四川省泸州市古蔺县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省泸州市古蔺县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共30页。
1．答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．试卷满分120分，考试时间120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单选题（每题3分，共36分）
1. 下列各图是一些交通标志的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. “买中奖率为奖券10张，中奖”是必然事件
B. 福山气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着福山明天一定下雨
C. “汽车累计行驶，从未出现故障”不可能事件
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5
4. 已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
5. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ）
A. 众数是6吨B. 平均数是5吨C. 中位数5.5吨D. 方差是1.2
6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. D.
7. 如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ）
A. B. C. D.
8. 我国对教育经费的投入一直在增长，在某地的政府工作报告中，2022年的教育投入是2500万元，2024年将投入3600万元，设该地投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 、、三点都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
10. 如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2.5
11. 如图，四边形是的内接四边形，的半径为，连接交于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题3分，共12分）
13. 已知点与点关于原点对称，则的值是_____．
14. 设a、b是方程两个实数根，则的值为______
15. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则度数为___________．
16. 如图，是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则__________．
三、解答题（共72分）
17. 计算：．
18. 化简：．
19. 已知：如图，AB=CD，E、F在AC上，∠AFB=∠CED=90°，AE=CF．求证：AB∥DC．
20. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．

（1）本次抽取调查学生共有___________人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为___________人．
（2）请将以上两个统计图补充完整．
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
21. 某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数（辆）与定价（元）（取整数）一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？
22. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
23. 如图，某人以公里/小时的速度在南北方向的公路上行走，在处时，他观测到在点的东北方向有一古塔．他沿正北行走分钟后到达处，观测到古塔在点的北偏东方向，求点与古塔的距离（结果精确到公里，参考数据：，，，）．
24. 如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，．
（1）求证：；
（2）若点在的延长线上，且，证明：是的切线；
（3）求的半径．
25. 如图1，抛物线经过，两点，与交于点，顶点坐标为，对称轴与轴交于点，与直线交于点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）若线段上存在一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，求的最大值．

