新高考数学二轮复习导数压轴解答题精选精练第38讲 指对函数问题之对数单身狗（2份，解析版）

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（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）对任意，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）的定义域是，，
当时，恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得：，
令，解得：，
故在，上单调递减，在，上单调递增；
综上：当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递减，在，上单调递增；
（Ⅱ）证明：要证，即证，
即证，又，故，即证，
令，则，
令，则，
而在递增，且（1），（2），
故存在唯一的实数，使得，
故在上单调递减，在，上单调递增，
，（2），
故大昂时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故（2），
综上：，即．
2．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在点，处的切线的斜率为1，证明：当时
【解答】解：（1）．
令可得或．
①若，即，则恒成立，
在上单调递增；
②若，即，
则当或时，，当时，，
在，上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增；
③若，即，
则当或时，，当时，，
，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．
，
，故．，
设，
，
令，则，
显然，当时，，故在上单调递增，
又（1），当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值（1），
，即．
3．设．
（1）求的最小值；
（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
，解得，
，
令，得，即，
当时，；当，时，．
时，．
（2）令，
对函数求导数：
令，解得，
当时，对所有，，所以在，上是增函数，
又，所以对，都有，
即当时，对于所有，都有．
当时，对于，，所以在是减函数，
又，所以对，都有，
即当时，不是对所有的，都有成立．
综上，的取值范围是，．
4．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以（1），所以．
故在区间上单调递增，无单调递减区间．
（Ⅱ），
设，，则，
所以在区间，上单调递增，即在区间上单调递增，且（1），
①当时，，在区间上单调递增，所以（1）满足条件；
②当时，（1），，
所以，，使得，所以当时，，单调递减，
即当时，（1），不满足题意．
综上所述，实数的取值范围为，．
5．已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）讨论关于的方程的实根的个数．
【解答】解：（1）时，，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在，递减，
故；
（2）由，得，显然是该方程的根，
时，方程等价于，
令，，
则，
令，
则，
时，单调递减，
时，（1），，单调递减，
时，（1），，单调递增，
时，，时，，时，，
画出函数的图像，如图示：
结合图像得：时，方程有2个实根，
时，方程没有实根，
综上：时，方程仅有1个实根，
时，方程有3个实根．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
【解答】解析：（1）函数．定义域为：，，；
，且，
在和上单调递增，
①在区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
，，，
在有且仅有一个零点，
②在区间，区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
又（e），，（e），
在上有且仅有一个零点，
故在定义域内有且仅有两个零点；
（2）是的一个零点，则有，
曲线，则有；
由直线的点斜式可得曲线的切线方程，
曲线在点，处的切线方程为：，
即：，将代入，
即有：，
而曲线的切线中，在点，处的切线方程为：，
将代入化简，即：，
故曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
故得证．
7．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）．．
时，，此时函数在上单调递增．
时，，
可得：函数在内单调递增；在内单调递减．
（2）不等式化为：，．
，可得时，函数取得极小值即最小值，．
．
的取值范围是．
8．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若关于的不等式在上恒成立，求的最小值．
【解答】解：（1）由题意得，，，
由，得，函数在上单调递增；
由，得，函数在上单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，上单调递减，
，
又在上恒成立，
，即，
令，则，设，则，
，
函数在上单调递增，且，
存在唯一的，使得，且当时，；当，时，，
，解得．
，
的最小值为2．
9．已知函数，；
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），，
，
①当时，令，得；令，得；
②当时，令，得或；
（Ⅰ）当，即时，令，得或；令，得；
（Ⅱ）当时，即时，则恒成立；
（Ⅲ）当时，即时，令，得或； 令，得；
综上所述：当时，在上递减，在上递增；
当时，在和，上递减，在上递增；
当时，在上递减；
当时，在和上递减，在，上递增．
（2）由（1）得①当时，在上递减，
（1），；
②当时，
（Ⅰ）当，即时，在上递减，在，上递增，
，符合题意；
（Ⅱ）当，即时，在上递减，
（1），符合题意；
综上，实数的取值范围为，．
10．已知，直线为曲线在，处的切线，直线与曲线相交于点，且．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）（1）证明：；
（2）证明：．
【解答】（Ⅰ）解：由，得，则，
可得曲线在，处的切线方程为，
即．
令，显然，，
由，得，
在上单调递减，在，上单调递增．
若，时，，，
则在上单调递增，且，在上无零点，舍去；
若，，时，，
则在上单调递增，在，上单调递减，而时，，
在上存在零点．
故的取值范围是，；
（Ⅱ）证明：（1）令，
则（e），，
，，
当时，，当时，，
则的最大值为（e），可得单调递减，又（e），
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则（e），即；
（2）先证，
令，
，
，，
当时，，当时，，
则的最小值为，可得单调递增，又，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，即，
，是直线上的点，，
，
可得，
，
，
得，
故．
11．已知函数，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，．
【解答】（1）解：令，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值（1），
因为恒成立，即恒成立，
则，解得，
故实数的取值范围为，；
（2）证明：由（1）可知，恒成立，即，
所以要证，
只需证明成立即可，
令，
则，
令，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又，（1），
因为，则，
所以存在，使得，
故当时，，则单调递增，
当，时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又（1），
所以，
因此，当时，．
12．已知函数，．
（1）若在处的切线也是的切线，求的值；
（2）若，恒成立，求的最小整数值．
【解答】解：（1）由，
得，则（1），
又（1），在处的切线方程为．
联立，得．
由题意，，且△，解得；
（2），恒成立，
即对任意恒成立，令．
当时，得；
若，，．
的正根为，则在，上单调递增，
而（1），可得（1）在，上成立，与矛盾；
当时，在上成立．
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增．
（1），即，
可得时，在上成立．
的最小整数值为3．
13．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），得由，得；，得；
的递增区间是，递减区间是．
（2）对一切，恒成立，
可化为对一切恒成立．
令，，
当时，，即在递减，
当时，，即在递增，（1），
，即实数的取值范围是，．
14．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：不等式成立．
【解答】（1）解：当时，，
则，
所以在区间上，，则递减，
在区间上，，则递增，
故在处取得极小值（1），没有极大值；
（2）证明：欲证，
只需证，
，，
，
只需证，
令，
，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，，
故，
所以不等式成立．