新高考数学一轮复习精选讲练专题4.2 任意角和弧度制及三角函数的概念（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题4.2 任意角和弧度制及三角函数的概念（含解析），共15页。

1．（5分）（2022春•阳朔县校级月考）与﹣30°角终边相同的角的集合是（ ）
A．{α|α＝k⋅360°+30°，k∈Z}B．{α|α＝k⋅360°+330°，k∈Z}
C．{α|α＝k⋅360°﹣330°，k∈Z}D．{α|α＝k⋅360°﹣260°，k∈Z}
【解题思路】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解．
【解答过程】解：∵﹣30°＝330°﹣360°，
∴由终边相同的角的定义的可知，
﹣30°角终边相同的角的集合是{α|α＝k⋅360°+330°，k∈Z}．
故选：B．
2．（5分）（2021春•浦东新区校级期中）下列说法中正确的是（ ）
A．第一象限角都是锐角
B．三角形的内角必是第一、二象限的
C．不相等的角终边一定不相同
D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
【解题思路】根据任意角与象限角的定义，对选项中的命题真假性判断即可．
【解答过程】解：对于A，第一象限的角不一定是锐角，所以A错误；
对于B，三角形内角的取值范围是（0，π），所以三角形内角的终边也可以在y轴正半轴上，所以B错误；
对于C，不相等的角也可能终边相同，如与，所以C错误；
对于D，根据角的定义知，角的大小与角的两边长度大小无关，所以D正确．
故选：D．
3．（5分）（2022春•桃源县月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．第二象限的角为钝角
B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．﹣150是第二象限角
D．﹣252°16′、467°44′、1187°44′是终边相同的角
【解题思路】根据已知条件，结合象限角的定义，即可求解．
【解答过程】解：对于A，当角为510°时，该角为第二象限角，但非钝角，故A错误，
对于B，分别设第一象限角为730°，第二象限角为510°，
但第一象限的角大于第二象限的角，故B错误，
对于C，﹣150°为第三象限角，故C错误，
对于D，﹣252°16′＝﹣252°16′+360°×0，467°44′＝﹣252°16′+360°×2，1187°44′＝﹣252°16′+360°×4，
故﹣252°16′、467°44′、1187°44′是终边相同的角，故D正确．
故选：D．
4．（5分）（2022春•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，若sinα＜csα，且tanα＞1，则α的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】由题意画出图形，取交集得答案．
【解答过程】解：由sinα＜csα，得α，k∈Z．
由tanα＞1，得，k∈Z．
取交集，可得α，k∈Z．
∴α的终边位于第三象限．
故选：C．
5．（5分）（2022•凤阳县校级三模）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点，则（ ）
A．B．C．5D．
【解题思路】根据已知条件，可得点P的坐标为（），再结合二倍角公式，以及“弦化切”公式，即可求解．
【解答过程】解：∵角α的终边经过点，
∴点P的坐标为（），∴，
∴．
故选：D．
6．（5分）（2022春•昌江区校级期中）已知α是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．
C．sin2α＜0D．2α是第三或第四象限角
【解题思路】由题意，利用象限角的定义和表示方法，二倍角的正弦公式，得出结论．
【解答过程】解：∵α是第二象限角，∴sinα＞0，csα＜0，且 2kπα＜2kπ+π，k∈Z，
∴kπkπ，k∈Z，故为第一或第三象限角，故A错误；
由于sin可为正数，也可为负数，故B错误；
由于san2α＝2sinα•csα＜0，故C正确；
由于4kπ+π＜2α＜4kπ+2π，k∈Z，
故2α是第三或第四象限角或交的终边落在y轴的非正半轴上，故D错误，
故选：C．
7．（5分）（2022春•琼海校级期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道AB＝2，则图中与弦AB围成的弓形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设圆的半径为r，利用勾股定理求出r，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得．
【解答过程】解：现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，
用锯去锯这木材，若锯口深，锯道AB＝2，
设圆的半径为r，则，
由勾股定理可得OD2+AD2＝OA2，即，
解得r＝2，所以OA＝OB＝2，AB＝2，
所以，因此．
故选：B．
8．（5分）（2022春•湛江期末）如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A（x1，y1），角的始边与角α的始边重合，且终边与单位圆交于点B（x2，y2），记f（α）＝y1﹣y2.若角α为锐角，则f（α）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据三角函数的定义，可得y1，y2表达式，根据两角和的正弦公式、辅助角公式，可得f（α）的解析式，根据α的范围，结合正弦函数的性质，即可得答案．
【解答过程】解：由题意得，，，
所以，
因为，
所以，
则，
所以f（α）的取值范围是．
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春•上饶期末）下列转化结果正确的有（ ）
A．B．
C．﹣150°化成弧度是D．化成度是15°
