四川省攀枝花市盐边县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省攀枝花市盐边县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共31页。
1．答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．试卷满分150分，考试时间120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共60分）
1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A B. C. D.
2. 已知关于x的一元二次方程有一个非零根，则的值为（ ）
A. 1B. C. 0D.
3. 下列各式中，一定能成立的是（ ）
A B.
C. D.
4. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（ ）

A. 1B. C. D. 2
5. 如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A. ①与③B. ②与③C. ①与④D. ③与④
6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ）
A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人
8. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（ ）
A B. C. D. 2
10. 如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）

A. B.
C. D.
11. 如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
12. 如图，二次函数 的图象与x 轴交于和，且，与y轴的交点在上方，有以下结论：①； ②；③；④； ⑤．其中正确的结论是（ ）

A. ①②③B. ①③④C. ②④⑤D. ①④⑤
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 函数 中自变量x的取值范围是____________________________．
14. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为__．
15. 已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于__________．
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AB＝OA，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于M，交AC于点N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线AE交BC于点F，连接DF．若AB＝，则线段DF的长为_____．
三、解答题
17. 计算：
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
（1）求图1中的______，本次调查数据的中位数是______h，本次调查数据的众数是______h；
（2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据．估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．
20. “道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个．
（1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率；
（2）若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元?
21. 如图，在矩形中，E是边的中点，于点F．
（1）求证：．
（2）已知，求的长．
22. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为，E、A、C在同一水平线上．

（1）求小明从点A走到点D的距离；
（2）大树的高度约为多少米？
（参考数据：，，）
23. 如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）求证：DF2＝FM•FN；
（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．
24. 如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
攀枝花市盐边县2024-2025学年九年级上期期末教学质量监测
数学
注意事项：
1．答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．试卷满分150分，考试时间120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共60分）
1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将各项化为最简二次根式，然后找出被开方数为3的最简二次根式即可得出答案．
【详解】解：A、，不能与合并，故本选项错误；
B、，能与合并，故本选项正确；
C、，不能与合并，故本选项错误；
D、，不能与合并，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了同类二次根式和化为最简二次根式，解题的关键是正确化简各项二次根式．
2. 已知关于x的一元二次方程有一个非零根，则的值为（ ）
A. 1B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入方程，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个非零根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
3. 下列各式中，一定能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别利用二次根式的性质化简判断即可．
【详解】解：A. ，选项正确，符合题意；
B. ，选项错误，不符合题意；
C. ，选项错误，不符合题意；
D. 当时，原式，选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，，．
4. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（ ）

A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接，由正方形的性质可得：，，，再求解的正切即可.
【详解】解：如图，连接，

由正方形的性质可得：，，，
∴，
故选D.
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，熟练构建需要的直角三角形是解本题的关键.
5. 如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A. ①与③B. ②与③C. ①与④D. ③与④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，求出所有三角形的边长是解题的关键．先利用勾股定理求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解．
【详解】解：图形①的三边为：；
图形②的三边为：；
图形③的三边为：；
图形④的三边为：；
∵，
∴①与③相似，
故选：A．
6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象的综合．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可判断．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误．
故选：B．
7. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ）
A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人
【答案】B
【解析】
【分析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴参加聚会的同学有10人．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下．
由上表可知共有6种等可能结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故选：D．
9. 如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明．先判定，推出，再求出，，判定，推出．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
每个小正方形的边长都是1，
，，
，
，
，
，
．
故选：A．
10. 如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】曲线段扫过的面积，则，然后根据平移规律即可求解．
【详解】解：曲线段扫过的面积，
则，
故抛物线向上平移3个单位，则
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出是解题关键．
11. 如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，证明，得到，即点N在与AN成的直线上运动，证明当时，有最小值为：，求出，即可得．
【详解】解：连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点
∴，，，
∴，，
∵
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴点N在与AN成的直线上运动，
∴当时，有最小值为：，
即：，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明当时，有最小值为：，即．
12. 如图，二次函数 的图象与x 轴交于和，且，与y轴的交点在上方，有以下结论：①； ②；③；④； ⑤．其中正确的结论是（ ）