（3）设是抛物线上一点，点是轴上一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

泸州市古蔺县2024-2025学年九年级上期期末教学质量测试
数 学
注意事项：
1．答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．试卷满分120分，考试时间120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单选题（每题3分，共36分）
1. 下列各图是一些交通标志的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义和交通标志的图案特点即可解答．
【详解】解：A、含汉字不是中心对称图形，故选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、含字母不是中心对称图形，故选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点式，顶点坐标是，可直接得到答案．
此题主要考查了求抛物线顶点坐标，解题的关键是熟练掌握：顶点式，顶点坐标是．
【详解】解：顶点式，顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是．
故选：A．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B. 福山气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着福山明天一定下雨
C. “汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了随机事件，概率的意义和概率公式，正确理解概率的意义是解题的关键．根据随机事件的概念、概率的意义和概率公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、福山气象局预报说“明天的降水概率为”， 是随机事件，不一定下雨，原说法错误，不符合题意．
C、“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
D、拋掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，原说法正确，符合题意．
故选：D．
4. 已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用已知条件可得直线l与圆相离，根据直线与圆相离的性质可以作出判断．
【详解】解：∵⊙O与直线l无公共点，
∴⊙O与直线l相离．
∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∵⊙O直径为10cm，
∴⊙O半径为5cm，
∴圆心O到直线l的距离大于5cm．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆相离，圆心O到直线l的距离大于圆的半径解答是解题的关键．
5. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ）
A. 众数是6吨B. 平均数是5吨C. 中位数5.5吨D. 方差是1.2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，解题的关键是熟练掌握定义和计算公式．
根据众数、平均数、中位数和方差的定义进行计算，即可得出答案．
【详解】解：A、吨出现了3次，出现的次数最多，
众数是6吨，故选项正确，不符合题意；
B、平均数是吨，选项正确，不符合题意；
C、把这些数从小到大排列为3，4，5，6，6，6，
则中位数是吨，故选项正确，不符合题意；
D、这组数据的方差为，选项错误，符合题意；
故选：D．
6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查方程有实数根求参数范围，涉及一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系等知识，根据一元二次方程定义，得，再由一元二次方程根的情况与判别式关系列不等式求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，解得，
当时，则，解得；
综上所述，的取值范围是且，
故选：A．
7. 如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；如图，证明；求出，得到，即可解决问题．
【详解】解：由题意得：，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8. 我国对教育经费的投入一直在增长，在某地的政府工作报告中，2022年的教育投入是2500万元，2024年将投入3600万元，设该地投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．
【详解】解：设该地投入教育经费的年平均增长率为x，
根据题意列方程，
故选：B．
9. 、、三点都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．分别求出三个点到对称轴的距离，以及开口方向，即可解答．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴该函数的对称轴为y轴，
∴点到对称轴的距离为4，
点到对称轴的距离为1，
点到对称轴的距离为2，
∵，
∴该函数开口向下，
∵，
∴，
故选：C．
10. 如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】设圆O的半径为r，则OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r，先利用垂径定理得到AC=2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE的长，再利用勾股定理即可求出BE．
【详解】解：设圆O的半径为r，则OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r，
由垂径定理得，
在Rt△OAC中，，
∴，
∴，
∴AE=5，
∵AE是圆O的直径，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABE中，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知垂径定理是解题的关键．
11. 如图，四边形是的内接四边形，的半径为，连接交于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据四边形是的内接四边形，可得，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°，根据得到∠AOB=30°，从而得到∠COB为直角，然后利用即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵∠ABC=2∠D
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求与圆相关的不规则图形的面积、扇形的面积、圆内接四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等，利用作差法得出是解题的关键．
12. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
解得，，
故选：C．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题3分，共12分）
13. 已知点与点关于原点对称，则的值是_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：与点关于原点对称，
故答案为：1．
14. 设a、b是方程的两个实数根，则的值为______
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入求值即可．
【详解】解：a、b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、代数值求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系得出，是解题的关键．
15. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为___________．
【答案】##24度
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转性质和等腰三角形的性质是解答的关键．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求得即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，连接，根据等边三角形，得出，根据已知进而求得，勾股定理求得，则，根据两点之间线段最短，可得，当且仅当、、三点共线时，取得最小值为，进而中，勾股定理求得，在中求得，进而可得，在中勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：过点作于点，连接，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
当且仅当、、三点共线时，取得最小值为，
，
在中，根据勾股定理，得
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
在中，根据勾股定理，得
．
当最小时，则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算，根据零指数幂、二次根式的性质、绝对值、有理数的乘方先化简各数，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：．
18. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式的混合运算；
先算括号里面的减法，同时把除法转化成乘法，然后约分即可．
【详解】解：原式
．
19. 已知：如图，AB=CD，E、F在AC上，∠AFB=∠CED=90°，AE=CF．求证：AB∥DC．
【答案】证明过程见解析
【解析】
【详解】试题分析：根据AE=CF得出AF=CE，结合已知条件得出△ABF和△CDE全等，从而得出∠A=∠C，得出平行线.
试题解析：∵AE=CF ∴AF=CE 又∵AB=CD ∠AFB=∠CED=90° ∴△ABF≌△CDE
∴∠A=∠C ∴AB∥DC.
考点：三角形全等的判定
20. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．

（1）本次抽取调查学生共有___________人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为___________人．
（2）请将以上两个统计图补充完整．
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
【答案】（1）60，300
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000乘以喜欢跆拳道的学生所占百分比即可得；
（2）先求出喜欢书法的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜欢舞蹈和跆拳道的学生所占百分比，据此补全扇形统计图即可得；
（3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【小问1详解】
解：本次抽取调查学生的总人数为（人），
估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为（人），
故答案为：60，300．
【小问2详解】
解：喜欢书法的学生人数人（人），
喜欢舞蹈的学生所占百分比为，
喜欢跆拳道的学生所占百分比为．
则补全两个统计图如下：
【小问3详解】
解：由题意，画树状图如下：