【解题思路】根据三角函数的诱导公式，以及弧度数和角度的转化公式，即可依次求解．
【解答过程】解：，故A正确，
，故B错误，
﹣150°化成弧度是，故C错误，
化成度是15°，故D正确．
故选：AD．
10．（5分）（2022春•安徽期中）下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若角α为锐角，则角2α为钝角
C．若圆心角为的扇形弧长为π，则该扇形面积为
D．若角α的终边过点P（﹣3，4），则
【解题思路】由象限角的概念判断A；举例说明B错误；由扇形弧长与面积公式判断C；由任意角的三角函数的定义判断D．
【解答过程】解：π，是第二象限角，故A错误；
角α为锐角，角2α为锐角，故B错误；
圆心角为的扇形弧长为π，设半径为r，则，即r＝3，
可得该扇形面积为，故C正确；
若角α的终边过点P（﹣3，4），则|OP|，得，故D正确．
故选：CD．
11．（5分）（2021秋•保定期末）已知θ为锐角，角α的终边上有一点M（﹣sinθ，csθ），x轴的正半轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交点为N，则（ ）
A．若α∈（0，2π），则
B．劣弧的长度为
C．劣弧所对的扇形OMN的面积为是
D．sinα+sinθ＞1
【解题思路】根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A的正误；根据弧长公式，可判断B的正误；根据扇形面积公式，可判断C的正误；根据同角三角函数的关系，可判断D的正误，即可得答案．
【解答过程】解：A：（﹣sinθ，csθ）＝（﹣cs（θ），sin（θ））＝（cs[π﹣（θ）]，sin[π﹣（θ）]）＝（cs（θ），sin（θ）），故αθ，故A正确；
B：劣弧MN的长度为（θ）×1θ，故B正确；
C：只有当0＜α＜2π时，扇形OMN的面积为Sα，故C不正确；
D：sinα+sinθ＝sin（θ）+sinθ＝sinθ+csθ，
因为θ为锐角，故（sinθ+csθ）2＝sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ＞1，可得sinθ+csθ＞1．故D正确．
故选：ABD．
12．（5分）（2022春•赣州期中）在平面直角坐标系xOy中，圆心为O的单位圆与x轴正半轴的交点为A，角α的终边与单位圆相交于点P，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q（a，b），α∈[0，2π]，，以下命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【解题思路】由题意，利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答过程】解：由题意，若，则tanα，故A正确；
∵b＝sin（α+β），故B正确；
若，则csα，sinα，α∈（，），∴α+β∈（，）．
∵，∴α+β，∴cs（α+β）＝cscs，
则csβ＝cs[（α+β）﹣α]＝cs（α+β） csα+sin（α+β） sinα，故C错误；
若，则 α+β∈（，），b＝sin（α+β）∈[，1]，
则，故D正确，
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春•黄浦区校级期中）已知θ是第三象限角，且满足，则的终边在第 二 象限．
【解题思路】由θ是第三象限角，可得为第二或第四象限角，结合|sin|＝sin求得答案．
【解答过程】解：∵θ是第三象限角，∴π+2kπ＜θ2kπ，k∈Z，
则kπkπ，k∈Z，即为第二或第四象限角，
又|sin|＝sin，
∴为第二象限角，
故答案为：二．
14．（5分）（2021秋•上期末）已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则 ﹣1 ．
【解题思路】先求出角θ，在判断所在的象限，即可化简．
【解答过程】解：圆心角θ2，
∵2＜π，
∴sinθ＞0，csθ＜0，tanθ＜0，
∴1﹣1﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1.
15．（5分）（2022春•锦州期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝﹣2x上，则 ．
【解题思路】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角公式即可化简求解．
【解答过程】解：在直线y＝﹣2x上任取一点P（m，﹣2m）（m≠0），
由已知角α的终边在直线y＝﹣2x上，
所以tanα−2，
所以sin2α﹣sin2α．
故答案为：．
16．（5分）（2022春•沙坪坝区校级期中）某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18cm，下底面直径为34cm，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为 705π cm2．（结果保置π）
【解题思路】作出圆台轴截面图象和侧面展开图，找到边长对应关系，再结合扇形面积和圆的面积公式，即可求解．
【解答过程】解：如图为圆台轴截面：
如图为圆台侧面展开图：
圆台上底面半径为r1＝9，下底面半径为r2＝17，
，，
则扇形面积为πr2l2﹣πr1l1＝π（r2•3r2﹣r1•3r1）624π，
则新灯罩所需环保材料的面积为：705π．
故答案为：705π．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021秋•定西校级月考）已知sinθ＜0，tanθ＞0．
（1）求θ角的集合；
（2）求终边所在象限；
（3）试判断sincstan的符号．
【解题思路】（1）由已知可得θ为第三象限角，即解得θ角的集合．
（2）由（1）可得：∈（kπ，kπ），k∈Z，分k是偶数，奇数时，讨论即可得解．
（3）利用条件判断角的范围，然后判断sincstan的符号．
【解答过程】解：（1）∵sinθ＜0，
