新高考数学一轮复习考点分类提升 第44讲 圆锥曲线的综合应用（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程 (不同时为0)代入圆锥曲线C的方程，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
由消去y，得.
(1)当时，设一元二次方程的判别式为，则：
直线与圆锥曲线C相交；
直线与圆锥曲线C相切；
直线与圆锥曲线C相离．
(2)当时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2.弦长公式
设斜率为的直线l与圆锥曲线C相交于两点，，则
或.
3.中点弦所在直线的斜率
圆锥曲线以为中点的弦所在直线的斜率为，其中，为弦的端点坐标．
在椭圆中，中点弦所在直线的斜率;
在双曲线中，中点弦所在直线的斜率;
在抛物线中， 中点弦所在直线的斜率.
考点一：弦长问题
例1．已知焦点在y轴上的椭圆C，过点，离心率直线l:被椭圆C所截得的弦长为，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆C的长短半轴长即可作答.
（2）联立直线l与椭圆C的方程，利用弦长公式求解作答.
【详解】（1）因为椭圆C的焦点在y轴上，且过点，则椭圆C的短半轴长为2，设其长半轴长为，
由离心率得：，解得，
所以椭圆C的标准方程是.
（2）由消去y并整理得：，
有，即，设直线l被椭圆C所截弦的端点，
于是，，
解得，满足条件，
所以.
考点二：面积问题
例2．设直线与抛物线相交于两点，且.
(1)求抛物线方程；
(2)求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，消元得出韦达定理，将表示为坐标形式，列方程化简计算，可得抛物线方程；
（2）利用三角形的面积公式，结合韦达定理，根据的取值，得出面积的最小值．
【详解】（1）设直线与抛物线交于点，
联立得，显然，所以，
因为，
所以，即，
化简得，代入得
解得，
所以抛物线方程为
（2）因为直线过定点，
所以，
当且仅当时，的面积取得最小值为
考点三：中点弦问题
例3．已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件和椭圆定义求出，再由离心率求出，根据求出，即可求得椭圆的标准方程；
（2）使用点差法进行求解即可.
【详解】（1）由椭圆的定义知，，∴，
又∵椭圆的离心率，∴，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点，
设，，当时，不合题意，故，
∵为线段的中点，∴，∴，
又∵，均在椭圆上，∴，
两式相减，得，即，
∴，∴，即，
∴直线的方程为，即．
考点四：定点问题
例4．已知点，直线交y轴于点H，点M是l上的动点，过点M且垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P．
(1)求点P的轨迹C的方程：
(2)若A、B为轨迹C上的两个动点，且，证明直线AB必过定点，并求出该定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）根据抛物线定义写出点P轨迹C的方程；
（2）设，联立抛物线应用韦达定理，根据向量数量积的坐标表示列方程求参数b，即可证直线过定点及其坐标.
【详解】（1）由题意，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹方程.
（2）设直线，
联立，而①，
∴，则，
由，即满足①式，
∴直线：必过点.
考点五：定值问题
例5．已知椭圆，离心率，过点．
(1)求的方程；
(2)直线过点，交椭圆与两点，记，证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意建立方程组求出即可；
（2）由题意知直线的斜率存在，联立方程组消元，利用韦达定理及直线斜率公式证明即可.
【详解】（1）由题得，解得，
于是；
（2）由题意知直线斜率存在，
设直线，联立方程即，
消可得，
由，
设，
韦达定理可得；
综上所述：.
1．已知椭圆中，，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于、两点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到，再结合，即可求解；
（2）设，，联立直线与椭圆方程消得到关于的方程，利用韦达定理和弦长公式，即可求解.
【详解】（1）由题知，，即，
又，解得，
所以椭圆方程为.
（2）设，，
联立直线与椭圆方程得，
整理得，
则，，.
所民认
.
2．已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程：
(2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率得到，再由直线的斜率求出，即可求出、，从而得解；
（2）首先求出直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再由距离公式计算可得.
【详解】（1）解：由离心率，则，右焦点，
直线的斜率，解得，，
所以，
椭圆的方程为；
（2）解：由（1）可知椭圆的左焦点，则直线的方程为，
由，解得或，不妨令、，
所以.