A. ①②③B. ①③④C. ②④⑤D. ①④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性是正确判断的前提．根据二次函数的图象开口方向，对称轴，顶点坐标，以及与x轴、y轴的交点坐标综合进行判断即可．
【详解】解：由抛物线的开口向下可得，对称轴在y轴的左侧，因此，而，
，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②错误；
∵二次函数的图象与x轴交于，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵二次函数的图象与x轴交于和，且，
∴，即二次函数的对称轴，
∴，故④正确；
∵时，，
当时，，
，
∴，故⑤错误；
综上所述，正确的结论有①③④，
故选：B．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 函数 中自变量x的取值范围是____________________________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的范围一般从三个方面考虑∶当函数表达式是整式时自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时考虑分式的分母不能为当函数表达式是二次根式时被开方数非负根据分式中分母不等于，二次根式的被开方数大于或等于，列式求解即可
【详解】解∶根据题意得
解得且
故答案为∶x≥-2且
14. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为__．
【答案】27
【解析】
【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，∴，∴=2=．
∵△ABC的面积为3，
∴△DEF的面积为27．
15. 已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据两根之和等于，两根之积等于得，，代入算式即可得到答案，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，是一元二次方程有两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AB＝OA，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于M，交AC于点N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线AE交BC于点F，连接DF．若AB＝，则线段DF的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是矩形，和AB＝OA，可得△ABO是等边三角形，由作图过程可得，AF是∠BAO的平分线，再根据勾股定理即可求出DF的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝OB＝OD，
∵AB＝OA，
∴AB＝OA＝OB＝，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∵AC＝2AO＝2，
∴AD＝BC＝＝3，
由作图过程可知：
AF是∠BAO的平分线，
∴∠BAF＝∠FAC＝30°，
∴BF＝AB•tan30°＝1，
∴CF＝BC﹣BF＝3﹣1＝2，
∴DF＝ ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的相关性质，做题时需结合角平分线、勾股定理和等边三角形的知识点进行求解．
三、解答题
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．根据绝对值的意义，零指数幂及锐角三角函数分别化简，然后进行计算．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算等知识点，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．
详解】解：
，
当时，
原式
．
19. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
（1）求图1中______，本次调查数据的中位数是______h，本次调查数据的众数是______h；
（2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据．估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．
【答案】（1），3，3；
（2）1400人
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）用1减去各自的占比即可，最后根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
（2）用2000乘以3小时及以上的人数的百分比即可求解．
【小问1详解】
解：，
∴，
参与调查的学生人数一共有人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为，
故中位数为，
由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多，
故众数为，
故答案为：25，3，3；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为1400人．
20. “道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个．
（1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率；
（2）若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元?
【答案】（1）该商店安全头盔销售量的月平均增长率为
（2）该头盔的实际售价应定为元
【解析】
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键，
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为元/个，“月销售利润达到元”列方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
答：该商店安全头盔销售量的月平均增长率为．
【小问2详解】
解：设该品牌头盔的实际售价为元/个，
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价为元/个．
21. 如图，在矩形中，E是边的中点，于点F．
（1）求证：．
（2）已知，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据等角的余角相等可得，即可证明，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）勾股定理求得，由（1）的比例式即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵E为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为，E、A、C在同一水平线上．

（1）求小明从点A走到点D的距离；
（2）大树的高度约为多少米？
（参考数据：，，）
【答案】（1）米
（2）14米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识是解题的关键．
（1）作于，在中，，则．由勾股定理得，即可求出答案；
（2）延长交于点G，设．在中，根据求出，在中，，则米在中，，则米，即可求得答案．
【小问1详解】
解∶ 作于，如图所示，
在中，
，，
，
，
，
答：小明从点A到点的距离为米；
【小问2详解】
解： 如图，延长交于点G，

设，
由题意，得，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为14米．
23. 如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）求证：DF2＝FM•FN；
（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由DF与AB垂直，AD、BE为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）由（1）相似三角形可得，再利用两角相等的三角形相似得到△BDF∽△DAF，可得，等量代换即可得证；
（3）首先证明△ENM∽△FBM∽△FDB，可得FB=2FM，FD=4FM，根据（2）的结论求出FM的长，进而求出FB，FD，以及FN的长，再利用△MNE∽△ANF，求出AF，以及AB的长，然后利用勾股定理求出BD的长，即可求出AC的长．
【详解】证明：（1）∵BE ⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAC+∠ABE=90°，
∵DF⊥AB，
∴∠AFN=∠BFM=90°，
∴∠N+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠N，
∴△BFM∽△NFA；
（2）∵△BFM∽△NFA，
∴ ，
∴ ，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠AFD=∠BFM=90°，
∴∠BDF+∠ADF=90°，∠ADF+∠BAD=90°，
∴∠BDF=∠BAD，
∴△BDF∽△DAF，
∴ ，
∴ ，
∴；
（3）∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
∵∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=90°，
∴∠FDB=∠N=∠FBM，
∴△ENM∽△FBM∽△FDB，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴FB=2FM， DF=2FB=4FM，
∵，
∴ ，
∵DN＝12，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴FB=2，DF=4，FN=DF+DN=16，
∵∠AFN=∠MEN=90°，∠N=∠N，
∴△MNE∽△ANF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，AB=AF+BF=10，
在 中， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
解得： ．
【点睛】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
24. 如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，G（1，0）；（3）2．
【解析】
【分析】(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式；
(2)根据轴对称最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E′F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；
(3)如图2，先利用待定系数法求AB的解析式，过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，设N(m，﹣m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)(1＜m＜3)，表示NQ＝﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．
【详解】(1)设抛物线的表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，
把(0，3)代入得：3＝a(0﹣1)2+4，
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣(x﹣1)2+4＝﹣x2+2x+3；
(2)存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小．
∵E(0，3)，∴E'(2，3)，
设EF的解析式为y=k′x+b′，
把F(0，﹣3)，E'(2，3)分别代入，得，解得，
所以E'F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，∴G(1，0)；
(3)如图2．
设AB的解析式为y=k″x+b″，
把A(1，4)，B(3，0)分别代入，得，解得，
所以AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N(m，﹣m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)，(1＜m＜3)，
∴NQ＝(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB，
∴，∴，
∴MN(m﹣2)2
0，
∴当m＝2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB，
∴，∴PGNGm，
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3m＝﹣m2m+3，
∴S△PONOP•GN(﹣m2m+3)•m，
当m＝2时，S△PON2(﹣4+3+3)＝2．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题(3)的关键．
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