∴θ为第三、四象限角或在y轴的负半轴上，
∵tanθ＞0，
∴θ为第一、三象限角，
∴θ为第三象限角，即θ角的集合为：{θ|2kπ+π，2kπ，k∈Z}．
（2）由（1）可得：∈（kπ，kπ），k∈Z，
当k是偶数时，在第二象限，
当 k是奇数时，在第四象限，
（3）∵∈（kπ，kπ），
∴当k是偶数时，在第二象限，
则tan0，sin0，cs0．可得：sincstan0，
当 k是奇数时，在第四象限，
则tan0，sin0，cs0．可得：sincstan0，
综上，sincstan0．
18．（12分）（2022春•平罗县校级月考）已知α＝﹣1090°．
（1）把α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，并指出它是第几象限角
（2）写出与α终边相同的角θ构成的集合S，并把S中适合不等式﹣360°≤θ＜360°的元素θ写出来．
【解题思路】（1）利用终边相同的角的表示方法，把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，然后指出它是第几象限的角；
（2）利用终边相同的角的表示方法，通过k的取值，求出θ，且﹣360°≤θ＜360°．
【解答过程】解：（1）∵﹣1090°＝﹣4×360°+350°，270°＜350°＜360°，
∴把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式为：﹣1090°＝﹣4×360°+350°，
它是第四象限的角．
（2）∵θ与α的终边相同，
∴令θ＝k•360°+350°，k∈Z，
∴S＝{θ|θ＝k•360°+350°，k∈Z}
当k＝﹣1，0，满足题意，
得到θ＝﹣10°，350°
19．（12分）（2021秋•张家口期末）已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l．
（1）若α＝135°，r＝10，求扇形的弧长l；
（2）若扇形AOB的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值．
【解题思路】（1）由已知结合扇形的面积公式即可直接求解；
（2）结合扇形周长可得l与r的关系，然后结合二次函数性质可求扇形面积的最大值及此时的α．
【解答过程】解：（1）若α，r＝10，求扇形的弧长l＝αr10；
（2）由题意得l+2r＝22，
则Slr＝（11﹣r）r＝﹣r2+11r（r）2，
根据二次函数的性质可知，当r时，扇形面积取得最大值，
又l＝22﹣2r＝11，α2．
20．（12分）（2022•成都开学）在平面直角坐标系xOy中，角α、β的顶点和始边分别与坐标原点O和x轴的非负半轴重合，角α（如图所示）的终边与单位圆的交点A的纵坐标为．
（1）求csα与sinα的值；
（2）若角β的终边位于第三象限，且与角α的终边相互垂直，求tanβ的值．
【解题思路】（1）由题意首先利用点的坐标确定sinα的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求csα的值；
（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求得tanα的值，进而利用诱导公式即可求解tanβ的值．
【解答过程】解：（1）由题意可知，sinα，可得csα；
（2）由（1）可得tanα，
所以由题意可得tanβ＝tan（α）2．
21．（12分）（2022春•永春县校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α和β，α∈（0，），β∈（，π），其终边分别交单位圆于A、B两点．若A、B两点的横坐标分别是．
（1）求tanα，tanβ的值；
（2）求扇形AOB（与劣弧对应的扇形）的面积S的值．
【解题思路】（1）利用任意角的三角函数的定义得到csα，csβ，然后利用同角三角函数关系求解即可；
（2）由题意得到∠AOB＝β﹣α，利用正切的两角差公式求出tan（β﹣α），然后结合角的范围，求出β﹣α，再利用扇形的面积公式求解即可．
【解答过程】解：（1）由任意角的三角函数的定义可得，csα，csβ，
∵，
∴sinα，sinβ，
则tanα，tanβ7；
（2）∵∠AOB＝β﹣α，
∴tan∠AOB＝tan（β﹣α），
∵，
∴0＜β﹣α＜π，则β﹣α，即扇形AOB的圆心角，
∴．
22．（12分）（2022•虹口区二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以∠DCB和∠DAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切．
（1）若（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135°，则∠BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？
【解题思路】（1）利用余弦定理求出A的值，再利用等面积法求出扇形的半径，即可求出扇形的面积；
（2）根据平行四边形绿地ABCD面积S等于底乘以高，利用三角函数的辅助角公式求出最值即可．
【解答过程】解：（1）△ABD中，AD＝4，AB＝3，BD＝37，
所以csA，
又因为A∈（0，π），所以A，
设扇形的半径为r，则S△ABD•37•r•4•3•sin，
解得r＝6，
所以扇形的面积为S扇形36π，
所以两块花卉景观扇形的面积为72π米2；
（2）连接A与切点O，设∠BDA＝θ，
△AOD中，AD＝OA•，
在△OAB中，AB，
在△ABE中，BE＝ABsin45°，
平行四边形绿地ABCD的面积为S＝AD•BE•sin45°，0°＜θ＜45°，
令f（θ）＝sinθsin（45°﹣θ）＝sinθ（csθsinθ）（sinθcsθ﹣sin2θ）（sin2θ）（sin2θcs2θ）sin（2θ），θ∈（0，），
所以2θ∈（，），当θ，即θ＝22.5°时，f（θ）取得最大值为，此时S取得最小值；
所以∠BDA＝22.5°时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小．