新高考数学一轮复习考点分类提升 第03讲 不等关系与基本不等式（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1．比较大小的法则
2.不等式的基本性质
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
4.基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
5.常用结论
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);
(2)≥2(a,b同号);
(3)ab≤(a,b∈R);
(4)(a,b∈R);
考点一：作差法比较大小
例1．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】采用作差法可确定AD正误；通过反例可知BC错误.
【详解】对于A，，，A错误；
对于B，当，时，，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：D.
对点变式．（2023·湖南·模拟预测）已知正实数x，y满足，设，，（其中为自然对数：），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差比较法，结合指数函数的单调性可得答案.
【详解】因为，，，所以
又，，所以，所以；
又，
又，，所以．
综上，．
故选：A．
考点二：一元二次型不等式恒成立问题
例2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.
【详解】因为对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立．
设，
，，
当，即时，，
∴实数a的取值范围是.
故选：D.
对点变式．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知在上恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以在上恒成立，
当时，，得，不合题意，
当时，则，解得，
综上实数的取值范围为，
故选：C
考点三：一元二次不等式能成立问题
例3．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.
【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；
②当时，为开口方向向上的二次函数，
只需，即；
③当时，为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数，使得成立；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
对点变式．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围．
【详解】因为关于的不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，
设，，其中在区间上单调递减，
所以有最小值为，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
考点四：基本不等式中“1”的妙用
例4．设，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用均值不等式“1”的妙用求解作答.
【详解】因为，，且，则有，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
对点变式．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
考点五：利用基本不等式求参数范围
例5．（2023·全国·模拟预测）若正数x，y满足，则使得不等式恒成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用乘“1”法结合基本不等式即可求出，最后解出不等式即可.
【详解】由，且，则
则，
当且仅当时等号成立，
所以，解得，
故选：B.
对点变式．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可求得的取值范围.
【详解】因为，，且，则，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，
因为恒成立，则.
故选：A.
1．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求得的大小关系，然后根据作差比较法、函数的单调性能知识确定正确答案.
【详解】由于，所以，
A选项，，
所以，A选项错误.
B选项，，
无法确定符号，所以B选项错误.
C选项，，函数在上递增，
所以，所以B选项错误.
D选项，
，
其中，所以，
所以D选项正确.
故选：D
2．已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由不等式的解集为知可用表示，代入中并用参数分离与基本不等式求得的取值范围.
【详解】由不等式的解集为，可知为方程的两个根，
故且，即，
则不等式变为，
由于，则上式可转化为在恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
故.
故选：B.
3．已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
【答案】C
【分析】把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在，上恒成立，得到，求解关于的不等式组得得取值范围．
【详解】解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，
故 ，
故选：A
5．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.
【详解】若关于的不等式有解,
则，解得.
故选：C.
6．正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】化简已知得，再利用基本不等式求解.
【详解】由已知得，
则，
当且仅当时等号成立．
故选：B
7．已知，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．24D．25
【答案】C
【分析】由，利用基本不等式整理得，根据恒成立问题可得，运算求解即可得答案.
【详解】∵，所以，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
即，
由题意可得：，又，解得，
故的最大值为24.
故选：C.
8．若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式等价转化为，利用均值不等式求出不等式左边的最小值即可求解.
【详解】由题意可知：不等式恒成立等价转化为，
因为，所以，
则
（当且仅当，也即时等号成立），
所以，
故选：.
9．设正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】根据等比数列满足的条件求得公比，将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知正项等比数列满足，
设的首项和公比分别为 ，
则，即，
则，
故，
当且仅当，即时取等号，
故选：B
二、多选题
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】对A，直接作差比较即可证明，对B，首先得，再根据不等式性质即可判断，对C，首先放缩得，构造函数即可判断C，对D，举反例即可.
【详解】对A，，，，
，即，即，故A正确，
对B，若，则，则，故B错误，
对C，若，若，则，
函数，根据增函数加增函数为增函数的结论得在上单调递增，
，则，故C正确，
对D，若，则，，则，故D错误，
故选：AC.
11．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）若，则下列选项中成立的是（ ）
A．B．若，则
C．的最小值为1D．若，则的最小值为
【答案】AB
【分析】根据基本不等式，求解判断各个选项即可.
【详解】由基本不等式可得，当时，有，当且仅当,即时，等号成立；当时，，所以A项正确；
因为，则，当且仅当时等号成立，
则，即，
令，则，解得或（舍去），
所以，所以，B项正确；
因为，所以，
当且仅当，无解，所以该式取不到1，C项错误；
因为，所以，
当且仅当，且，即，时，等号成立，D项错误.
故选：AB.
三、填空题
12．若命题“，为真命题，则的最小值为__________.
【答案】##
【分析】由参变量分离法可得，利用基本不等式求出在时的最大值，即可得出实数的最小值.
【详解】，，则，
当时，，当且仅当时，等号成立，故.
所以，实数的最小值为.
故答案为：.
13．若命题，是真命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】依题意可得二次函数与轴有交点，转化为判别式的关系进行求解.
【详解】已知命题，是真命题，
则二次函数图像与轴有交点，所以，
解得或.
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
14．一次函数的图象经过函数的定点，则的最小值为___________.
【答案】8
【分析】求出函数过的定点，可得，将变为，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】对于函数，令，则该函数图象过定点，
将代入，得，
故，
当且仅当且，即时取等号，
故答案为：8
15．若，使得成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由一元二次不等式的解法整理集合，根据恒能问题理解可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】∵，则，当且仅当，即时等号成立，
∴，
又∵，即，使得成立，
∴，则，
故实数的取值范围是.
故答案为：.关系
法则
作差法则
作商法则
a>b
a-b>0
>1(b>0)或b⇔a+c>b+c
可逆
性质4
可乘性
⇒ac>bc
c的符号
⇒acb+d
同向
性质6
同向同正可乘性
⇒ac>bd
同向、
正项
性质7
乘方法则
a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)
同正
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
二次不等式
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,,))x≠－\f(b,2a)))
R
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
考点一
作差法比较大小
考点二
一元二次型不等式恒成立问题
考点三
一元二次不等式能成立问题
考点四
基本不等式中“1”的妙用
考点五
利用基本不等式求参数范围