定值及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当直线斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为定值．
只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
17．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线 SKIPIF 1 < 0 与该双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴相交的两点关于原点对称，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 轴时，把 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴相交的两点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，显然不可能，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，恒过定点 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 为定值，∴存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点是 SKIPIF 1 < 0 ，其右准线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点 SKIPIF 1 < 0 不同的定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？只需写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，无需证明．
【解析】（1）设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，结论成立．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行时，设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，
如果存在定点 SKIPIF 1 < 0 满足条件，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 若存在不同于点 SKIPIF 1 < 0 不同的定点 SKIPIF 1 < 0 满足条件，则 SKIPIF 1 < 0 点坐标只可能为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
下面证明：对任意直线 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，
记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 对任意直线 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 内，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点 SKIPIF 1 < 0 到右准线的距离为2，直线 SKIPIF 1 < 0 过右焦点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)若动直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 始终平分 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 得取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（3）假设在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在点 SKIPIF 1 < 0 满足题意，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在点 SKIPIF 1 < 0 满足题意．
20．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P是直线 SKIPIF 1 < 0 上不同于原点O的一个动点，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于C，D两点．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，问是否存在点P，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ），∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴存在 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 满足题意．