新高考数学一轮复习考点分类提升 第33讲 空间几何体的结构（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
2.圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
3.①球的结构特征
②球的截面性质
a.用一个平面去截一个球,截面是圆面,球心和截面圆心的连线垂直于截面.
b.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系:
4.斜二测画法（平面图形）
(1)建系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.
(2)平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成
平行于x'轴或y'轴的线段.
(3)长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中的长度为原来的一半.
5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
6.柱、锥、台、球的表面积与体积公式
7.常用结论
(1)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球的半径R=.
(2)设正方体的棱长为a,则它的内切球的半径r=,外接球的半径R=a.
(3)若棱锥的侧面中有以同一条边为斜边的两个直角三角形，则该边为该棱锥的外接球的直径.
(4)若棱锥有一侧棱垂直于底面，该侧棱长度为，底面外接圆的半径为，则其外接球的半径满足：.
(5)若棱锥有两个互相垂直的侧面，这两个侧面的外接圆的半径分别为，交线长度为，则其外接球的半径满足：.
考点一：几何体体积的求法
例1．（2023·陕西商洛·统考二模）已知某圆锥的高为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先设该圆锥的底面半径与母线长分别为r，l，再根据题意求得的值，结合勾股定理求得的值，进而即可求得圆锥的侧面积．
【详解】设该圆锥的底面半径与母线长分别为r，l，
由，得，
所以，
所以该圆锥的侧面积．
故选：B．
例2．已知在春分或秋分时节，太阳直射赤道附近.若赤道附近某地在此季节的日出时间为早上6点，日落时间为晚上18点，该地有一个底面半径为的圆锥形的建筑物，且该建筑物在白天中恰好有四个小时在地面上没有影子，则该建筑物的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，求出圆锥的轴截面的顶角，利用三角形知识求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求解即可.
【详解】由题意可知，一天有12个小时的日照时间，因为，所以圆锥轴截面的顶角，
即轴截面为等边三角形，因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积为，即该建筑物的体积为.
故选：B
考点二：几何体表面积的求法
例3．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙所示.已知半球的半径为，酒杯内壁表面积为，则圆柱的高和球的半径之比为（ ）
甲 乙
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的几何体，利用圆柱和球的表面积公式求出圆柱的高与球的半径关系，即可求解.
【详解】设圆柱的高为，因为忽略杯壁厚度，所以酒杯内壁表面积为半球的表面积与圆柱的侧面积之和，
即，解得，所以圆柱的高和球的半径的比为.
故选：B
例4．（2023·全国·高三专题练习）某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半球形，半径，中间可视为圆柱，若该种胶囊的表面积为，则该种胶囊的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆柱高为，左、右两端半球形半径为，其表面积为S，胶囊的体积为，由圆柱侧面积和球的表面积公式列出等式，用表示出，然后由圆柱与球体积公式求得并代入已知可得．
【详解】设圆柱高为，左、右两端半球形半径为，其表面积为S，胶囊的体积为，依题意，
，故，将代入可得，
故选：A
考点三：几何体的“内切”，“外接”球问题
例5．已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由该球即为三棱锥的外接球，补成长方体，长方体的体对角线长为球的直径求解.
【详解】解：由题意得：该球即为三棱锥外接球，补成长方体，如图所示：
，
则长方体的体对角线的长为球的直径，即，
解得，
所以该球的体积为.
故选：D
例6．已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆柱侧面积求出圆柱底面圆的半径，再由球截面圆的性质得出球半径，即可得解.
【详解】由圆柱侧面积，解得，
因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，
所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为，
则由，
所以,
故选：A
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知直角三角形ABC，，，，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意作出旋转体由两个圆锥构成，利用等面积法求出底面圆的半径，即可根据圆锥的体积公式求出旋转体的体积.
【详解】解：将直角三角形ABC沿斜边AB旋转一周，旋转形成的几何体的如图所示，
，
，
，
故选：C.
2．（2023·江西·统考模拟预测）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，设球的半径为，根据勾股定理求得，结合圆锥和球的体积公式计算即可求解.
