新高考数学一轮复习考点分类提升 第43讲 抛物线（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
3.常用结论：与焦点弦有关的常用结论
设 ．
(1)，.
(2)(θ为AB的倾斜角)．
(3).
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
考点一：抛物线方程问题
例1．（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·陕西渭南·统考二模）抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（ ）
A．B．C．D．
考点二：求焦半径、焦点弦
例3．（2023届山东省滨州市高三二模数学试题）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
考点三：定义转化法求距离的最值问题
例4．（2023·江西南昌·南昌十中校考一模）抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．5D．9
考点四：抛物线的应用
例5．（2022秋·福建莆田·高二莆田二中校考阶段练习）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号装置与卫星接收天线中心的距离为（ ）．

A．B．C．D．
一、单选题
1．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线的准线过双曲线的左焦点，点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陕西商洛·统考三模）设为坐标原点，直线与抛物线C:交于两点，若正三角形，则点到抛物线的焦点的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．（2023·内蒙古乌兰察布·统考二模）已知为抛物线上第一象限的一点，以点B为圆心且半径为12的圆经过C的焦点F，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·北京海淀·一模）过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段的中点M的横坐标为4，则长为（ ）
A．10B．8C．5D．4
6．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（ ）
A．B．C．D．
萨·统考一模）已知点是抛物线：的焦点，是抛物线上的一点，若，，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·天津·校联考一模）已知双曲线的焦点为，，抛物线的准线与交于M，N两点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河南新乡·统考二模）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，，若的面积为，则（ ）
A．4B．3C．5D．2
10．（2023·天津和平·统考一模）抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于两点，若的周长为，则（ ）
A．2B．C．8D．4
11．（2022·江西·校联考二模）已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若，，则p＝（ ）
A．2B．4
C．2或D．2或
12．图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
13．图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（ ）
A．225mB．275mC．300mD．350m
14．（2023·四川乐山·统考三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A．6B．8C．12D．16
二、填空题
15．（2022·山西太原·统考三模）已知点为抛物线上一点，则A到其焦点F的距离为_________.
16．（2023·江西鹰潭·二模）已知直线，定点，是直线上的动点，若经过点，的圆与直线相切，则这个圆的面积的最小值为_________．
17．（2023·山东潍坊·统考一模）已知抛物线经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个满足条件的的标准方程__________.
18．（2023·山西临汾·统考二模）设抛物线焦点为，从发出的光线经过抛物线上的点反射，为反射光线上一点，则的面积为___________.
19．（2023·河南安阳·统考二模）已知抛物线的焦点为F，点A，B在C上，且，，则______．标准
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y=0
x=0
焦点
离心率
e=1
准线方程
范围
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0,y0))
考点一
抛物线方程问题
考点二
求焦半径、焦点弦
考点三
定义转化法求距离的最值问题
考点四
抛物线的应用