甘肃省酒泉市肃北蒙古族自治县2024-2025学年高三下学期开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份甘肃省酒泉市肃北蒙古族自治县2024-2025学年高三下学期开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了 记等比数列前项和为，且，则， 若函数是单调递增函数， 已知函数，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，为不共线的单位向量，且任意两个向量的夹角均相等，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线C的一个焦点到其渐近线的距离与焦距之比为，则C的离心率为（ ）
A. 2B. 4C. D.
5. 若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
6. 记等比数列前项和为，且，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
7. 若函数是单调递增函数（，且），则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量X服从正态分布，Y服从二项分布，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的最小正周期为
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数值域为
11. 已知函数的定义域为，，当时，，则（ ）
A
B
C. 若函数恰有两个零点，则
D. 函数（，且），则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12. 若，则____________.
13. 已知数列的各项均不为零，且，若表示事件“，”，则________.
14. 设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过F的直线交C于A，B两点，若的外接圆圆心在直线上，则的外接圆的面积为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知.
（1）求；
（2）求的取值范围.
16. 如图，在三棱台中，平面ABC，，.
（1）证明：；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求.
17. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为A，B，过的动直线交椭圆于P，Q两点，其中的最大值为，最小值为.
（1）求椭圆C标准方程；
（2）过且与PQ垂直的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围.
18. 已知函数，.
（1）讨论的单调区间；
（2）若直线为的切线，求a的值.
（3）已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围.
19. 已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”.
（1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求；
（2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由；
（3）已知，且集合A为“完美集”，求A.
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求解一元二次不等式和求函数定义域，得到集合，求其并集即得.
【详解】由可得，即，
由解得，即得，故.
故选：A.
2 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数的概念求解.
【详解】，所以，
故选：B.
3. 已知，，为不共线的单位向量，且任意两个向量的夹角均相等，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得到向量之间的夹角为，再依据向量加法的平行四边形法则可求得结果.
【详解】依题意，任意两个向量的夹角均为，
由平行四边形法则可知，，
所以.
故选：B.
4. 已知双曲线C的一个焦点到其渐近线的距离与焦距之比为，则C的离心率为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设双曲线的焦距为2c，求出焦点到其渐近线的距离，由题意得到关系，结合的关系求得离心率.
【详解】设双曲线的焦距为2c，易知焦点到其渐近线的距离为，所以，，故，
故选：C.
5. 若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的对称轴结合平移得出奇偶性，再结合奇函数定义计算判断即可.
【详解】因为的图象关于直线对称，将向右平移1个单位长度，
所得图象关于y轴对称，即为偶函数，B选项错误；
因为的图象关于直线对称，将向左平移1个单位长度，
关于直线对称，不能得出奇偶性，A，C选项错误；
对于D：，可得函数为奇函数，D选项正确；
故选：D.
6. 记等比数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由等比数列通项公式得到，再由求和公式将代入即可化简求解；
【详解】设的公比为q，则，即，，
因为，
所以，所以，
故选：D.
7. 若函数是单调递增函数（，且），则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，利用单调性建立恒成立的不等式求解.
【详解】函数，求导得，
依题意，恒成立，令函数，求导得，
当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，
因此，则，解得，所以a的取值范围为.
故选：B
8. 设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先设，，再根据二面角得出，最后应用，应用数量积化简结合基本不等式计算求最小值.
【详解】
设，，
在平面直角坐标系中，过作轴于点，过作轴于点，
则，，，，
折叠后即有，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选:C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量X服从正态分布，Y服从二项分布，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：利用期望即可判断；对于B：利用方差即可判断；对于C：利用正态分布对称性得概率，二项分布的特性得概率，对于D：利用正态分布对称性得概率，二项分布的特性得概率，
【详解】对于A：，，A选项正确；
对于B：，，B选项错误；
对于C：，，C选项正确；
对于D：，，D选项错误；
故选：AC.
10. 已知函数，，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的最小正周期为
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特例法判断AC；利用降幂公式与余弦函数的周期公式判断B；根据函数的奇偶性转化为求时函数的值域，再结合辅助公式、正弦函数的值域判断D.
【详解】因为，，的最小正周期不是，A选项错误；
因为，所以的最小正周期为，B选项正确；
，，
因为与有可能不相等（例如取），所以不恒成立，
函数的图象不关于直线对称，C选项错误；
因为，
所以为偶函数，所以只需考虑的情况，
当时，，且；
当时，；
当时，；
当时，，
所以时，函数的值域为，
根据周期性可得时函数的值域为，
根据函数是偶函数可得函数的值域为，
D选项正确；
故选：BD.
11. 已知函数的定义域为，，当时，，则（ ）
A.
B.
C. 若函数恰有两个零点，则
D. 函数（，且），则
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接代入求判断A；求出，然后构造函数，利用导数求出最值即可判断B；根据零点定义可得，利用数列的单调性可求出k的最值，即可判断C；
【详解】，，，选项A正确；
当时，由，且
得，
此时，
因为，
即证当时，，则，
易知单调递减，，，
所以存在，使得，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减，因为，，
所以当时，，选项B正确；
依题意即与直线恰有两个交点，易知在函数的图象上，
即 ，所以，
则，
当时，；
当时，，所以，所以的最小值为8，
所以，选项C错误；
因为，所以当时，，易知，，所以；
当且时，，
所以；选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据零点个数求解参数范围、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是将问题转化为函数最值的求解问题，利用导数求得函数的最值后即可得到参数的取值范围.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12. 若，则____________.