由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，
则两人恰好选择同一类的概率为，
答：两人恰好选择同一类概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键．
21. 某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数（辆）与定价（元）（取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？
【答案】（1）
（2）17元或18元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，熟知待定系数法的一般步骤是解决（1）的关键，根据题意列出利润与定价的函数关系式是解决（2）的关键．
（1）利用待定系数法即可求出y与x的函数表达式；
（2）列出利润W关于定价x的函数关系式，然后根据二次函数的性质及自变量x的范围即可求出最大利润．
【小问1详解】
解：依题意，设与的函数关系式为
则：，
解得：
即与的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：设利润为元，
则由题意知：
∵
∴抛物线开口向下
∵，且是整数
∴或18
即当定价为17元或18元，汽车清洗店每天获利最大．
22. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到，进而得到，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵于的一元二次方程有两个不相等实数根和，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根和，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
23. 如图，某人以公里/小时的速度在南北方向的公路上行走，在处时，他观测到在点的东北方向有一古塔．他沿正北行走分钟后到达处，观测到古塔在点的北偏东方向，求点与古塔的距离（结果精确到公里，参考数据：，，，）．
【答案】此时他与古塔的距离约为公里
【解析】
【分析】根据方位角先计算出的度数，如图所示（见详解），过作于，可证是等腰直角三角形，可算出的长，在中，根据特殊角的直角三角形三边的关系即可求解．
【详解】解：由题意得，，，（公里），
，
如图所示，过作于，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
（公里），
在中，，
∴（公里），
∴此时他与古塔的距离约为公里．
【点睛】本题主要考查方位角与特殊角的直角三角形的综合，理解方位角中角度的关系，特殊角的直角三角形中各边的关系是解题的关键．
24. 如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，．
（1）求证：；
（2）若点在的延长线上，且，证明：是的切线；
（3）求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，又由，，即可证明；
（2）连接交于点．由得到，由圆周角定理得到，已知，得到，则．由点是弧的中点得到半径，则半径，即可证明是的切线；
（3）设的半径为．证明，．．求出，则．由得到．根据勾股定理得到，则，解方程即可求出的半径．
【小问1详解】
证明：∵点是弧的中点，
∴
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
【小问2详解】
证明：连接交于点．
∵，
∴，且，
∵，
∴，
∴．
∵点是弧的中点，
∴半径，
∴半径，
∴是的切线．
【小问3详解】
解：设的半径为．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵点是的中点，
∴点是的中点．
∵点是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
∴的半径为．
【点睛】此题考查了圆周角定理、切线的判定、垂径定理、勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
25. 如图1，抛物线经过，两点，与交于点，顶点坐标为，对称轴与轴交于点，与直线交于点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）若线段上存在一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，求的最大值．

（3）设是抛物线上一点，点是轴上一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存，或或或．
【解析】
【分析】（1）把，代入抛物线，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可得到答案；
（2）由抛物线的解析式先求解的坐标，再利用待定系数法求解的解析式为：，设G点坐标为，可得H点坐标为，从而可得与的关系式为：，再利用二次函数的性质求解的最大值即可；
（3）分两种情况讨论：如图1，过点N作轴，交轴于点T，当NS为平行四边形的一条边时，证明：，可得：，得到的纵坐标为 设点N的坐标为，再解方程可得答案，如图2．当NS是平行四边形的对角线时，则轴，可得：的纵坐标为，设点N的坐标为，再解方程可得答案，从而可得答案．
【详解】解：（1）抛物线经过，两点，
∴
解得，
∴
∴抛物线解析式为．
（2）令，，
∴，
设直线AC所在的直线为，
，解得，
∴，
设G点坐标为，
∵轴，H为抛物线上一点，
∴H点坐标为，
∴
，
∵，
∴当时，GH取得最大值为．
（3）存在．如图1，过点N作轴，交轴于点T，当NS为平行四边形的一条边时，
且，则，

轴，轴，
∴，
在和中，
∴，
又∵，
∴，
设点N的坐标为，
当点N在x轴上方时，
解得，
此时点N的坐标为或，
当点N在轴下方时，
则，
解得，
此时点N的坐标为或
如图2．当NS是平行四边形的对角线时，则轴，

∴点N的纵坐标为2，
∴
解得，
∴点N的坐标为或．
综上，满足条件的点N有4个，坐标分别为或或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与二次函数的解析式，利用二次函数的性质解决线段长度的最值问题，平行四边形的判定与性质，图形与坐标，掌握以上知识是解题的关键．