新高考数学一轮复习考点分类提升 第28讲 数列的概念与及其简单表示（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.数列的相关概念
(1)定义:把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
(2)数列的一般形式是，简记为，是数列的第n项.
2.数列与函数的关系
由于数列中的每一项与它的序号n有下面的对应关系，
所以数列从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为.
3.数列的分类
(1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
(2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列．
4.数列的通项公式
一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
5.数列的前n项和及前n项和公式
我们把数列从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即.
如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
显然，而，于是我们有.
6.常用结论
(1)累加法：变形为，
要点：利用恒等式求解；
(2)累乘法：，变形为，
要点：利用恒等式求解.
考点一：和关系法求数列通项
例1．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．4B．8C．9D．12
例2．“斐波那契数列” 由十三世纪意大利数学家列昂纳多 •斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为 “兔子数列”.斐波那契数列 满足:，记其前项和为，设(为常数)，则（ ）
A．B．C．D．
考点二：累加法求数列通项
例3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足，则第六层球的个数为（ ）
A．28B．21C．15D．10
例4．已知数列，若，，则（ ）
A．2500B．2501C．2502D．2503
考点三：累乘法求数列通项
例5．若数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
例6．已知数列满足， ，则数列的通项公式为（ ）
A． B．C． D．
一、单选题
1．（2023·江西·统考模拟预测）已知是数列的前项和，且满足首项为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川南充·统考二模）已知数列的前n项和为，若，（），则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，，依次类推，根据图案中点的排列规律，第10个图形由多少个点组成（ ）
A．89B．91C．95D．98
7．数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
11．在数列中，已知，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
12．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
13．已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
14．若数列满足，则（ ）
A．2B．6C．12D．20
15．设是首项为的正项数列，且（），则它的通项公式是（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
16．已知等比数列的前项和为，且.求数列的通项公式；
17．记为数列的前n项和，已知，．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式．
18．设数列的前项和为，，且数列是以为公比的等比数列.
(1)求，的值.
(2)求数列的通项公式，并判定数列是否是等比数列，并说明理由.
19．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.考点一
和关系法求数列通项
考点二
累加法求数列通项
考点三
累乘法求数列通项