3．已知双曲线的渐近线为，抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，抛物线交双曲线的两条渐近线于O，A，B三点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)48
【分析】（1）结合抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可得到本题答案；
（2）联立渐近线方程和抛物线方程，求得点和点的坐标，即可得到本题答案.
【详解】（1）由题意．双曲线的渐近线为，所以，
所以双曲线的离心率．
（2）抛物线的准线方程为，所以，解得，所以的方程为，焦点为，不妨设A在左侧，B在右侧，
联立得，所以，直线的方程为，
所以点F到直线的距离为8，所以的面积为．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F(1，0)，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．
【答案】(1)y2＝4x
(2)证明见解析
【分析】（1）由焦点坐标得焦参数，从而得抛物线方程；
（2）直线垂直于x轴时直接求出面积比，直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为y＝k(x－1)，设M(－2，y)，N(－2，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程代入抛物线方程后由韦达定理得，然后计算面积比可得．
【详解】（1）由焦点坐标可知，＝1，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
（2）证明：当直线垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，
所以＝()2＝.
当直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为y＝k(x－1)，设M(－2，y)，N(－2，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，所以x1x2＝1，
所以＝＝＝·＝，综上，＝.
5．已知抛物线是抛物线上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的长，由几何知识即可求出抛物线的方程；
（2）设出两点坐标和直线的斜率，将两点代入抛物线方程，由点差法求出斜率，根据的中点即可求出直线的方程.
【详解】（1）由题意，
在抛物线中，，
由几何知识得，
，
解得：，
故抛物线的方程为：.
（2）由题意及（1）得，
直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则，
两式相减得，
整理得，
因为的中点为，
∴，
∴直线的方程为：，
即，经检验，满足题意.
6．双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距，再由准线方程求得，从而可得，然后可得双曲线方程．
（2）设弦的两端分别为，，利用点差法，代入双曲线方程相减，利用中点坐标可求得弦所在直线斜率，从而得直线方程．
【详解】（1）∵椭圆的焦点为， ∴
∵一条准线方程为，，解得，∴，
∴双曲线的方程为．
（2）设弦的两端分别为，．则有：
．
弦中点为，．
故直线的斜率．
则所求直线方程为：．
7．已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可得，据此可求得椭圆方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得m与k的关系即可得直线恒过的定点.
【详解】（1）由题知，，，，
由的面积为，得，
又，代入可得，，∴椭圆的方程为.
（2）联立得，
设，，可得，，
由题知，
即，
即，解得，
∴直线的方程为，故直线恒过定点.
8．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，抛物线C过点．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且，证明：直线l过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将代入抛物线即可求解；
（2）设，直线l的方程为，将直线l与抛物线进行联立可得，结合可得，即可求证
【详解】（1）因为抛物线C过点，
∴，解得，
∴抛物线C的标准方程为．
（2）设，直线l的方程为，
联立，化为，
，
∴，
∵，
∴，，
解得，满足，
∴直线l的方程为，
∴直线过定点．
9．已知椭圆.
(1)若直线与椭圆相交于两点，椭圆内一点是线段的中点，求直线的方程；
(2)已知分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，求直线的斜率与直线的斜率之积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用“点差法”即可求出直线的斜率，从而可得出直线的方程；（2）设，则，直接计算直线与直线的斜率之积，得出定值即可.
【详解】（1）设，
由题意得，两式相减得，
即，
所以直线的斜率.
因为点是线段的中点，则，
所以，
所以直线的方程为，即.
（2）设，则，所以，
∵，所以
所以直线与直线的斜率之积为定值.
10．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，右焦点为，O为坐标原点，OB的中点为D（D在的左方），．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点D且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为.
【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出，可得椭圆的标准方程；
（2）设过点D且斜率不为0的直线方程为，代入，设，，根据韦达定理得和，再利用斜率公式得，代入和，化简可得.
【详解】（1）依题意，，，，，
所以，
所以椭圆C的标准方程为：.
（2）设过点D且斜率不为0的直线方程为，
联立，消去并整理得，
，
设，，
则，，
所以
.
所以为定值.考点一
弦长问题
考点二
面积问题
考点三
中点弦问题
考点四
定点问题
考点五
定值问题