【详解】如图，圆与AB切于点D，设球的半径为，
则，且，
有，即，得，
所以水的体积，
所以水的体积与球的体积之比是.
故选：D.
3．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）如图l，在高为h的直三棱柱容器中，，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合体积公式分析运算即可.
【详解】设柱体的底面积为，则柱体的体积，注入水的体积为，
容器倾斜后，上半部分三棱锥的体积，
则可得，整理得.
故选：A.
4．（2023·天津·大港一中校联考一模）在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中的多面体为“刍甍”书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是刍甍的高，即点到平面的距离若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出图形，如图，计算点到平面的距离，并代入公式求解即可.
【详解】如图所示，
设点在底面的射影为，分别为的中点，
连接，
则即为刍甍的高，
由，平面，平面，
所以平面，
又平面，且平面平面，
所以，
在“刍甍”中，和是等腰三角形，
所以一定在上，
由题意底面是边长为的正方形，，
可知，
在是等腰直角三角形，且，
所以，
所以，
所以.
故选：B.
5．已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（ ）
A．2：3B．3：2C．D．
【答案】A
【分析】设正方体棱长为，分别求出与正方体的各条棱相切的球的半径以及正方体外接球的半径，再求其表面积之比.
【详解】设正方体棱长为，
因为球与正方体的各条棱相切，所以球的直径大小为正方体的面对角线长度，
即半径；
正方体内接于球，则球的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径；
所以球与球的表面积之比为.
故选：A.
6．（2023·江苏·统考一模）已知正四面体的棱长为1，点O为底面的中心，球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，然后利用，即得.
【详解】因为正四面体的棱长为1，则正四面体的高为，
由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，设球O的半径为，
则，
所以，
所以.
故选：B
7．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4D．5
【答案】D
【分析】表示出表面积后，根据二次函数性质可得.
【详解】大圆柱表面积为
小圆柱侧面积为，上下底面积为
所以加工后物件的表面积为，当时表面积最大.
故选：D
8．（2023·内蒙古通辽·校考二模）已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4，圆锥母线长，现将它熔化后铸成一个实心铜球，不计损耗，则铜球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积，从而求出球的半径，再根据球的表面积公式计算可得.
【详解】解：依题意圆锥的底面半径，母线，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积，
设铜球的半径为，则，解得，
所以铜球的表面积.
故选：B
9．用底面半径为的圆柱形木料车出7个球形木珠，木珠的直径与圆柱形木料的高相同．下料方法：相邻的木珠相切，与圆柱侧面接触的6个木珠与侧面相切，如图所示是平行于底面且过圆柱母线中点的截面．则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意推出球形木珠和圆柱的半径之间的关系，确定圆柱的高，根据球和圆柱的体积公式即可求得答案.
【详解】设球形木珠的半径为r，圆柱形木料的底面半径为R,
由截面图可知，圆柱形木料的高为，
故7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为，
故选：D
10．在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻有一个令他最引以为傲的几何图案.该几何图案是内部嵌入一个内切球的圆柱，且该圆柱底面圆的直径与高相等，则该圆柱的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆柱高为，底面半径为，圆柱内切球半径为，外接球半径为，得出，，，之间的关系，由球的体积公式求出圆柱内切球与外接球的体积之比.
【详解】该圆柱的内切球和外接球的截面图如下图所示，
设圆柱高为，底面半径为，圆柱内切球半径为，
外接球半径为，则，，
，，，
圆柱内切球与外接球的体积之比为.
故选：B
11．点是棱长为2的正方体外接球球面上的任意一点，则四棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出正方体外接球的半径，再得出四棱锥高的最大值，代入四棱锥的体积公式即可求得体积最大值．
【详解】由正方体棱长与其外接球半径的关系知：，即，
则四棱锥的高的最大值为，
所以四棱锥的体积的最大值为，
故选：B．
12．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，侧棱两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知三棱锥的外接球即为侧棱为邻边的正方体的外接球，再求正方体的体对角线即可得半径计算表面积.
