新高考数学二轮复习核心考点精讲精练专题22 计数原理（讲）（2份，原卷版+解析版）

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真题体验 感悟高考
1．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
2.（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
3．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理．难度基本稳定在中等.
2.二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：
（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；
（3）二项式定理的应用．
近几年，围绕二项展开式的通项公式命题，考查某一项或考查某一项的系数较多.
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 排列组合
【核心知识】
1.排列数公式：这里并且
2.全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.
3.组合数的计算公式：，由于，所以.
4.组合数的性质：①；②；③.
【典例分析】
典例1.（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（ ）
A．24种B．30种C．62种D．41种
【答案】A
【分析】根据题意结合分类加法计数原理运算求解.
【详解】当两个盒子各放1个球的颜色相同时，则不同的放法有种；
当两个盒子各放1个球的颜色不相同时，则不同的放法有种；
综上所述：不同的放法有24种.
故选：A.
典例2. （2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将5名大学生分为4组，有种分组方法，
②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有种情况，
则有种分配方案；
故选：．
典例3.（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.
【答案】10
【分析】利用隔板法可求出结果.
【详解】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是一种名额分配方法，共有种分配方法.
故答案为：.
典例4.（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.
【答案】684
【分析】先将护士和医生分别分成三组，再将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，根据分步乘法计数原理可求出结果.
【详解】根据题意，分3步完成：
第一步：将6名护士分成3组，每组1至3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，
若甲和乙一组，将其他4人分成2组即可，有种分组方法；
若甲乙组恰有3人，从其他4人中选1人分到甲乙组，剩下的3人分成2组，有种分组方法；
则护士有种分组方法；
第二步：将3名医生分成3组，每组1人，有1种分组方法；
第三步：将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，有种安排方法；
根据分步乘法计数原理得种分配方法.
故答案为：.
典例5.（2023·高三课时练习）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排一排，女生必须站在一起；
(5)全体排一排，男生互不相邻；
(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.
【答案】(1)2520
(2)5040
(3)3600
(4)576
(5)1440
(6)720
(7)2520
(8)3720
【分析】(1)简单的排列问题；
(2)个人全排列问题；
(3)甲作为特殊元素，先排甲；
(4)将所有女生看作一个整体，与三名男生进行全排列，再将四个女生进行全排列；
(5)男生互不相邻，则采用插空法，先排女生，再在空位中插入男生；
(6)把甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲乙两人，再排剩下的五人中挑选人，最后与最终的两个人排列即可；
(7)算出所有的可能，排除掉乙在甲前面的情况即可；
(8)当甲、乙不在两端时，可优先排好甲、乙，然后排其他人.
【详解】（1）从人中选人排列，有
（种）方法.
（2）分两步完成，先选人站前排，
有种方法，余下人站后排，有种方法，
则共有（种）方法.
（3）先排甲，有种方法，其余六人有种，
则共有（种）方法.
（4）（捆绑法）：将女生看作一个整体与名男生全排列，
有种方法，再将女生全排列，有种方法，
则共有（种）方法.
（5）（插空法）：先排女生，有种方法，
再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，
有种方法，则共有（种）方法.
（6）把甲乙及中间三人看作一个整体，
第一步先排甲乙两人有种方法，
再从剩下的人中选人排到中间，有种方法，
最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩下两人排列，
有种，共有（种）方法.
（7）（消序法）：（种）方法.
（8）（间接法）：无限制排法有种，
其中甲或乙在最左端或在最右端有种，
是甲在最左端且乙在最右端的排法，
共有（种）方法.
【规律方法】
1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．
具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2. 解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
3. 有条件的排列问题大致分四种类型．
（1）直接法:①分类法:选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型ꎬ分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数.
②分步法:选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数.
（2）捆绑法:相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列.
（3）插空法:不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中.
（4）除法:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，所得数字（算式）再除以已定元素的全排列数.
（5）间接法:对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法.
4．分组、分配问题的求解策略
(1)对不同元素的分配问题
①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
考向二 求二项展开式中的特定项（系数）
【核心知识】
二项式定理
，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.
【典例分析】
典例6.（2020·北京·统考高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．5C．D．10
【答案】C
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
典例7.（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）的展开式中x2y4的系数为（ ）
A．192B．240C．432D．256
【答案】C
【分析】根据二项式定理将原式展开化简即可求出系数．
【详解】原式即，化简得，展开式中项为，系数为432.
故选：C．
典例8.（2022·天津·统考高考真题）的展开式中的常数项为______.
【答案】
【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
【总结提升】
1.求二项展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．
2．求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
考向三 已知展开式的某项或其系数求参数
【核心知识】
已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
【典例分析】
典例9.（2023秋·山东日照·高三校联考期末）二项式的展开式中常数项为，则的值为______．
【答案】1
【分析】利用二项式展开式的通项，令，根据常数项的值可列等式，求得的值.
【详解】由题意可得二项式的展开式的通项为 ，
令 ，
则，解得 ，
故答案为：1
典例10.（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）若展开式中的系数为30，则________.
【答案】
【分析】求出展开式通式和相乘，然后利用的系数为30列方程求解.
【详解】展开式通式为
则，
，解得
故答案为：.
【特别提醒】
在应用通项公式时，要注意以下几点：
①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；
②是展开式中的第项，而不是第项；
③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；
④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．
= 5 \* GB3 ⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．
考向四 二项式系数的性质与赋值法的应用
【核心知识】
二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.
(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．
当是偶数时，中间的一项取得最大值．
当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，
【典例分析】
典例11.【多选题】（2022·全国·高三专题练习）设，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．展开式中二项式系数最大的项是第5项
【答案】AC
【分析】利用赋值法判断A、B；写出展开式的通项，即可求出、，进而判断C；根据二项式系数的性质判断D.
【详解】因为，令得，故A正确；
令得，所以，故B错误；
二项式展开式的通项为，
所以，，所以，故C正确；
因为二项式展开式共项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为，故D错误；
故选：AC.
典例12.（2022秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考期末）已知的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中常数项为______．
【答案】
【分析】先通过得到，再写出的展开式的通式，令的次数为即可得到常数项.
【详解】由的展开式中，二项式系数之和为64得，，
的展开式的通式为
令，得
所以展开式中常数项为
故答案为：.
典例13.（2023·甘肃兰州·校考一模）若，则的值为______．
【答案】8
【分析】利用赋值法即可求解
【详解】令，则；
令，则，
两式相加除以2可得．
故答案为：8
典例14.（2021·全国·高三专题练习）（数学文化）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答）
【答案】455
【分析】
对数据进行多角度观察，进而找出每一行的数与数之间，行与行之间的规律，进而求得答案.
【详解】
由题图可知，第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，…，
观察可得第n行第r（）个数为，所以第15行第13个数为．
故答案为：455.
典例15.（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）若，且．
(1)求实数a的值；
(2)求的值．
【答案】(1)1；
(2)2.
【分析】（1）根据给定条件，利用二项式定理求出的表达式即可计算作答.
（2）利用赋值法求出，再取即可求解作答.
【详解】（1）依题意，，因此，解得，
所以实数a的值是1.
（2）由（1）知，，当时，，
当时，，
因此，
所以.
【规律方法】
1.赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.
②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
2．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．
3．展开式系数最大值的两种求解思路
(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．
(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．第0行
1
第1行
1
1
第2行
1
2
1
第3行
1
3
3
1
第4行
1
4
6
4
1
……