【答案】##
【解析】
【分析】通过倍角公式将与进行转化，再根据已知条件求出的值，最后利用正切函数的二倍角公式求出的值.
【详解】由题，所以，
所以.
故答案为：.
13. 已知数列的各项均不为零，且，若表示事件“，”，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据古典概型公式结合组合数及乘法原理计算即可.
【详解】依题意可知事件A为与同号，与异号，
则，，符号有2种情况，剩下的，，，任意选有，
则.
故答案为：.
14. 设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过F的直线交C于A，B两点，若的外接圆圆心在直线上，则的外接圆的面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】由外接圆圆心为，得到外接圆方程，设直线，直线方程分别和抛物线方程、圆的方程联立，消去，由得到的方程应该为同一方程即可求解.
【详解】
设直线，联立拋物线方程，
可得，①，
设外接圆圆心为，外接圆方程为，
即，与直线联立可得，
②，
依题意，①，②同一个方程，
所以，解得，，
所以的外接圆面积为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知.
（1）求；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化简得出的值，结合为锐角三角形可得出角的值；
（2）求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
因为为锐角三角形，则，，
所以，，即，所以，.
【小问2详解】
因为为锐角三角形，可得，解得，
则，
因为，则,所以，可得，
即，所以的取值范围为.
16. 如图，在三棱台中，平面ABC，，.
（1）证明：；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作图，取AC的中点O，连接，由线线垂直得到面面垂直，由面面垂直的性质得到线面垂直，从而得到线线垂直，在正方形中得到线线垂直，由线面垂直的证明得到线面垂直，再得到线线垂直；
（2）由（1）得到三直线两两垂直，建立空间直角坐标系，设出长并写出其他点坐标，由空间向量垂直的性质求出平面的法向量，然后由空间向量的夹角公式建立等式，从而求出，从而得到.
【小问1详解】
取AC的中点O，连接，
由平面ABC可知，平面平面ABC，
因为，所以，且平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
又四边形为正方形，所以，
又因为，所以平面，因为平面，所以；
【小问2详解】
如图，以O为原点，分别以OB，OA，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则有即，
可取，设与平面所成的角为，
则，解得，所以.
17. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为A，B，过的动直线交椭圆于P，Q两点，其中的最大值为，最小值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过且与PQ垂直的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意根据椭圆长轴与焦距，建立方程组，可得答案；
（2）设出直线方程联立椭圆方程，写出韦达定理，结合直线垂直以及基本不等式，可得答案.
【小问1详解】
由题意，，，
，解得，
又，椭圆的方程为.
【小问2详解】
当直线PQ与x轴不垂直也不平行时，
不妨设直线PQ的方程为，设，，
联立椭圆和直线PQ的方程，可得，
由，则，，，
设直线MN的方程为，设，，
联立椭圆和直线MN的方程，可得，
由，则，，，
又，，，，
，当且仅当时，等号成立，，
当直线PQ与x轴垂直或平行时，此时，
综上所述，的取值范围是.
18. 已知函数，.
（1）讨论的单调区间；
（2）若直线为的切线，求a的值.
（3）已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）求得导函数，并对分和讨论，即可判断函数的单调性；
（2）设切点为，结合导数的几何意义可得，令，转化为仅一个零点，利用导数判断求解；
（3）根据导数的几何意义即可求曲线在处的切线方程为，构造函数，由切线与有且只有一个公共点转化为仅一个零点，并求得导函数，对分类讨论，即可判断函数的单调性和最值，进而求得正数的取值范围．
【小问1详解】
由，，
当时，，在单调递增，
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，在单调递增，无单调减区间；
当时，在区间上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
设切点为，依题意，，所以，
又，代入可得，，
设，
则，所在单调递增，
因为，所以，.
【小问3详解】
，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
设，，
，
①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，有且仅有一个零点，符合题意；
②当时，，在上单调递减，有且仅有一个零点，符合题意；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；
④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；
综上，a的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是将切线与曲线有且只有一个公共点转化为仅一个零点，利用导数求解.
19. 已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”.
（1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求；
（2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由；
（3）已知，且集合A为“完美集”，求A.
【答案】（1）－2 （2）不存在，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据“完美集”的定义与等差数列性质即可求得结果.
（2）根据“完美集”的定义得到等式，解得，不符合题意，得到结果.
（3）根据题干，设，若集合A为“完美集”，
则，再对n分情况讨论即可.
【小问1详解】
依题意，，
，解得；
小问2详解】
设数列的公比为q，依题意，
，，
因为集合A为“完美集”，所以，
整理得，解得，不符题意，
所以不存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”；
【小问3详解】
设，若集合A为“完美集”，
则，
易知，，，当时，，
当时，显然不符题意；
当时，不妨设，，故，所以；
当时，因为，所以，符合题意；
当时，，不符题意；
综上，或.
【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运
算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息
的迁移，达到灵活解题的目的.