【详解】解：由题知三棱锥的外接球即为侧棱为邻边的正方体的外接球，
因为三棱锥的底面是边长为1的正三角形，
所以，
以为邻边的正方体的体对角线长为，
所以，其外接球的直径，表面积为.
故选：D
13．（2023·安徽·统考一模）在三棱锥中，底面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】由，得，
所以的外接圆半径，
由于底面，所以外接球的半径，
所以外接球的表面积.
故选：B
14．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设半球的半径为，连接交于点，连接，利用四棱锥的体积公式求出半径，再代入球的体积公式即可求解.
【详解】依题意，设半球的半径为，
连接交于点，连接，如图所示：
则有，易得，
所以正四棱锥的体积为：
，
解得：，
所以半球的体积为：.
故选：C.
二、填空题
15．已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______.
【答案】
【分析】由题意知，正方体的体对角线即为外接球的直径，根据勾股定理求出体对角线，再根据球的表面积公式计算即可得．
【详解】设正方体外接球的半径为，则
由题意可得，即，
所以外接球的表面积为，
故答案为：．
16．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，，则球O的体积是___________.
【答案】
【分析】先由余弦定理求得，再由正弦定理求得，从而求得，由此即可求得球的体积.
【详解】根据余弦定理得，故，
根据正弦定理得，故，其中为三角形外接圆半径，
设为三棱锥外接球的半径，则，故，
则球的表面积.
故答案为：
17．如图，在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
【答案】
【分析】由题意可得，平面，设三棱锥的外接球的球心为，底面的中心为，求出，几何法可得外接球的半径，计算表面积即可.
【详解】由题知，，，，，
，又，平面，平面.
如图，设三棱锥的外接球的球心为，底面的中心为，
连接，则平面，且，
又，则外接球的半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
18．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）在三棱锥中，已知平面，且是边长为的正三角形，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为___________.
【答案】
【分析】根据等边三角形以及三棱锥的性质找外接球的球心，根据勾股定理即可求解高，进而由体积公式即可的体积.
【详解】取,,的中点,,，连结,,，交于点，
则，
设三棱锥的外接球的半径
由外接球表面积为可得
设三棱锥的外接球的球心为，
连结，则平面，
过作，交于，，
，故
所以,故三棱锥的体积为
故答案为：
19．已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，两两互相垂直，且，若球O的表面积为 _____．
【答案】
【分析】把三棱锥补成成长方体，结合球的表面积公式进行求解即可.
【详解】如图，将三棱锥补全成如图的长方体，
则根据对称性可得：三棱锥的外接球的直径为长方体的体对角线，
设球的半径为R，又，
∴，故
∴球O的表面积为．
故答案为：
20．如图，在三棱锥中，已知，，，，平面平面，三棱锥的体积为，若点，，，都在球的球面上，则球的表面积为____________．
【答案】
【分析】根据条件分析出球心并求出球的半径，进而即得．
【详解】因为在三棱锥中，，，，，
所以和均为直角三角形，且斜边均为，
所以为球的直径， 的中点为球心，
设，则，，，，且的边高为，
因为平面平面，
根据面面垂直的性质定理可知的边上的高即为三棱锥的高，
因为三棱锥的体积为
，
所以球半径，
所以球的表面积为．
故答案为：．名称
棱柱
棱锥
棱台
定义
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱
有一面是多边形,其余各面都是
有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
图示和
记法
记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
记作棱锥S-ABCD
记作棱台ABCD-A'B'C'D'
分类
直棱柱：侧棱与底面垂直
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱
底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台
名称
圆柱
圆锥
圆台
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分
图示和
记法
记作圆柱O'O
记作圆锥SO
记作圆台O'O
定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球
图示及相
关概念
记作球O
球心:半圆的圆心
半径:连接球心和球面上任意一点的线段
直径:连接球面上两点并且经过球心的线段
名称
圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开图
侧面积公式
S圆柱侧=2πrl
S圆锥侧=πrl
S圆台侧=π(r1+r2)l
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V= Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
V= Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=(S上+S下+)h
球
S= 4πR2
V= πR3
考点一
几何体体积的求法
考点二
几何体表面积的求法
考点三
几何体的“内切”，“外接”球问题