新高考数学二轮复习函数与导数压轴小题突破练习专题29 V型函数和平底函数（2份，原卷版+解析版）

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1．（浙江省衢州市2022-2023学年高二下学期数学试题）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
【答案】C
【解析】
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为
则，一定存在正整数k使得或
不妨设，即，
从而得，数列为单调递增数列，
，且，
，同理
即，
根据等差数列的性质，
所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
2．（浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知等差数列满足，，则的最大值为（ ）
A．14B．13C．12D．11
【答案】A
【解析】由题意，等差数列满足
，
可得等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，
设，等差数列的公差为，不妨设，
则，且，即，
由，则，即，
即有，
则
，
可得，解得，
即有的最大值为，的最大值为.
故选：A.
3．（上海市川沙中学2022-2023学年高一第二学期期末数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
【答案】A
【解析】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.
4．（【区级联考】上海市青浦区2023届高三二模数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值是50B．的最小值是50
C．的最大值是51D．的最小值是51
【答案】A
【解析】时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.
要使得取最大值，则项数n为偶数，
设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，
则，且，由可得，
所以
,
因为，所以，所以，而，
所以，故.
故选A
5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
6．（北京市西城区北京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数设，若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式，即，
当时，，，
，时取等号，
，在上单调递减，，
所以；
当时，，即，
函数在上单调递减，故；
函数在上单调递增，， 所以.
综上所述：.
故选：A
7．（广州市第二中学2022-2023学年高二上学期开学考试试数学试题）已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】满足题意时的图象恒不在函数下方，
当时，函数图象如图所示，排除C,D选项；
当时，函数图象如图所示，排除B选项，
本题选择A选项.
8．（浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题）设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是
A．B．的值可能为奇数
C．存在，满足D．的可能取值为
【答案】A
【解析】因为
所以
令
则 （）
①当时，，不满足（），舍去．
②当时，由（）得为平底型，故为偶数 ．
的大致图像为：
则
所以，故A正确．
由
当 时
当 时
故不存在，满足，C错


由于 所以，故D错
③当时，令
由于 的图像与的图像关于轴对称，故只需研究
故令
因为
所以
由②知为平底型，故为偶数，故B错
令
所以 ，故A正确
由②知，不存在，满足，故C错
由②知，，故D错
综上所述，A正确,BCD错误
故选A.
二、填空题
9．（南京市金陵中学2022-2023学年高一上学期阶段性测试数学试题）已知函数，，则满足条件的所有整数的和为______.
【答案】6
【解析】函数，
，
即函数是偶函数，
若，
则①，或②，或且③，
由①得，
即，解得或；
由②得，
即，解得；
由③得解得或
综上或或；
故满足条件的所有整数的和是
故答案为：6．
10．（2011-2012学年浙江省温州中学高二下期中文科数学试卷（带解析））已知函数，且，则满足条件的所有整数的和为______
【答案】
【解析】函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，
当时，，作出函数的图象如下图所示：
，则，
由，可得或，
由可得，解得，
由可得，解得或，
又因为，即当时，也成立.
因此，满足条件的所有整数的和为.
故答案为：.
11．（【百强校】2023届江苏省如东高中高三上学期第8周周练理科数学试卷（带解析））已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是_________.
【答案】6
【解析】由偶函数的定义可知，函数是偶函数，所以
或
（1）或 （2），设方程（1）的两根为，方程（2）的两根为则，所以的所有根之和为6．
考点:函数的奇偶性，二次方程根与系数关系．
12．（上海市金山区2023届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题）若，，且，则满足条件的所有整数的和是___________.
【答案】6.
【解析】因为，
，
所以
，
所以是偶函数，
若，
则或，
解得，或，
又因为
，
，
所以，
所以当时也成立，
故满足条件的所有整数的和是，
故答案为：6.
13．（上海市建平中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________
【答案】62
【解析】 由题意知：等差数列满足
，
故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，
设，等差数列的公差为，不妨设，
则，且，即，
由，则，即，
即有，
则
，
可得，解得，
即有的最大值为，的最大值为.
故答案为：.
14．（上海市上海中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数的最大值为_________；
【答案】50
【解析】{an}为等差数列，则使等式|a1|+|a2|+…+|an|，
＝|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|，
＝|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|，
＝|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|，
则：数列{an}中的项一定满足或，
且项数n为偶数，
设n＝2k，等差数列的公差为d，首项为a1，
不妨设，
则：a1＜0，d＞0，
且：ak+3＜0，
由，
可得d＞3，
所以：|a1|+|a2|+..+|an|＝﹣a1﹣a2﹣a3﹣…﹣ak+ak+1+ak+2+…+a2k，
＝﹣2（a1+a2+a3+…+ak）+（a1+a2+a3+…+ak+ak+1+…+a2k）
＝﹣2（）+（），
＝k2d＝2018，
由于：d＞3，
所以：k2d＝2018＞3d2，
解得：k2＜672，
故：k≤25，
故：n≤50．
故答案为50．
15．（浙江省温州市苍南县树人中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题）等差数列满足：，则其公差的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意知，等差数列中的项一定有正有负，当时，
由，则 ，
由，则，
所以，所以，即；
当时，同理可求出，
综上所述，公差的取值范围为.
故答案为: .
16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版））已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________
【答案】
【解析】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
17．（上海市控江中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数n的最大值是_________.
【答案】
【解析】易得中有正有负,则数列中的项一定满足或,且项数为偶数.
不妨设,设公差为,则此时,且.
又
.故.
故有
.
因为,故.因为
故,
故答案为：
18．（陕西省西安中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题）已知，函数．
①当时，函数的最小值为______；
②若在区间上的最大值是5，则实数a的取值范围为________．
【答案】 4
【解析】①当时，.当时，，
当且仅当，即时等号成立，即；
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，即；
综上所述，函数的最小值为4.
②当时，，当且仅当，即时等号成立，
当时，；当时，，所以.
(1)当时，，所以，即(舍)；
(2)当时，成立；
(3)当时，，则 或
，解得或；
综上所述，.
故答案为:4; .